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16.遍历二叉树,线索二叉树

目录

一. 遍历二叉树

(1)三种遍历方式

(2)递归遍历算法

(3)非递归遍历算法

(4)层次遍历算法

二. 基于递归遍历算法的二叉树有关算法

(1)二叉树的建立

(2)二叉树的复制

(3)二叉树的深度计算

(4)计算二叉树中的结点数

(5)计算二叉树中的叶子结点数

三. 线索二叉树


一. 遍历二叉树

遍历定义——顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点,使得每个结点均被访问一次,而且仅被访问一次(又称周游)。这里“访问”的含义很广,可以是对结点作各种处理,如:输出结点的信息、修改结点的数据值等,但要求这种访问不破坏原来的数据结构。

遍历目的——得到树中所有结点的一个线性排列。

遍历用途——它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提,是二叉树一切运算的基础和核心。

(1)三种遍历方式

由于二叉树有根结点D,左子树L,右子树R,只要依次访问这三部分,就可以遍历这个二叉树。规定先左后右,即必须先访问左子树,再访问右子树,则根据什么时候访问根结点有:DLR——先(根)序遍历,LDR———中(根)序遍历,LRD———后(根)序遍历三种遍历方式。

由二叉树的递归定义可知,遍历左子树和遍历右子树可如同遍历二叉树一样“递归”进行。

先序遍历的过程图解(1)
先序遍历的过程图解(2)
中序遍历的过程图解
后序遍历的过程图解

若二叉树中各结点的值均不相同,则二叉树结点的先序序列、中的序列和后序列都是唯一的。
下面我们考虑逆过程:由二叉树的先序序列和中序序列,或由二叉树的后序序列和中序序列可以确定唯一一棵二叉树(只知道前序和后序序列不可以)。

原理:先序(后序)序列的第一个(最后一个)一定是根结点,根结点在中序序列中把整个序列分为两部分,左边序列是左子树,右面序列是右子树。依此类推。

(2)递归遍历算法

下面以先序遍历为例写出递归算法代码。具体解释如下:

  1. 首先,判断二叉树是否为空(即 T==NULL),如果为空,则直接返回(return OK),因为空树没有节点可遍历。

  2. 如果二叉树不为空,首先对当前节点 T 进行访问操作(visit(T)),即对根节点进行处理。

  3. 然后,通过递归调用 PreOrderTraverse 函数来遍历当前节点的左子树(T->Ichild),即对左子树进行前序遍历。

  4. 接着,再通过递归调用 PreOrderTraverse 函数来遍历当前节点的右子树(T->rchild),即对右子树进行前序遍历。

这样,通过递归的方式,可以依次访问二叉树的根节点、左子树和右子树,实现了前序遍历。

需要注意的是,visit(T) 表示对节点 T 进行访问操作,具体的操作可以根据实际需求来定义。

void PreOrderTraverse(BiTree T){ //前序遍历if(T==NULL) return OK; //空二叉树,这里OK理解为退出到上一层else{visit(T);//访问根结点PreOrderTraverse(T->Ichild);//递归遍历左子树PreOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树}
}

同样我们可以很容易的写出中序遍历和后序遍历的算法代码:

void PreOrderTraverse(BiTree T){ //中序遍历if(T==NULL) return OK; //空二叉树else{PreOrderTraverse(T->Ichild);//递归遍历左子树visit(T);//访问根结点PreOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树}
}
void PreOrderTraverse(BiTree T){ //后序遍历if(T==NULL) return OK; //空二叉树else{PreOrderTraverse(T->Ichild);//递归遍历左子树PreOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树visit(T);//访问根结点}
}

如果去掉输出语句,从递归的角度看,三种算法是完全相同的,或说这三种算法的访问路径是相同的,只是访问结点的时机不同。从图中虚线出发(白点代表左子树或者右子树为空),每个结点都经过了3次。第1次经过时访问=先序遍历,第2次经过时访问=中序遍历,第3次经过时访问=后序遍历。

遍历算法的时间复杂度:O(3n)=O(n),每个结点访问一次;

空间复杂度:O(n),对每一个经过但不访问的结点,我们都要找个空间存起来,最坏的情况就是除了根结点外其他所有结点都在右子树上,这时候存全部n个结点。

(3)非递归遍历算法

以中序遍历为例:二叉树中序遍历的非递归算法的关键:在中序遍历过某结点的整个左子树后,如何找到该结点的根以及右子树。
基本思想(中序遍历左子树根结点后进先出):

  • 建立一个栈
  • 根结点进栈,遍历左子树
  • 左子树全部访问完毕,根结点出栈,输出根结点,遍历右子树。

栈的变化情况:A进-B进-B出-D进-D出-A出-C进-C出;

写出代码,具体步骤解释如下:

