动态规划之子数组系列

1. 环形⼦数组的最⼤和

1.题目链接：环形⼦数组的最⼤和
2.题目描述：给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。
环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。
子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], …, nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

示例 1：

输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

示例 2：

输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

示例 3：

输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 3 * 10^4
-3 * 10^4 <= nums[i] <= 3 * 10^4​​​​​​​

3.问题分析：这道题对于一个数组来说，逻辑上首尾是相连的，求子数组的最大和；直接求肯定是求不出来的，还记得清上篇多状态中有道打家劫舍II也是对于环形数组求解，那道题中一个房子如果偷的话，那么相邻的房子就不能再偷，我们对首尾进行详细分析，对[0, n - 2]和[1, n - 1]区间分别进行操作；这道题和那道题没关系哈，提出来只是让大家回忆一下，接下来就是这道题的思路；说难也不难，但是确实不好太想到，首先会有两种结果1. 结果在数组的内部，包括整个数组；2. 结果在数组⾸尾相连的⼀部分上。整个数组的总和sum是不变的，如果结果在数组⾸尾相连的⼀部分上，那么数组中间就会空出来一部分选不上，中间没选上的数组和就是子数组和的最小值；所以这道题求一个最大子数组和与一个最小子数组和，然后用sum减去最小子数组和与所求最大子数组和作比较，返回最大的那一个即可。

1. 状态表示：f[i] 表⽰：以 i 做结尾的所有⼦数组中和的最大值；g[i] 表⽰：以 i 做结尾的所有⼦数组中和的最⼩值。
2. 状态转移方程：f[i] 的所有可能可以分为以下两种：1.⼦数组的⻓度为 1 ：此时 f[i] = nums[i] ；2.⼦数组的⻓度⼤于 1 ：此时 f[i] 应该等于 以 i - 1 做结尾的所有⼦数组中和的最⼤值再加上 nums[i] ，也就是 f[i - 1] + nums[i] 。由于要的是最⼤值，因此应该是两种情况下的最⼤值，因此可得转移⽅程：f[i] = max(nums[i], f[i - 1] + nums[i])；g[i]的分析与f[i]基本相同，可得g[i]的状态转移方程为g[i] = min(nums[i], g[i - 1] + nums[i])。
3. 初始化：要求f[i]，那么就需要知道f[i - 1]的值，所以只需要处理i - 1越界这种情况，通常增加一个辅助结点即可，增加辅助结点后要记得nums[i - 1]要减1 ；初始化为 f[0] = g[0] = 0 。
4. 填表顺序：从左往右。
5. 返回值：找出f[i]中最大，g[i]中最小，用sum - min(g[i])，返回减去的值和f[i]中的最大值。有个特殊情况，就是当相减的数为0（即数组中的数全为负数），此时应该返回f[i]中的最大值，否则就返回减去的值和f[i]中的最大值。

4.代码如下：

class Solution
{
public:int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n + 1), g(n + 1);int sum = 0;int fmax = INT_MIN; //f数组中的最大值int gmin = INT_MAX; //g数组中的最小值for (int i = 1; i <= n; ++i){f[i] = max(f[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);fmax = max(fmax, f[i]);g[i] = min(g[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);gmin = min(gmin, g[i]);sum += nums[i - 1];}gmin = sum - gmin;return gmin == 0 ? fmax : max(fmax, gmin);}
};

2. 乘积最大子数组

1.题目链接：添加链接描述
2.题目描述：给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。
测试用例的答案是一个 32位 整数。
子数组 是数组的连续子序列。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

提示:

1 <= nums.length <= 2 * 10^4
-10 <= nums[i] <= 10
nums 的任何前缀或后缀的乘积都 保证 是一个 32-位 整数

3.问题分析：如果用一个dp表来表示乘积最大的子数组，就会发现当出现负数时一个dp表是不能表示出来的，负数乘负数可能会是最大的乘积。所以可以用两个dp表来表示，一个表为f：表示前i个元素，子数组乘积的最大值；另一个表为g：表示前i个元素中，子数组乘积的最小值。

