python实现递推算法解决分鱼问题

一、问题描述

A、B、C、D、E5个人合伙夜间捕鱼，凌晨时都已经疲惫不堪，于是各自在河边的树丛中找地方睡着了。第二天日上三竿时，A第一个醒来，他将鱼平分为5份，把多余的一条扔回河中，然后拿着自己的一份回家去了；B第二个醒来，但不知道A已经拿走了一份鱼，于是他将剩下的鱼平分为5份，扔掉多余的一条，然后只拿走了自己的一份；接着C、D、E依次醒来，也都按同样的办法分鱼。问这5个人至少合伙捕到多少条鱼？每个人醒来后所看到的鱼是多少条？

二、问题分析

假设E分鱼前鱼的总数为6条、11条、16条……则对应E的每次取值都可以将其他4个人分鱼前鱼的总数递推出来。每个人分鱼前，鱼的总数%5都必须为1，且B、C、D、E分鱼前鱼的总数%4必须为0，即每次剩余的鱼必须能够均分成4份

三、算法设计

定义数组fish[6]来保存每个人分鱼前鱼的总条数，A、B、C、D、E分鱼前鱼的总条数分别存放在fish数组下标为1、2、3、4、5的元素中。相邻两人看到的鱼的条数存在如下关系：

fish[1]=全部的鱼
fish[2]=(fish[1]-1) // 5 * 4
fish[3]=(fish[2]-1) // 5 * 4
fish[4]=(fish[3]-1) // 5 * 4
fish[5]=(fish[4]-1) // 5 * 4

得到表达式：

fish[n]=(fish[n-1]-1) // 5 * 4

则：

fish[n-1]=fish[n]*5 // 4 + 1

四、完整程序

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-if __name__ == "__main__":# fish[6]存放每个人分鱼前的总条数# A、B、C、D、E分鱼前鱼的总条数分别存放在fish数组下标为1、2、3、4、5的元素中fish = [0] * 6fish[5] = 6while True:i = 4while i > 0:if fish[i + 1] % 4 != 0:break# 递推关系式fish[i] = fish[i + 1] * 5 // 4 + 1if fish[i] % 5 != 1:breaki -= 1if i == 0:breakfish[5] += 5for i in range(1, 6):# 输出结果print("fish[%d] = %d " % (i, fish[i]))

五、运行结果