电子技术——内部电容效应以及MOS与BJT的高频响应模型
电子技术——内部电容效应以及MOS与BJT的高频响应模型
耦合和旁路电容决定了放大器的低频响应,同时内部电容效应决定了放大器的高频响应。本节,我们简单简单介绍一下内部电容效应,并且更重要的是如何在小信号模型中模型化内部电容效应。
MOSFET
在我们之前学习MOSFET的时候,我们就已经知道MOS中存在内部电容。实际上,我们已经在使用栅极和沟道之间的内部电容,即场效应。之前,我们假设MOS中的电容都是稳态的,也就是我们忽略了电容的充电和放电时间。结果就是我们并没有考虑电容的任何频率效应。实际上,MOSFET放大器在高频的时候增益会有所减小。同样的,在之后数字电路的章节,我们会学习MOS数字逻辑反相器会显示出有限的传播延迟。为了考虑这些情况,我们必须把内部电容考虑进去。这就是本节我们要讨论的。
为了说明产生内部电容的物理原因,我们使用下面的图片:
上图是一个N沟道的MOSFET,并且处于饱和区。如图,存在四个电容。其中两个 CgsC_{gs}Cgs 和 CgdC_{gd}Cgd 通过栅极电容效应形成,另外两个 CsbC_{sb}Csb 和 CdbC_{db}Cdb 是pn结的耗散区电容。
之前我们介绍过栅极电容,其中的硅氧化物层充当电介质,金属极板和沟道形成一个平行板电容器,每单位面积的容值记为 CoxC_{ox}Cox 。当MOS处于饱和区的时候,我们知道总容值是 23WLCox\frac{2}{3} WL C_{ox}32WLCox 。除此之外,因为极板与源极区和栅极区分别有一个小的重叠面积,重叠长度为 LovL_{ov}Lov ,则重叠部分的电容为:
Cov=WLovCoxC_{ov} = WL_{ov} C_{ox} Cov=WLovCox
一般的, Lov=0.05L∼0.1LL_{ov} = 0.05L \sim 0.1LLov=0.05L∼0.1L 。现在我们能表示出栅极到源极直接的电容为:
Cgs=23WLCox+CovC_{gs} = \frac{2}{3} WLC_{ox} + C_{ov} Cgs=32WLCox+Cov
对于栅极到漏极之间的电容,我们注意到沟道被截断,所以电容只由重叠部分组成:
Cgd=CovC_{gd} = C_{ov} Cgd=Cov
对于耗散层的电容,可以使用我们之前推导的反向偏置pn结中的电容表达式:
Csb=Csb01+VSBV0C_{sb} = \frac{C_{sb0}}{\sqrt{1 + \frac{V_{SB}}{V_0}}} Csb=1+V0VSBCsb0
其中 Csb0C_{sb0}Csb0 是在体极和源极之间无偏置时候的电容值, VSBV_{SB}VSB 是反向偏置电压的大小, V0V_0V0 是pn结内建电压(0.6V 到 0.8V),同样的对于体极和漏极之间的电容:
Cdb=Cdb01+VDBV0C_{db} = \frac{C_{db0}}{\sqrt{1 + \frac{V_{DB}}{V_0}}} Cdb=1+V0VDBCdb0
我们发现,对于两个电容的过度系数均为 m=1/2m = 1/2m=1/2 。
值得注意的是,每一个结电容都是由耗散区的底部和周围的三个面(第四个面向沟道)分别贡献而成。上述表达式都是建立在小信号模型的表达式上。
MOSFET的高频模型
下图展示了MOSFET的高频模型,其中包括我们介绍的四个电容:
这个模型可以用来计算MOS放大器的高频响应,然而这个模型实在是太复杂了,不管是对于手动分析还是计算机仿真分析来说。幸运的是,如果体极和源极是相连的,我们的模型可以大大简化:
在这个模型中, CgdC_{gd}Cgd 尽管很小,但是对于决定高频响应有至关重要的作用,不能忽略。但是电容 CdbC_{db}Cdb 在高频响应分析中基本可以忽略,忽略之后的模型如下:
最后对应的T模型为:
MOS的单位增益频率
对于MOS放大器来说,有一个重要的参数就是单位增益频率 fTf_TfT ,也称为 过度频率 。定义为CS放大器配置时的短路电流是单位电流增益时候的频率。下图展示了一个CS放大器的混合 π\piπ 模型。为了决定短路电流增益,我们在输入端放入测试电流源 IiI_iIi ,并且短路输出端:
通过简单的计算得出,输出电流为:
