LA@相似方阵和对角化

相似方阵

• 对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵
  • 对角阵相关的乘法运算是很高效的
  • 相似方阵是和对角阵相关的概念
• 设A和B是n阶方阵,如果存在n阶可逆方阵P,使得$P^{-1}AP=B$,则称方阵A,B相似,记为$A\sim B$
  • 该定义可以用来判断给定的两个方阵是否相似
  • 也可以根据给定的方阵A来生成与A相似的矩阵集
• 相似矩阵特点
  • $A\sim A$
  • $A\sim B\Rightarrow B\sim A$
    • $P^{-1}AP=B,A=PB{P}^{-1}$
  • $A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$
    • $P^{-1}AP=B,Q^{-1}BQ=C$
    • $QC{Q}^{-1}=B=P^{-1}AP$
    • $PQC{Q}^{-1}{P}^{-1}=A$
    • $(PQ{)}^{-1}=Q^{-1}{P}^{-1}$
    • 因此$C\sim A$
  • 单位矩阵只和自身相似
    • 设方阵A和单位阵E相似
    • $P^{-1}AP=E$
    • $A=PE{P}^{-1}=E$
    • 因此和单位阵E相似的矩阵是E本身

相似矩阵和特征值

• 设$A\sim B$,即存在可逆阵P,$P^{-1}AP=B$

• 相似矩阵有相同的特征矩阵(因此有相同的特征值)

  • 证明:
    • $f(\lambda )=|\lambda E-B|=|\lambda E-P^{-1}AP|$
      • $=|\lambda (P^{-1}P)-P^{-1}AP|$
      • $=|P^{-1}(\lambda P-AP)|$
      • $=|P^{-1}(\lambda E-A)P|$
      • $=|P^{-1}||\lambda E-A||P|$
      • $=|P{|}^{-1}|P||\lambda E-A|$
      • $=|\lambda E-A|$
    • 可见,A,B具有相同的特征方程,也具有共同的特征值
  • 但是,特征值相同的方阵未必相似

• $|A|=|B|$

  • $|B|=|P^{-1}BP|=|P^{-1}||B||P|=|P{|}^{-1}|P||B|=B$

• $tr(A)=tr(B)$

  • A,B具有相同的特征值
  • $tr(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$
  • $tr(B)=\sum _{i=1}^n{b}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$
  • $\therefore tr(A)=tr(B)$

• $r(A)=r(B)$

  • $A=P^{-1}B{P}^{}$
    • $P,P^{-1}$都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积
    • 因此,A相当于有B经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩)

• $A^T\sim B^T$

  • $P^{-1}AP=B$
  • $Q^{-1}BQ=A$
  • $(P^{-1}AP{)}^T=B^T$
    • $P^T{A}^T(P^{-1}{)}^T=B^T$
    • $P^T{A}^T(P^T{)}^{-1}=B^T$
    • 可见$A^T\sim B^T$

• $A^m\sim B^m$

  • $B^m=(P^{-1}AP{)}^m=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots (P^{-1}AP)$
    • $=P^{-1}A(P{P}^{-1})A(P\cdots P^{-1})AP$
    • $=P^{-1}{A}^{m}P$
  • $P^{-1}{A}^{m}P=B^m$

• 若$A^{-1}$存在,则$B^{-1}$存在,$A^{-1}\sim B^{-1},A^{\ast }\sim B^{\ast }$

  • B可逆:

    • 方法1:
    • $A\sim B\Rightarrow |A|=|B|=k$
    • $A^{-1}$存在,$|A|\ne 0$,则$|B|=|A|\ne 0$
    • 方法2:
    • 由于A可逆,则$P^{-1}AP=B$表明,B是可逆矩阵的乘积,所以B也可逆

  • $A^{-1}=P{B}^{-1}{P}^{-1}$,因此$B^{-1}\sim A^{-1}$

    • 设$P^{-1}{A}^{-1}P=B^{-1}$
      • $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=k^{-1}{A}^{\ast }$
      • $B^{-1}=\frac{1}{|B|}{B}^{\ast }=k^{-1}{B}^{\ast }$
      • $P^{-1}{k}^{-1}{A}^{\ast }P=k^{-1}{B}^{\ast }$
      • $P^{-1}{A}^{\ast }P=B^{\ast }$

小结

• 上述结论说明,相似阵之间有很多共同点

方阵相似对角化

• 如果方阵$A\sim B$,且B是一个对角阵(方阵),则称A可以相似对角化

  • 简单的记为$A\sim \Lambda$;$P^{-1}AP=\Lambda$

• 不是所有方阵都可以对角化

• n阶方阵A有n个线性无关向量是A和一个对角阵相似的充要条件

  • 证明

    • 设A和一个对角阵相似,则存在可逆阵$P$,使得$P^{-1}AP=\Lambda $

      • $\Lambda =diag({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$

      • $AP=P\Lambda$

      • 设可逆矩阵$P=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$

      • 则

        • $$P\Lambda =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)=({\lambda }_1{\alpha }_1,\cdots ,{\lambda }_n{\alpha }_n)$$