1. 状态表示：如上所述，f表：表示前i个元素，子数组乘积的最大值；g表：表示前i个元素中，子数组乘积的最小值。
2. 状态转移方程：对于 f[i] ，也就是「以 i 为结尾的所有⼦数组的最⼤乘积」，对于所有⼦数组，可以分为下⾯三种形式：
   1.⼦数组的⻓度为 1 ，也就是 nums[i] ；2.⼦数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] > 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组的最⼤乘积 f[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * f[i - 1] ；3.⼦数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] < 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组的最⼩乘积 g[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * g[i - 1] ；综上所述， f[i] = max(nums[i], max(nums[i] * f[i - 1], nums[i] * g[i - 1]) )。
   对于 g[i] ，也就是以 i 为结尾的所有⼦数组的最⼩乘积，分析结果如同f[i]。
3. 初始化：要求 i 结尾的需要知道i - 1位置的值，所以可以增加一个辅助结点，求的是乘积的结果，所以f[0] = 1; g[0] = 1。
4. 填表顺序：从左往右。
5. 返回值：返回f表中最大的元素。

4.代码如下：

class Solution 
{
public:int maxProduct(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n + 1), g(n + 1);f[0] = g[0] = 1;int ret = INT_MIN;for (int i = 1; i <= n; ++i){int x = nums[i - 1], y = f[i - 1] * nums[i - 1], z = g[i - 1] * nums[i - 1];f[i] = max(x, max(y, z));g[i] = min(x, min(y, z));ret = max(ret, f[i]);}return ret;}
};

3. 等差数列划分

1.题目链接：等差数列划分
2.题目描述：
如果一个数列 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。
例如，[1,3,5,7,9]、[7,7,7,7] 和 [3,-1,-5,-9] 都是等差数列。
给你一个整数数组 nums ，返回数组 nums 中所有为等差数组的 子数组个数。
子数组 是数组中的一个连续序列。

3.算法流程：

1. 状态表示
   这道题以某一个位置为结尾进行分析（如图1），dp[i] 表示以 i 位置的元素为结尾的等差数列有多少种。
2. 状态转移方程
   1.如图2，假设上述4个位置构成等差数列，红线1表示以i-1为结尾的等差数列的数量；将红线1向后移动一格，那么这条红线是不是就可以代表以i为结尾的等差数列，但是刚好少了黑线2这种情况，所以以i为结尾的等差数列个数等于(红线1)以i-1为结尾的等差数列个数+1（黑线2这种多出来的情况），即dp[i] = dp[i - 1] + 1(如果是等差数列的话)。
   2.如果以i为结尾的元素不构成等差数列，那么这个位置的dp[i]=0，因为dp表示以i位置的元素为结尾的等差数列的个数。
   之后将以所有元素为结尾的等差数列加起来即为所求。
3. 初始化
   前两个位置的元素⽆法构成等差数列，因此 dp[0] = dp[1] = 0 。
4. 填表顺序：从左往右。
5. 返回值：要求的是所有的等差数列的个数，因此需要返回整个 dp 表⾥⾯的元素之和。

4.代码如下：

class Solution 
{
public:int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> dp(n);int ret = 0;for (int i = 2; i < n; ++i){if ((nums[i] - nums[i-1]) == (nums[i-1] - nums[i-2]))dp[i] = dp[i-1] + 1;ret += dp[i];}return ret;}
};

4. 最长湍流子数组

1.题目链接：最长湍流子数组
2.题目描述：给定一个整数数组 arr ，返回 arr 的 最大湍流子数组的长度 。
如果比较符号在子数组中的每个相邻元素对之间翻转，则该子数组是 湍流子数组 。
更正式地来说，当 arr 的子数组 A[i], A[i+1], …, A[j] 满足仅满足下列条件时，我们称其为湍流子数组：
若 i <= k < j ：当 k 为奇数时， A[k] > A[k+1]，且当 k 为偶数时，A[k] < A[k+1]；
或 若 i <= k < j ：当 k 为偶数时，A[k] > A[k+1] ，且当 k 为奇数时， A[k] < A[k+1]。