Io=gmVgs−sCgdVgsI_o = g_mV_{gs} - sC_{gd}V_{gs} Io=gmVgs−sCgdVgs
回想一下 CgdC_{gd}Cgd 非常小,我们可以忽略第二项:
Io≃gmVgsI_o \simeq g_m V_{gs} Io≃gmVgs
我们可以导出 VgsV_{gs}Vgs :
Vgs=Iis(Cgs+Cgd)V_{gs} = \frac{I_i}{s(C_{gs} + C_{gd})} Vgs=s(Cgs+Cgd)Ii
则电流比为:
IoIi=gms(Cgs+Cgd)\frac{I_o}{I_i} = \frac{g_m}{s(C_{gs} + C_{gd})} IiIo=s(Cgs+Cgd)gm
带入物理频率 s=jωs = j \omegas=jω 得到:
∣IoIi∣=gmω(Cgs+Cgd)|\frac{I_o}{I_i}| = \frac{g_m}{\omega(C_{gs} + C_{gd})} ∣IiIo∣=ω(Cgs+Cgd)gm
则单位增益时候的频率是在:
ωT=gm/(Cgs+Cgd)\omega_T = g_m / (C_{gs} + C_{gd}) ωT=gm/(Cgs+Cgd)
或是:
fT=gm2π(Cgs+Cgd)f_T = \frac{g_m}{2\pi (C_{gs} + C_{gd})} fT=2π(Cgs+Cgd)gm
因为 fTf_TfT 正比于 gmg_mgm ,并且 gmg_mgm 决定了中频带的增益。反比与 (Cgs+Cgd)(C_{gs} + C_{gd})(Cgs+Cgd) 限制了放大器的带宽, fTf_TfT 的值越大,MOS的频率效率就越好。
一般的, fTf_TfT 对于旧技术(5um COMS)来说在100MHz,对于高速新技术(0.13um COMS)在几GHz。
总结
BJT
与MOS同样的,BJT也存在内部电容效应。
基极充电或扩散电容 CdeC_{de}Cde
当BJT工作在主动模式下,次载流子充满基极区域。对于npn晶体管,基极区域充满了电子,我们记电荷量 QnQ_nQn 可以表示为:
Qn=τFiCQ_n = \tau_F i_C Qn=τFiC
其中 iCi_CiC 是集电极电流, τF\tau_FτF 是器件的时间常数,具有时间量纲,被称为 前向基极-过渡时间 ,表示一个次载流子(电子)通过基极区域的平均时间。一般情况下,在 10ps 到 100ps。
上式是一个大信号模型,因为 iCi_CiC 与 vBEv_{BE}vBE 呈现指数关系,同时 QnQ_nQn 也同样依赖于 vBEv_{BE}vBE 。对于小信号模型,我们定义 小信号扩散电容 :
Cde≡dQndvBE=τFdiCdvBE=τFgm=τFICVTC_{de} \equiv \frac{d Q_n}{d v_{BE}} = \tau_F \frac{d i_C}{d v_{BE}} = \tau_F g_m = \tau_F \frac{I_C}{V_T} Cde≡dvBEdQn=τFdvBEdiC=τFgm=τFVTIC
这里 ICI_CIC 是集电极偏置电流。因此当 vbev_{be}vbe 改变 vBEv_{BE}vBE 的时候,发射极电流增加 gmvbeg_m v_{be}gmvbe 因此电荷量增加 τFgmvbe\tau_F g_m v_{be}τFgmvbe 多出来的电荷由基极电流提供。
基极-发射极结电容 CjeC_{je}Cje
在BJT的主动模式下,基极和发射极直接存在电容 CjeC_{je}Cje ,我们知道,正向偏置的pn的电容为:
Cje≃2Cje0C_{je} \simeq 2C_{je0} Cje≃2Cje0
这里 Cje0C_{je0}Cje0 是零偏置下的电容。
集电极-基极结电容 CμC_\muCμ
在在BJT的主动模式下,集电极-基极是一个反向偏置的pn结,我们称其为 耗散电容 ,其值为:
Cμ=Cμ0(1+VCBV0c)mC_\mu = \frac{C_{\mu0}}{(1 + \frac{V_{CB}}{V_{0c}})^m} Cμ=(1+V0cVCB)mCμ0
这里 Cμ0C_{\mu0}Cμ0 是无偏置下的电容。 VCBV_{CB}VCB 是反向电压, V0cV_{0c}V0c 是内建电压(0.75V), mmm 是过渡系数(0.2-0.5)。
高频模型