        • $$AP=A({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=(A{\alpha }_1,\cdots ,A{\alpha }_n)$$

        • $$\begin{gathered} AP=P\Lambda \\ (A{\alpha }_1,\cdots ,A{\alpha }_n)=({\lambda }_1{\alpha }_1,\cdots ,{\lambda }_n{\alpha }_n) \\ A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i \end{gathered}$$

        • ${\lambda }_i,i=1,\cdots ,n$是矩阵A的n个特征值

        • $P$是可逆矩阵,P的列向量组${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关(事实上有${\lambda }_i\ne {\lambda }_j,\text{if }j\ne i$)

        • 因此,P的n个列向量就是方阵A的n个线性无关特征向量

    • 设存在$\Phi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$是A的关于${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$的线性无关特征向量

      • $A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$,$i=1,\cdots ,n$

      • $$\begin{gathered} (A{\alpha }_1,\cdots ,A{\alpha }_n)=A({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=AP \\ ({\lambda }_1{\alpha }_1,\cdots ,{\lambda }_n{\alpha }_n)=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)=P\Lambda \end{gathered}$$

        • 两行式子相等$AP=P\Lambda$

      • 令方阵$P=(\Phi )$,因为$\Phi$线性无关,所以$r(\Phi )=n$,方阵P可逆

        • 对$AP=P\Lambda$同时左乘$P^{-1}$
        • $P^{-1}AP=\Lambda$
        • 因此$A\sim \Lambda$

结论

• 通过上述推到,可以发现,如果方阵A可以对角化,那么
  • A的n个线性无关向量组$\Psi =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$构成的矩阵$P=(\Psi )$
  • A的对应于$\Psi$的n个特征值${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$构成的对角阵$\Lambda =diag({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$
  • $P,\Lambda$恰好能够满足$P^{-1}AP=\Lambda$

推论

• 如果n阶方阵A存在n个互不相同的特征值,则A可以对角化
  • 根据特征值的相关性质定理,可以判断这种情况下存在n个线性无关的特征向量,因之可以对角化
• 考虑到方阵可能有重特征根的情况,需要多一些步骤:
  • 如果A对于一个$k_i$重特征根${\lambda }_i$恰好有$k_i$个线性无关特征向量,是A可以对角化的充要条件
  • 这意味着,方阵A要有n个线性无关的特征向量才可以对角化

对角化方法归纳

• 求出方阵A所有特征值
• 求解不同特征值${\lambda }_i$对应的齐次线性方程$({\lambda }_{i}E-A)=0$的基础解系
  • 判断基础解系中包含的向量个数是否和特征值${\lambda }_i$的重数一致
  • 如果不一致,则A不可对角
  • 如果所有特征值得重数$k_i$和对应$({\lambda }_{i}E-A)=0$的基础解系向量个数一致,则可以对角化
• 如果可对角化,则需要求解出一个可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=\Lambda$
  • 设A的n个线性无关特征向量为$\varphi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$,则P=$(\varphi )$
  • 利用P计算$\Lambda =P^{-1}AP$,$\Lambda =diag({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$

例

• $$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 0& -1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right) \\ |\lambda E-A|=(\lambda -2)(\lambda +1)(\lambda -1)=0 \end{gathered}$$

  • ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=1$都是单个,显然可以对角化

• $({\lambda }_{1}E-A)x=0$

  • $$\begin{gathered} (2E-A)x=0 \\ 2E-A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 3& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

    • $$\begin{gathered} x_2=0 \\ {x}_3=0 \\ {x}_1可以是任意常数 \\ 可以取基础解系为\alpha =(1,0,0{)}^T \end{gathered}$$

• $({\lambda }_{2}E-A)x=0$

  • $$\begin{gathered} (-E-A)x=0 \\ 取基础解系{\alpha }_2=(0,-1,1{)}^T \end{gathered}$$

• $({\lambda }_{3}E-A)x=0$

  • $$\begin{gathered} (E-A)x=0 \\ 取基础解系{\alpha }_3=(1,0,1{)}^T \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right) \\ \Lambda =diag(2,-1,1) \\ 且满足\Lambda =P^{-1}AP \end{gathered}$$

方阵高次幂

• 方阵高次幂的计算通常计算量比较大,但是如果方阵能够对角化,则可以简单计算
  • 设$A$可以被对角化:存在可逆阵P,使得$P^{-1}AP=\Lambda$
    • $A=P\Lambda P^{-1}$
    • $A^n=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots (P\Lambda P^{-1})$
      • $=P\Lambda (P^{-1}P)\Lambda (P^{-1}P)\Lambda \cdots \Lambda (P^{-1}P)\Lambda P^{-1}$
      • $=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$
  • 而对角阵$\Lambda$的乘法(高次幂)运算比较简单