示例 1：

输入：arr = [9,4,2,10,7,8,8,1,9]
输出：5
解释：arr[1] > arr[2] < arr[3] > arr[4] < arr[5]

示例 2：

输入：arr = [4,8,12,16]
输出：2

示例 3：

输入：arr = [100]
输出：1

3.问题分析：这道题需要找最长交错的子数组，交错就是 i 位置的比 i - 1 的值要大（小），i + 1位置的比 i 位置要小（大），可以说要求交错的最长子数组。首先想用一个dp表来解决，会发现数组中的值一会比前一个大，一会又比前一个小，用一个dp表表示不了，再用两个dp表来试试，数组中的元素一会大一会小，那么就用f[i]来表示 i 位置的元素比 i - 1 中的元素大，所存的最长子数组；用g[i]来表示 i 位置的元素比 i - 1 中的元素小，所存的最长子数组，这样表示这道题就会很容易求出来。

1. 状态表示：f[i]来表示 i 位置的元素比 i - 1 中的元素大，所存的最长子数组；用g[i]来表示 i 位置的元素比 i - 1 中的元素小，所存的最长子数组。
2. 状态转移方程：1.arr[i] > arr[i - 1] ：如果 i 位置的元素⽐ i - 1 位置的元素⼤，说明接下来应该去找 i -1 位置结尾，并且 i - 1 位置元素⽐前⼀个元素⼩的序列，那就是 g[i - 1] 。更新 f[i] 位置的值： f[i] = g[i - 1] + 1 ； 2.arr[i] < arr[i - 1] ：如果 i 位置的元素⽐ i - 1 位置的元素⼩，说明接下来应该去找 i - 1 位置结尾，并且 i - 1 位置元素⽐前⼀个元素⼤的序列，那就是f[i - 1] 。更新 g[i] 位置的值： g[i] = f[i - 1] + 1 ； arr[i] == arr[i - 1] ：不构成湍流数组。
3. 初始化：两个dp表中所有的值可以初始化为1.因为最短的长度为1；然后从 i = 1开始遍历，i - 1>= 0，dp表是不会越界的，所以这道题就不用增加辅助结点。
4. 填表顺序：从左往右，依次填写。
5. 返回值：返回两个dp表中的最大值。

4.代码如下：

class Solution 
{
public:int maxTurbulenceSize(vector<int>& arr) {int n = arr.size();vector<int> f(n, 1), g(n, 1);int ret = 1;for (int i = 1; i < n; ++i){if (arr[i] > arr[i - 1])f[i] = g[i - 1] + 1;else if (arr[i] < arr[i - 1])g[i] = f[i - 1] + 1;ret = max(ret, max(f[i], g[i]));}return ret;}
};

5. 单词拆分

1.题目链接：单词拆分
2.题目描述：给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。
注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

示例 1：

输入: s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]
输出: true 解释: 返回 true
因为 “leetcode” 可以由 “leet” 和 “code” 拼接成。

示例 2：

输入: s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”] 输出: true 解释: 返回
true 因为 “applepenapple” 可以由 “apple” “pen” “apple” 拼接成。
注意，你可以重复使用字典中的单词。

示例 3：

输入: s = “catsandog”, wordDict = [“cats”, “dog”, “sand”, “and”, “cat”]
输出: false

提示：

1 <= s.length <= 300
1 <= wordDict.length <= 1000
1 <= wordDict[i].length <= 20 s 和 wordDict[i] 仅由小写英文字母组成 wordDict 中的所有字符串互不相同

3.问题分析：要利用字典中出现的单词拼接出 s ，那么就可以认为从s中的0位置拿一个子数组与字典中的元素匹配，然后再向后拿一个子数组匹配，如果s中的每个子数组都可以在字典中找到，那么可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。