  1. 首先,声明一个辅助指针 p 和一个栈 S,用于存储节点和辅助遍历。

  2. 初始化栈 S,即将栈置空。

  3. 将根节点 T 赋值给指针 p,即将 p 指向根节点。

  4. 进入循环,判断条件为 p 非空或者栈 S 非空。只要满足这个条件,就继续遍历二叉树。

  5. 在循环中,首先判断当前节点 p 是否非空。如果非空,则将其入栈(Push(S,p)),并将 p 指向其左子树(p = p->lchild)。

  6. 如果当前节点 p 为空,即左子树为空,说明已经到达最左边的叶子节点。此时需要从栈中弹出一个节点(Pop(S,q))。

  7. 对弹出的节点 q 进行访问操作,这里使用 printf 打印出节点的数据(printf("%c",q->data))。

  8. 将指针 p 指向节点 q 的右子树(p = q->rchild),继续遍历右子树。

  9. 重复步骤 4-8,直到遍历完整个二叉树。

  10. 最后,当指针变量p指向NULL,且工作栈中没有元素,说明整个二叉树遍历结束,跳出整个while循环,返回状态值 OK,表示函数执行成功。

Status InOrderTraverse(BiTree T){BiTree p,q;  //弄两个指针 InitStack(S);  //初始化一个工作栈p=T;  //让p指向树的根结点while(p||!StackEmpty(S)){  //StackEmpty()栈为空返回TRUE,否则返回FALSEif(p){Push(S,p);p = p->lchild;}else{Pop(S,q); printf(“%c”,q->data);p = q->rchild;}}//while
return OK;
}

(4)层次遍历算法

二叉树的层次遍历:对于一颗二叉树,从根结点开始,按从上到下、从左到右的顺序访问每一个结点。每一个结点仅仅访问一次。

算法设计思路:使用队列。
I. 将根结点进队;
II. 队不空时循环:从队列中出列一个结点*p,访问它,依次执行下面两步:

  • 若它有左孩子结点,将左孩子结点进队;
  • 若它有右孩子结点,将右孩子结点进队。

队列变化过程:a进队-a出队,b,f依次进队-b出队,c,d依次进队-f出队,g进队-c出队-d出队,e进队-g出队,h进队-e出队-h出队

使用队列定义类型如下:

typedef struct{BTNode data[MaxSize];  //存放队中元素int front,rear;  //队头和队尾指针
}SqQueue;  //顺序循环队列类型

给出算法代码,解释如下:

  1. 首先,声明一个指针 p 和一个队列 qu,用于存储节点和辅助遍历。

  2. 初始化队列 qu,即将队列置空。

  3. 将根结点 b 入队列(enQueue(qu,b)),即将根节点放入队列中。

  4. 进入循环,判断条件为队列 qu 非空。只要队列非空,就继续遍历二叉树。

  5. 在循环中,首先从队列中出队列一个节点(deQueue(qu,p)),并对该节点进行访问操作,这里使用 printf 打印出节点的数据(printf(" %c", p->data))。

  6. 然后,判断当前节点 p 的左子节点是否非空。如果非空,则将其入队列(enQueue(qu,p->lchild))。

  7. 接着,判断当前节点 p 的右子节点是否非空。如果非空,则将其入队列(enQueue(qu,p->rchild))。

  8. 重复步骤 4-7,直到遍历完整个二叉树。

  9. 最后,返回结果。

void LevelOrder(BTNode *b) {BTNode *p;  //p指向队列头部用于出队列SqQueue qu;InitQueue(qu);  //初始化队列enQueue(qu,b);  //根结点指针进入队列while(!QueueEmpty(qu)){ //队不为空,则循环deQueue(qu,p);  //出队结点pprintf(" %c", p->data);  //访问结点pif (p->Ichild!=NULL) enQueue(qu,p->lchild);  //有左孩子时将其进队if (p->rchild!=NULL) enQueue(qu,p->rchild);  //有右孩子时将其进队}  
}

二. 基于递归遍历算法的二叉树有关算法

(1)二叉树的建立

(以先序遍历为例)分两步进行:(1)从键盘输入二叉树的结点信息,建立二叉树的存储结构;(2)在建立二叉树的过程中按照二叉树先序方式建立;

先序遍历:ABCDEGF,有不同的树,所以加上空结点,就有唯一的树结构
Status CreateBiTree(BiTree &T){  //建立二叉树,传入指针类型scanf(&ch); //从键盘输入,C++中cin>>ch;if(ch == “#”) T=NULL;else{if(!(T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode))))exit(OVERFLOW); //C++中T=new BiTNode;T->data = ch;  //生成根结点CreateBiTree(T->Ichild);  //构造左子树CreateBiTree(T->rchild);  //构造右子树}return OK;  //同理,这里return到上一层调用
}  //CreateBiTree

这段代码是用来创建二叉树的函数。函数的输入参数是一个指向二叉树根节点的指针T。首先通过scanf函数读取一个字符ch作为输入。如果ch等于"#",表示当前节点为空,将T指向NULL。否则,进入else语句块。在else语句块中,首先通过malloc函数为当前节点分配内存空间,并将分配的地址赋值给T。如果分配内存失败,则程序退出。然后将当前节点的数据域赋值为ch。接下来递归调用CreateBiTree函数,创建当前节点的左子树,将左子树的根节点地址赋值给T->lchild。然后再次递归调用CreateBiTree函数,创建当前节点的右子树,将右子树的根节点地址赋值给T->rchild。最后,函数返回OK表示创建二叉树成功。

