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线性代数速览（一）行列式

news 文章来源：https://blog.csdn.net/m0_63238256/article/details/128975170 2024/11/16 20:55:17

文章目录

行列式
- 🌻 行列式的定义
- 🌼 行列式的性质
- 🌷 一些定理
- 🥀 行列式的计算
- 🌺 克莱姆法则

行列式

行列式的本质，就是一个数值。

🌻 行列式的定义

有三种定义：1、按行展开；2、按列展开；3、即不按行，也不按列的展开。

按行展开时，行标取标准排列，列标取所有可能。
$∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=∑j1j2...jn(−1)N(j1j2...jn)aij1aij2...aijn\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| =\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{N(j_1j_2...j_n)}a_{ij_1}a_{ij_2}...a_{ij_n}$

🌼 行列式的性质

1、转置

转置不会改变行列式的值。

推论：对行成立的性质，对列也成立。
$D^T=D$

2、对换

对换两行，行列式的值变号

$∣123456789∣=−∣456123789∣\left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right|=- \left| \begin{array}{cccc} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right|$

3、行相等

行列式中存在两行对应元素相等时，行列式的值为0。

$∣123456123∣=0\left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|=0$

4、提因子

某一行元素都乘以k，等于用k乘以D。

$∣123224789∣=2∣123112789∣\left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right|=2 \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right|$

5、行成比例

两行元素对应成比例，则行列式值为0。

$∣123456246∣=0\left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right|=0$

推论：某一行全为0，则行列式值为0。

6、可拆性

只拆一行，其余行保持不变。
$∣1237+82+39+10889∣=∣123729889∣+∣1238310889∣\left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 7+8 & 2+3 & 9+10 \\ 8 & 8 & 9 \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 2 & 9 \\ 8 & 8 & 9 \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 3 & 10 \\ 8 & 8 & 9 \end{array} \right|$

7、行间相加

某一行乘以一个数，加到另一行上去，行列式的值不变。

🌷 一些定理

1、按某行展开

按一行展开，有降阶效果。例如按第 i 行展开，每一项都是元素乘以对应的代数余子式。
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}+...+a_{in}A_{in}$

2、异乘变零

某行元素与另一行元素的代余式成绩之和等于零。

$ai1Aj1+ai2Aj2+ai3Aj3+...+ainAjn=0(i≠j)a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+a_{i3}A_{j3}+...+a_{in}A_{jn}=0(i\not=j)$

3、拉普拉斯

取定 k 行，有 k 行元素组成的所有 k 阶子式与代数余子式乘积之和等于D。

4、行列式相乘

同阶行列式相乘时，规则同矩阵乘法。非同阶就分别计算两个行列式的值，然后相乘好了。

🥀 行列式的计算

两种基本的计算思路：

化成上三角行列式
按某一行（零多的一行）展开

然后就是一些特殊的行列式的解法（略）。
1、对角型
$∣xaaaxaaax∣\left| \begin{array}{cccc} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{array} \right|$
2、三叉型
$∣x1b1b2b3a1x200a20x30a300x4∣\left| \begin{array}{cccc} x_1 & b_1 & b_2 & b_3\\ a_1 & x_2 & 0 & 0 \\ a_2 & 0 & x_3 & 0 \\ a_3 & 0 & 0 & x_4 \end{array} \right|$
3、范德蒙德
$∣111x1x2x3x12x22x32∣\left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right|$

🌺 克莱姆法则

用于解方程组，但计算量大一般不用。

定理：“齐次线性方程组有非零解“是”系数行列式的值为零“的充分必要条件。