转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵关系以及python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角之间转换

由于在平时总是或多或少的遇到平移旋转的问题，每次都是现查资料，然后查了忘，忘了继续查，这次弄明白之后干脆写一篇文章，给人方便同时于己方便，后续如有扩充或变动也方便添加。

1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系

假设有两个向量$a_1=(x_1,y_1,z_1)$和$a_2=(x_2,y_2,z_2)$，它们的转换关系为：

$$a_1=R\ast a_2+T$$
这里$R$就是它的旋转矩阵，$T$就是它的平移矩阵。使用齐次方式表示如下：

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}R& T\\ 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{a}_2\\ 1\end{array}\right)$$
使用元素值替换后，表示如下：
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_1\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_2\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_3\\ z_2\\ 1\end{array}\right)$$
在仿射变换中的转换矩阵表示先线性变换再平移。在这里转换矩阵表示如下：
$$转换矩阵=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_1\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_2\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
平移矩阵表示如下：
$$平移矩阵T=\left(\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right)$$
旋转矩阵表示如下：
$$旋转矩阵R=\left(\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right)$$

2. 缩放变换、平移变换和旋转变换

如果理解以上知识点之后，缩放变换、平移变换和旋转变换的特殊情况也迎刃而解。

• 缩放变换

缩放变换只是在尺度上进行改变，所以它的变换形式如下：

• 平移变换

平移变换的时候，角度不发生改变，也就是旋转矩阵R为单位矩阵，所以它的变换形式如下：

• 旋转变换

当空间内的物体绕着 x 轴，y 轴或者 z 轴旋转的时候，变换矩阵为：

对于一般性的旋转问题，可以用简单的旋转描述复杂的旋转。用 x 轴，y 轴和 z 轴上的旋转来定义旋转：

这三个角就被称作欧拉角（Euler angles）。

• 一目了然
• 这个也不错

2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化

在应用中，我们往往会遇到旋转矩阵、四元数和欧拉角之间的互相转换，在这里，我们只使用python代码来实现它们之间互相转换。

from scipy.spatial.transform import Rotation as Rdef quaternion2euler(quaternion):r = R.from_quat(quaternion)euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)return eulerdef euler2quaternion(euler):r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)quaternion = r.as_quat()return quaterniondef euler2rotation(euler):r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)rotation_matrix = r.as_matrix()return rotation_matrixdef quaternion2rotation_matrix(quaternion):r = R.from_quat(quaternion)rotation_matrix = r.as_matrix()return rotation_matrixdef rotation_matrix2euler(rotation_matrix):r = R.from_matrix(rotation_matrix)euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)return eulerdef rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix):r = R.from_matrix(rotation_matrix)quaternion = r.as_quat()return quaternionif __name__ == '__main__':# 四元数=>欧拉角quaternion = [0.71934025092983234, -1.876085535681999e-06, -3.274841213980097e-08, -0.69465790385533299]euler = quaternion2euler(quaternion) # [-9.20000743e+01  1.52039496e-04 -1.52039496e-04]print(f'euler: {euler}')# 四元数=>旋转矩阵rotation_matrix = quaternion2rotation_matrix(quaternion)print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')# 欧拉角=>四元数quaternion = euler2quaternion(euler)print(f'quaternion: {quaternion}') # [-7.19340251e-01  1.87608554e-06  3.27484122e-08  6.94657904e-01]# 欧拉角=>旋转矩阵rotation_matrix = euler2rotation(euler)print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')# 旋转矩阵=>欧拉角euler = rotation_matrix2euler(rotation_matrix)print(f'euler: {euler}')# 旋转矩阵=>四元数quaternion = rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix)print(f'quaternion: {quaternion}')