下图展示了BJT的混合 π\piπ 和T模型下的高频模型。
在图中,分别有两个电容,一个是发射极到基极的电容:
Cπ=Cde+CjeC_\pi = C_{de} + C_{je} Cπ=Cde+Cje
另一个是集电极到基极的电容 CμC_\muCμ 。除此之外,我们还添加了基极的固有电阻 rxr_xrx 在外部基极B和内部基极B‘之间,因为 rx≪rπr_x \ll r_\pirx≪rπ 因此在低频模型下,我们可以忽略,但是在高频模型下,这个电阻是通过电流的并且和电容相互作用,就无法忽略。
BJT的单位增益频率
在datasheet中通常不直接给出 CπC_\piCπ 而是给出 β\betaβ 与频率之间的关系。为了决定 CπC_\piCπ 和 CμC_\muCμ 我们需要导出与 β\betaβ 之间的关系。我们使用下面的CE短路电流:
在节点C的电流为:
Ic=(gm−sCμ)VπI_c = (g_m -sC_\mu)V_\pi Ic=(gm−sCμ)Vπ
这里 VπV_\piVπ 和 IbI_bIb 的关系为:
Vπ=Ib(rπ∣∣Cπ∣∣Cμ)V_\pi = I_b(r_\pi||C_\pi||C_\mu) Vπ=Ib(rπ∣∣Cπ∣∣Cμ)
则电流比为:
hfe=IcIb=gm−sCμ1/rπ+s(Cπ+Cμ)h_{fe} = \frac{I_c}{I_b} = \frac{g_m - sC_\mu}{1/r_\pi + s(C_\pi + C_\mu)} hfe=IbIc=1/rπ+s(Cπ+Cμ)gm−sCμ
在一定的频率下, ωCμ≪gm\omega C_\mu \ll g_mωCμ≪gm 因此:
hfe≃gmrπ1+s(Cπ+Cμ)rπ=β01+s(Cπ+Cμ)rπh_{fe} \simeq \frac{g_m r_\pi}{1 + s(C_\pi + C_\mu)r_\pi} = \frac{\beta_0}{1 + s(C_\pi + C_\mu)r_\pi} hfe≃1+s(Cπ+Cμ)rπgmrπ=1+s(Cπ+Cμ)rπβ0
这里的 β0\beta_0β0 为低频下的 β\betaβ 并且 hfeh_{fe}hfe 存在一个单极点频率,此时为 3dB3dB3dB 响应:
ωβ=1(Cπ+Cμ)rπ\omega_\beta = \frac{1}{(C_\pi +C_\mu)r_\pi} ωβ=(Cπ+Cμ)rπ1
下图展示了该电路的高频响应:
存在单位增益频率 ωT\omega_TωT :
ωT=β0ωβ=gmCπ+Cμ\omega_T = \beta_0 \omega_\beta = \frac{g_m}{C_\pi + C_\mu} ωT=β0ωβ=Cπ+Cμgm
fT=gm2π(Cπ+Cμ)f_T = \frac{g_m}{2\pi(C_\pi + C_\mu)} fT=2π(Cπ+Cμ)gm
这个形式和MOS的一致。
通常在datasheet中给出 fTf_TfT ,而 fTf_TfT 是一个关于偏置电流的参数:
我们发现,在较低的偏置电流下,单位增益频率也较低。但是随着偏置电流继续加大,单位增益频率却降低了,此时不能使用上述表达式解释其原因,主要原因在 β0\beta_0β0 在大电流的情况下会下降。在 fTf_TfT 的常数区域,CπC_\piCπ 主要由扩散部分组成且远大于 CμC_\muCμ 因此 Cπ+Cμ≃Cde=τFgmC_\pi + C_\mu \simeq C_{de} = \tau_Fg_mCπ+Cμ≃Cde=τFgm :
fT=12πτFf_T = \frac{1}{2 \pi \tau_F} fT=2πτF1
一般情况下,fTf_TfT 在 100MHz到几十GHz。
关于高频模型,当频率处于 5∼10fβ5 \sim 10 f_\beta5∼10fβ 的时候,我们可以忽略 rπr_\pirπ 此时的阻抗由 rxr_xrx 决定。因此在高频模型下 rxr_xrx 具有关键作用。
在结束本节之前,我们应该注意到在高频模型下,BJT能够精准的工作直到 0.2fT0.2f_T0.2fT 。若想获得更大的 fTf_TfT 需要往BJT模型中加入更多的寄生元件。
总结
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