LA@向量组线性相关性

向量组线性相关性

• 线性相关性是向量组的一个重要属性

线性相关

• 给定向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$,若存在$m$个$不全为0$的数$k_1,k_2,\cdots ,k_m$,使得:$\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$则称向量组$A$线性相关

  • $$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_m\end{array}\right)=\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$$

线性无关

• 如果向量组不是线性相关的,则是线性无关的

• 向量组$A$线性无关还可以描述为:

  • 使得$\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$成立的s个数$k_1,k_2,\cdots ,k_s$全为0

多向量向量组线性相关

• 对于$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$,$m⩾2$时,$A$线性相关等价于$A$中至少有一个向量能由其余$m-1$个向量线性表示

• 证明:

  • 若$A$线性相关,存在$m$个$不全为0$的数$k_1,k_2,\cdots ,k_m$,使得:$\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$,不妨设$k_1\ne 0$(若$k_i\ne 0$,可以通过调整$k_i,{\alpha }_i$顺序到$k_1({\alpha }_1)$,使得$k_1\ne 0$,这不改变线性相关性)
  • 对$\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$两边同时除以$k_1$,$\sum _{i=1}^m\frac{k_i}{k_1}{\alpha }_i$=${\alpha }_1+{\sum }_{i=2}^m\frac{k_i}{k_1}{\alpha }_i$=$0$;即${\alpha }_1={\sum }_{i=2}^m\frac{k_i}{k_1}{\alpha }_i$
  • 反之,若${\alpha }_1={\sum }_{i=2}^m{k}_i{\alpha }_i$;$-{\alpha }_1+{\sum }_{i=2}^m{k}_i{\alpha }_i=0$,即至少存在$-1,k_2,\cdots ,k_m$这$m$个不全为0的数使得${\sum }_{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$,即$A$线性相关

• 其逆否命题也是成立的:若$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$中任意一个向量都不能被其他$m-1$线性表示,则$A$线性无关

单向量向量组的线性相关性

• 对于单个向量构成的向量组$A:{\alpha }_1$,若要满足A线性相关,即存在$k\ne 0$使得$k{\alpha }_1=0$,只有当${\alpha }_1=0$成立
  • 可见单个非零向量构成的向量组线性无关

单位向量向量组线性相关性

• 设${\mathbf{E}}_n=({ϵ}_1,\cdots ,{ϵ}_n)$
• 由$n$个$n$维单位向量$E_n:{ϵ}_1,\cdots ,{ϵ}_n$构成的向量组线性无关
• 证明:$\sum _{i=1}^n{k}_i{ϵ}_i=(k_1,k_2,\cdots ,k_s)$=$0$的解只有$k_1=k_2=\cdots =k_s=0$

双向量向量组的线性相关性

• 设$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2$,则$A$线性相关的充要条件是${\alpha }_1,{\alpha }_2$分量对应成比例,即${\alpha }_1=k{\alpha }_2$
• 证法1:
  • 充分性:${\alpha }_1=k{\alpha }_2$即${\alpha }_1-k{\alpha }_2=0$,所以存在不全为0的$(k_1,k_2)=(1,k)$满足$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=0$
  • 必性:$A$线性相关则存在不全为0的$k_1,k_2$(不妨假设$k_1\ne 0$)使得$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=0$,即${\alpha }_1=-\frac{k_2}{k_1}{\alpha }_2$,取$k=-\frac{k_2}{k_1}$
• 证法2:
  • ${\alpha }_1=k{\alpha }_2$说明$A$中存在一个向量${\alpha }_1$能被其余向量$({\alpha }_2)$线性表示,所以$A$线性相关

双向量线性相关的几何意义

• 两个向量线性相关的几何意义是两向量共线(对于高维向量仍沿用共线几何术语)

三向量线性相关的几何意义

• 三向量线性相关的几何意义是三向量共面(对于高维向量,是超平面共面,仍然沿用几何术语)