利用上面的代码,输入ABC##DE#G##F###,就可建立下面的二叉树链表。

(2)二叉树的复制

int Copy(BiTree T,BiTree &NewT){if(T == NULL){  //如果是空树返回0NewT = NULL;return 0;}else{NewT = new BiTNode;  //建立新结点,NewT指针指向它NewT->data = T->data;  //传入数据Copy(T->lChild,NewT->lchild);  //递归调用,复制左子树Copy(T->rChild,NewT->rchild);  //递归调用,复制右子树}
}

这段代码是一个递归函数,用于复制二叉树。函数的参数是原始二叉树T和目标二叉树NewT(通过引用传递),返回值为0表示复制成功。需要注意的是,在函数中使用了引用传递(&)来传递目标二叉树NewT的地址,这是为了能够在函数内部修改目标二叉树NewT的指针,以便将复制得到的子树链接到正确的位置上。

(3)二叉树的深度计算

int Depth(BiTree T){if(T==NULL) return 0;  //如果是空树返回0else{m = Depth(T->lChild);n = Depth(T->rChild);if(m>n) return (m+1);else return(n+1);}
}

这段代码是一个递归函数,用于计算二叉树的深度。函数的参数是二叉树T,返回值为二叉树的深度。首先,函数会检查二叉树T是否为空(即是否为叶子节点)。如果是空树,即T为NULL,那么二叉树的深度为0,函数直接返回0。

如果二叉树T不为空,那么函数会递归调用自身,分别计算左子树和右子树的深度,并将结果分别赋值给变量m和n。接下来,函数会比较左子树的深度m和右子树的深度n的大小。如果m大于n,说明左子树更深,那么函数返回m+1,表示整个二叉树的深度为左子树的深度加1。如果n大于等于m,说明右子树更深或者左右子树深度相等,那么函数返回n+1,表示整个二叉树的深度为右子树的深度加1。

最终,当递归调用完成后,函数会返回整个二叉树的深度。

(4)计算二叉树中的结点数

int NodeCount(BiTree T){if(T == NULL)return 0;elsereturn NodeCount(T->lchild)+NodeCount(T->rchild)+1;
}

如果是空树,即T为NULL,那么二叉树中节点的数量为0,函数直接返回0。

如果二叉树T不为空,结点个数=左子树结点数量+右子树结点数量+当前节点(即加1)。

(5)计算二叉树中的叶子结点数

int LeadCount(BiTree T){if(T==NULL)  //如果是空树返回0return 0;if (T->Ichild == NULL && T->rchild == NULL)return 1;  //如果是叶子结点返回1elsereturn LeafCount(T->lchild) + LeafCount(T->rchild);
}

如果是空树,则叶子结点个数为0;
否则,为左子树的叶子结点个数+右子树的叶子结点个数。

三. 线索二叉树

当用二叉链表作为二叉树的存储结构时,可以很方便地找到某个结点的左右孩子;但一般情况下,无法直接找到该结点在某种遍历序列中的前驱和后继结点。为了解决这个问题,一般有以下解决方案:

  • 通过遍历寻找——费时间
  • 再增设前驱、后继指针域——增加了存储负担。
  • 利用二叉链表中的空指针域。

这里我们重点介绍最后一种。首先回忆下二叉树链表中空指针域的数量:具有n个结点的二叉链表中,一共有2n个指针域(每个结点有左右指针域两个);因为n个结点中有n-1个孩子,即2n个指针域中,有n-1个用来指示结点的左右孩子,其余n+1个指针域为空。

如果某个结点的左孩子为空,则将空的左孩子指针域改为指向其前驱;如果某结点的右孩子为空,则将空的右孩子指针域改为指向其后继。这种改变指向的指针称为“线索",加上了线索的二叉树称为线索二叉树(Threaded Binary Tree)。

为区分lrchid和rchild指针到底是指向孩子的指针,还是指向前驱现白后继的指针,对二叉链表中每个结点增设两个标志域Itag 和rtag,并约定:

  • ltag = 0; lchild指向该结点的左孩子;
  • ltag = 1; lchild指向该结点的前驱;
  • rtag = 0; rchild指向该结点的右孩子;
  • rtag = 1; rchild指向该结点的后继;

这样,结点的结构就由5部分组成:

typedef struct BiThrNode{int data;int Itag, rtag;struct BiThrNode *Ichild,*rchild;
}BiThrNode,*BiThrTree;
先序遍历的线索二叉树
后序遍历的线索二叉树

为避免有些指针处于悬空状态,增设了一个头结点,这个头结点还是BiThrNode类型:
ltag=0, lchild指向根结点;
rtag=1, rchild指向遍历序列中最后一个结点;
遍历序列中第一个结点的lc域和最后一个结点的rc域都指向头结点;

这样,改进完的线索二叉树如下:

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