有趣的数学 数学建模入门二 一些理论基础

一、什么是数学建模?

         现实世界中混乱的问题可以用数学来解决，从而产生一系列可能的解决方案来帮助指导决策。大多数人对数学建模的概念感到不舒服，因为它是如此开放。如此多的未知信息似乎令人望而却步。哪些因素最相关？但正是现实世界问题的这种开放性导致了解决问题的技能、创造力、创新和数学的建立和应用。

        模型描述了我们对世界如何运作的理解。在数学建模中，我们将这些理解转化为数学语言。基于数学对世界进行描述，这有很多优点。

1. 数学是一门非常精确的语言。这有助于我们形成想法并确定潜在的假设。
2. 数学是一门简明的语言，有明确的操作规则。
3. 数学家数百年来证明的所有结果都由我们使用。
4. 计算机可以用来进行数值计算。

        另外在数学建模中有很大的折衷因素。现实世界中的大多数交互系统过于复杂，无法对其进行整体建模。因此，妥协的第一个层次是确定系统中最重要的部分。这些将包括在模型中，其余将被排除在外。第二个层次的折衷涉及到有价值的数学操作量。尽管数学有可能证明一般结果，但这些结果在很大程度上取决于所用方程的形式。方程结构的微小变化可能需要数学方法的巨大变化。使用计算机处理模型方程可能永远不会产生优雅的结果，但它对变化的鲁棒性要高得多。

二、建模可以实现什么目标？

        数学建模可以用于多种不同的原因。任何特定目标的实现程度取决于系统的知识状态和建模的完成程度。

        目标范围示例如下：

1. 发展科学理解，通过对一个系统的当前知识的定量表达（以及展示我们所知道的，这也可能展示我们所不知道的）；
2. 测试系统变化的影响；
3. 协助决策，包括（i） 管理者的战术决策；（ii）规划者的战略决策。

三、模型的分类

        在研究模型时，识别广泛的模型类别是有帮助的。将单个模型划分为这些类别，告诉立即告诉我们它们结构的一些要点。

        模型之间的一个划分是基于它们预测的结果类型。确定性模型忽略了随机变化，因此总是从给定的起点预测相同的结果。另一方面，该模型在本质上可能更具统计性，因此可以预测可能结果的分布。这种模型被认为是随机的。

        区分模型类型的第二种方法是考虑模型所基于的理解水平。最简单的解释是考虑正在建模的系统内组织结构的层次结构。对于动物来说，其中一个层次是：

        使用大量理论信息的模型通常通过考虑较低级别的过程来描述层次结构中一个级别上发生的事情——这些被称为机械模型，因为它们考虑了发生变化的机制。在经验模型中，没有考虑到系统发生变化的机制。相反，它只是注意到它们确实发生了，并且该模型试图定量地解释与不同条件相关的变化。

        上面的两个划分，即确定性/随机性和机制性/经验性，代表了一系列模型类型的极限。介于两者之间的是一系列模型类型。此外，这两种分类方法是相辅相成的。例如，确定性模型可以是机械的或经验的（但不是随机的）。上述分类方法所隐含的四大类模型的示例如下：

        另一种类型的模型，即系统模型，值得一提。这是由一系列子模型构建的，每个子模型都描述了一些交互组件的本质。上述分类方法更恰当地指的是子模型：在任何一个系统模型中都可以使用不同类型的子模型。

四、建模阶段

        将建模过程分为四大类活动是有帮助的，即构建、研究、测试和使用。尽管认为建模项目从构建到使用进展顺利可能是件好事，但事实并非如此。一般来说，在研究和测试阶段发现的缺陷可以通过返回构建阶段来纠正。请

        注意，如果对模型进行了任何更改，则必须重复研究和测试阶段。

        通过建模阶段的一般路线图示如下：

        数学建模可以被认为是由以下组件组成的迭代过程。

        这种重复迭代的过程是建模项目的典型过程，也是建模中最有用的方面之一，可以提高我们对系统工作方式的理解。

        1、确定问题由于建模问题是开放式的，因此建模者必须具体定义他们想要找出的内容。

        2、做出假设并确定变量由于不可能解释给定情况下的所有重要因素，因此建模者必须选择在现实世界的表示中加入哪些内容。做出假设有助于揭示将要考虑的变量，并通过决定不包括所有变量来减少变量的数量。在这个过程中，变量之间的关系将基于观察、物理定律或简化而出现。

        3、最终得到输入和输出之间的关系的解决方案。

        4、分析和评估解决方案是否合理并有意义。

        5、进行迭代，对模型进行优化，重复该过程以提高模型的性能。

        6、实施模型，并整理相关信息使其他人可以理解该模型。