包含零向量的向量组线性相关

• 任意一个包含零向量的向量组总是线性相关的

  • 假设向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$,中${\alpha }_1=0$(如果不是,则将${\alpha }_1$调整为非零向量),则令$k_i=0,(i=2,\cdots ,m)$则:${\alpha }_1$=$\sum _{i=2}^m{k}_i{\alpha }_i=0$所以$A$线性相关

概念迁移:线性方程组和线性相关

• 向量组的线性相关和线性无关的概念可以迁移到线性方程组
• 当方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$中某个方程$r_s$是其余方程的线性组合时,这个方程$r_s$是多余的(可移除的,不影响方程组的解的)
  • 这种情况下,方程组是线性相关的(指方程组内各个方程式线性相关的)
• 若方程组中没有多余方程(任何方程都无法被方程组内其余方程线性表示),就称方程组线性无关(线性独立)
• 可见,方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$线性相关的充要条件是矩阵$\mathbf{B}=(\mathbf{A},\mathbf{b})$的行向量组线性相关
• 设向量组$A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$构成的矩阵为$\mathbf{A}=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m)$,向量组$A$线性相关等价于:${\sum }_{i=1}^m{x}_i{\mathbf{a}}_i=0$,即齐次线性方程组$\mathbf{Ax}=0$有非零解(存在自由未知数)
• 由此,我们将向量组线性相关转换为矩阵问题(线性方程组的解的问题)

齐次线性方程组和向量组线性相关性

• $m$个$n$维向量构成的向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$,则线性相关的充要条件是:线性方程组$\mathbf{Ax}=0$有非零解
  • 其中$A$构成的矩阵$\mathbf{A}$是$n\times m$,
  • 若$r(A)=m$,方程组有唯一解零解,$A$线性无关
  • 若$r(A)<m$,方程有多解(非零解),$A$线性相关

向量组线性相关判定定理👺

• 将上一节归纳为定理:
  • 包含$m$个向量的向量组$A$线性相关的充要条件是$R(\mathbf{A})<m$;$A$线性无关的充要条件是$R(\mathbf{A})=m$
  • 简称:小相关,等无关
• 该定理相当重要,很多场景下可以比线性相关定义更加方便的推导和证明一些线性相关的命题和结论

概念补充

部分组

• 若向量组$A$是向量组$B$的一部分,则$A$是$B$的部分组,相对的可以称$B$为全组

• 例如$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$是向量组$B:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m,{\alpha }_{m+1}$的部分组

推论

方阵的行列式判定线性相关性

• 特别的,若$A$是一个$m$阶方阵,则$A$线性线相关的条件$R(\mathbf{A})=m$还可以作$|\mathbf{A}|\ne 0$

行数和列数的关系判定线性相关性

• ${\mathbf{A}}_{n\times m}$当行数$n<m$时,$R(\mathbf{A})⩽n<m$此时$A$必定线性相关
• 这个结论指出,如果向量组行数少或列数多的情况下,无论各个向量内容如何,向量组一定是线性相关的.特别是向量组包含无穷多个向量时
• 同时说明了,对于$n$维向量构成的向量组$A$,只要向量数量够多,$A$一定是线性相关

部分组线性相关的讨论

• 如果向量组$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$线性相关,则向量组$B:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m,{\alpha }_{m+1}$ 的也线性相关;

  • 反之(逆否命题,可以用反证法),若$B$线性无关,则$A$也线性无关
  • 由于成比例的两个向量线性相关,从而若某个向量组包含一对成比例的向量(部分向量组线性相关),则这个向量组是线性相关的

• 证明:

  • 由于$A$线性相关,所以$R(\mathbf{A})<m$

  • 由$A,B$可知,$\mathbf{B}=(\mathbf{A},{\alpha }_{\mathbf{m}+1})$,$R(\mathbf{B})⩽R(\mathbf{A})+R({\alpha }_{m+1})⩽R(\mathbf{A})+1$< $m+1$;

  • 所以$B$线性相关

• 推广:若$B$是$A$增加多个向量,则依然成立;即

  • 部分组线性相关,则全组线性相关;

  • 若全组线性无关,则部分组线性无关

线性无关向量组添加一个向量后变为线性相关

• 若向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关,而向量组$B:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$线性相关,则$\beta$可以由向量$A$线性表示,且表示法唯一.

