Box-Cox 变换

Box-cox 变化公式如下：

$$y^{(\lambda )}=\{\begin{array}{rlr}\frac{y^{\lambda }-1}{\lambda }& & \lambda \ne 0\\ ln(y)& & \lambda =0\end{array}$$

$$y^{(\lambda )}=\{\begin{array}{rlr}\frac{(y+a{)}^{\lambda }-1}{\lambda }& & \lambda \ne 0\\ ln(y+a)& & \lambda =0\end{array}$$

根据参数$\lambda$的取值不同，box-cox变换包含了三类函数族：对数函数族、指数函数族、导致函数。

变换的目标是使得变换后因变量线性回归模型的等方差、不相关、正太等假设：

$${\mathbf{y}}^{(\lambda )}=\left[\begin{array}{c}{y}_1^{(\lambda )}\\ y_2^{(\lambda )}\\ ...\\ y_n^{(\lambda )}\end{array}\right]\sim \mathcal{N}(\mathbf{X}\beta ,{\sigma }^2\mathbf{I})$$

$$L(\beta ,{\sigma }^2)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{)}^{n}exp(-\frac{1}{2{\sigma }^2}({\mathbf{y}}^{(\lambda )}-\mathbf{X}\beta {)}^{\prime }({\mathbf{y}}^{(\lambda )}-\mathbf{X}\beta ))\mathbf{J}$$

$$\mathbf{J}=\prod _{i=1}^n|\frac{d{y}_i^{(\lambda )}}{d{y}_i}|=\prod _{i=1}^n{y}_i^{\lambda -1}$$

当$\lambda$固定，$J$是不依赖$\beta ,{\sigma }^2$的常数。

求得$\beta ,{\sigma }^2$的最大似然估计为：

$$\hat{\beta }=(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }{y}^{(\lambda )}$$

$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}{y}^{(\lambda {)}^{\prime }}(I-X(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime })y^{(\lambda )}=\frac{1}{n}SSE(\lambda ,y^{(\lambda )}),SSE(\lambda ,y^{(\lambda )})=y^{(\lambda {)}^{\prime }}(I-X(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime })y^{(\lambda )}$$

对应的似然函数为：

$$L(\hat{\beta },{\hat{\sigma }}^2)=(2\pi e\frac{SSE(\lambda ,y^{(\lambda )})}{n}{)}^{-\frac{n}{2}}\ast J$$

$$lnL(\hat{\beta },{\hat{\sigma }}^2)=-\frac{n}{2}ln(SSE(\lambda ,y^{\lambda })）+ln(J）=-\frac{n}{2}ln(SSE(\lambda ,z^{(\lambda )}))$$

$$z^{(\lambda )}=\frac{y^{(\lambda )}}{\mathbf{J}}$$

为了找出$\lambda$的极大似然估计，使得$SSE(\lambda ,z^{(\lambda )})$达到最小即可。