证明1:

• 记$\mathbf{A}=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)$,$\mathbf{B}=({\alpha }_1,\cdots ,a_m,\beta )$,有$R(\mathbf{A})⩽R(\mathbf{B})$
• 因为$A$线性无关,所以$R(\mathbf{A})=m$;又因为$B$线性相关,所以$R(\mathbf{B})<m+1$
• 所以$m⩽R(\mathbf{B})<m+1$,即$R(\mathbf{B})=m$,
• 对于方程组$\mathbf{Ax}=\beta$有$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\beta )=R(\mathbf{B})=m$,可见$\mathbf{Ax}=\beta$有唯一解,即$B$可以被$A$唯一的线性表示

证明2:

先证明可表出

• 由于$B$线性相关,则存在不全为0的$k_1,\cdots ,k_m,k_{m+1}$,使得$(\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i)+k_{m+1}\beta =0$

• case1:若$k_{m+1}=0$则$(\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i)+k_{m+1}\beta =0$可以推出$\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$

  • 而由$A$线性无关知,只有$k_1,\cdots ,k_m=0$时,有$\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=0$成立
  • 从而$k_1,\cdots ,k_m,k_{m+1}=0$,$B$线性无关,和条件矛盾,从而$k_{m+1}\ne 0$

• case2:$k_{m+1}\ne 0$,$\beta =-\frac{1}{k_{m+1}}\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i$

再证明$\beta$的表示法唯一性

• 利用反证法

• 设$\beta$可以被表示为$\beta =\sum _{i=1}^m{k}_i{\alpha }_i=\sum _{i=1}^m{l}_i{\alpha }_i$

• 对两种表示方法做差:$\sum _{i=1}^m(k_i-l_i){\alpha }_i=0$

• 而由$A$线性无关知,只有$k_i-l_i=0(i=1,2,\cdots ,s)$时才有$\sum _{i=1}^m(k_i-l_i){\alpha }_i=0$成立

• 从而$k_i=l_i(i=1,2\cdots ,n)$

• 所以表示法唯一

向量组线性相关性的简单判定🎈

• 包含以下向量(一种或多种)的向量组线性相关
  1. 零向量
  2. 相等向量对
  3. 成比例的向量对

例

• $n$维单位坐标向量组$E:{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$的线性相关性:
  • 设$E$构成的矩阵$\mathbf{E}=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)$,$R(\mathbf{E})$=$n$,所以$E$线性无关

例

• 矩阵A的列向量组:

  • ${\alpha }_1=(3,-1,3,1{)}^T$

  • ${\alpha }_2=(4,-2,5,4{)}^T$

  • ${\alpha }_3=(2,-1,4,-1{)}^T$

• 求证$A$线性相关,并求$A$的列向量组的一个线性相关关系

  • $$\begin{gathered} \mathbf{A}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ -1& -2& -1\\ 3& 5& 4\\ 1& 4& -1\end{array}\right) \\ A\stackrel{r}{\sim }\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

  • 由于$r(A)=r(\tilde{A})=2<n=3$,所以$A$线性相关,存在$n-r=3-2=1$个自由变量,不妨令$(x_3)$为自由变量

  • 容易读出$x_1+3x_3=0,x_2-x_3=0$

    • $x_1=-3x_3$;

    • $x_2=x_3$

  • 取$x_3=-1$,则得到一个特解$(x_1,x_2,x_3{)}^T=(3,-1,-1{)}^T$

  • 此时有$3{\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3=0$成立

例

设某一个范德蒙行列式

• $$\begin{gathered} |V|={\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& a_3^2& \cdots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& a_3^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|}_n \\ 记{\alpha }_j=\left(\begin{array}{c}1\\ a_i\\ a_i^2\\ ⋮\\ a_i^{n-1}\end{array}\right)j=1,2,\cdots ,n \end{gathered}$$

• $|V|=|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n|$,若其中$a_i,(i=1,2,\cdots ,n)$互不相等.则$|V|\ne 0$,从而向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关

综合例

• 设

  • ${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2$

  • ${\beta }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3$

  • ${\beta }_3={\alpha }_3+{\alpha }_1$

• 求证若$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关,则$B:{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$线性无关

证法1

• 设向量$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3{)}^T$使得${\sum }_{i=1}^3{x}_i{\beta }_i=0$,即$x_1({\alpha }_1+{\alpha }_2)+x_2({\alpha }_2+{\alpha }_3)+x_3({\alpha }_3+{\alpha }_1)$=$0$
  • 即$(x_1+x_3){\alpha }_1+(x_1+x_2){\alpha }_2+(x_2+x_3){\alpha }_3=0$
  • 由于$A$线性无关,所以${\sum }_{i=1}^3{k}_i{\alpha }_i=0$只有当$k_1=k_2=k_3=0$
    • $x_1+x_3=0$
    • $x_1+x_2=0$
    • $x_2+x_3=0$
    • 由初等变换法(或cramer法则),该方程组有唯一解零解
  • 即${\sum }_{i=1}^3{x}_i{\beta }_i=0$只有零解,向量组$B$线性无关

证法2

• 把条件中的向量等式体现的是向量组$B$可以由向量组$A$线性表出

• 用一个矩阵等式表达:

  • 将$A,B$的矩阵分别用列分块矩阵表示${\mathbf{B}}_{1\times 3}$=$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$,${\mathbf{A}}_{1\times 3}$=$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$

  • 表出系数矩阵设为${\mathbf{K}}_{3\times 3}$,矩阵表达式为$\mathbf{B}=\mathbf{AK}$

  • 再分别根据3个向量等式中${\alpha }_i$的系数$(i=1,2,3)$,填写$K$的3个列

  • $$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

  • 设$\mathbf{Bx}=0$,将$\mathbf{B}=\mathbf{AK}$代入$\mathbf{Bx}=0$,再由乘法结合律,得$\mathbf{A}(\mathbf{Kx})=0$,这就将$B$得线性相关性转化到$A$得线性相关性上,利用$A$的线性相关性判断$B$的线性相关性

  • 而$A$是线性无关的,所以$\mathbf{Ay}=0$只有零解,即$\mathbf{y}=\mathbf{Kx}=0$,

  • 因为$|\mathbf{K}|=2\ne 0$,所以$\mathbf{Kx}=0$只有零解,即$\mathbf{x}=0$,从而$B$线性无关

证法3

• 和证法3类似,但是这里采用向量组的秩判断向量组的线性相关性
• 因为$\mathbf{K}$可逆,则$R(\mathbf{K})=3$
• 由矩阵秩的性质,对于$\mathbf{B}=\mathbf{AK}$,有$R(\mathbf{AK})=R(\mathbf{A})$,而$A$线性无关,所以$R(\mathbf{A})=3$(向量组$A,B$包含的向量个数都是3)
• 所以$R(\mathbf{B})=R(\mathbf{A})=3$所以向量组$B$线性无关

小结

• 证法1是按线性相关的定义,通过向量的运算得到的以$\mathbf{K}$为系数矩阵的齐次方程,再把问题转化为它只有令解进行推理
• 证法2,3都是先将三个向量等式合并为矩阵等式,立即得到矩阵$\mathbf{K}$
  • 证法2把证明向量组线性无关转化为证明齐次方程没有非零解,而去考察方程$\mathbf{Bx}=0$
  • 证法3利用矩阵的秩的知识,以及向量组线性相关判定定理,避开了线性方程而直接证明