1. 状态标识：dp[i] 表⽰： [0, i] 区间内的字符串，能否被字典中的单词拼接⽽成。
2. 状态转移方程：对于 dp[i] ，为了确定当前的字符串能否由字典⾥⾯的单词构成，根据最后⼀个单词的起始位置 j ，可以将其分解为前后两部分： 前⾯⼀部分 [0, j - 1] 区间的字符串； 后⾯⼀部分 [j, i] 区间的字符串。其中前⾯部分我们可以在 dp[j - 1] 中找到答案，后⾯部分的⼦串可以在字典⾥⾯找到。因此， 当dp[j - 1] = true，并且后⾯部分的⼦串 s.substr(j, i - j + 1) 能够在字典中找到，那么 dp[i] = true 。
3. 初始化：增加一个辅助结点，dp[0]表示0个字符能否被拼接而成，0个字符串也就是空串，所以dp[0] = true，因为增加了一个辅助结点，所以遍历s是要减1 。
4. 填表顺序：从左往右
5. 返回值：返回 dp[n] 位置的布尔值。
   4.代码如下：

class Solution
{
public:bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict){//将字典⾥⾯的单词存在哈希表⾥⾯unordered_set<string> hash;for (auto& s : wordDict) hash.insert(s);int n = s.size();vector<bool> dp(n + 1);dp[0] = true; // 保证后续填表是正确的for (int i = 1; i <= n; i++) // 填 dp[i]{for (int j = i; j >= 1; j--) //最后⼀个单词的起始位置{if (dp[j - 1] && hash.count(s.substr(j - 1, i - j + 1))) //添加辅助结点，对应的位置为j - 1{dp[i] = true;break;}}}return dp[n];}
};

6. 环绕字符串中唯⼀的子字符串

1.题目链接：环绕字符串中唯⼀的子字符串
2.问题描述：
定义字符串 base 为一个 “abcdefghijklmnopqrstuvwxyz” 无限环绕的字符串，所以 base 看起来是这样的：
“…zabcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcd…”.
给你一个字符串 s ，请你统计并返回 s 中有多少 不同非空子串 也在 base 中出现。

示例 1：

输入：s = “a”
输出：1
解释：字符串 s 的子字符串 “a” 在 base 中出现。

示例 2：

输入：s = “cac”
输出：2
解释：字符串 s 有两个子字符串 (“a”, “c”) 在 base 中出现。

示例 3：

输入：s = “zab”
输出：6
解释：字符串 s 有六个子字符串 (“z”, “a”, “b”, “za”, “ab”, and “zab”) 在 base 中出现。

提示：

1 <= s.length <= 10^5
s 由小写英文字母组成

3.问题分析：这道题其实可以说寻找递增子数组的个数，比如如果只有a到y，（并且元素不重复）用一个dp表，i 位置表示的是以 i 结尾子数组的个数，将每块相连的递增子数组个数相加即将dp表中的元素求和；现在再加一个z，并且z到a可以看作是连接的，那么就加个if语句将这种情况判断一下即可；然后再加一个条件元素可以重复，但是题中所求子数组是不能重复，dp表是的是以i为结尾子数组的个数，比如aababc(“a”,“b”,“c”,“ab”,“bc”,“abc”)，对于后面的abc来说已经包含前面的ab了，所以只用求出以某个结尾的最大子数组的个数，用一个哈希数组可以来解决，如果s[i]的元素一样，那么就保留dp[i]中的最大值。

1. 状态表示：dp[i] 表⽰：以 i 位置的元素为结尾的所有⼦串⾥⾯，有多少个在 base 中出现过。
2. 状态转移方程：就是寻找递增子数组的个数，如等差数列划分，即dp[i] = dp[i - 1] + 1(如果是等差数列的话)。
3. 初始化：这道题的长度可以为1，而等差序列划分最少要为3，所以将dp表都初始化为1.
4. 填表顺序：从左往右。
5. 返回值：返回哈希数组中元素的和。

代码如下：

class Solution
{
public:int findSubstringInWraproundString(string s){int n = s.size();// 1. 利⽤ dp 求出每个位置结尾的最⻓连续⼦数组的⻓度vector<int> dp(n, 1);for (int i = 1; i < n; i++)if (s[i] - 1 == s[i - 1] || (s[i - 1] == 'z' && s[i] == 'a'))dp[i] = dp[i - 1] + 1;// 2. 计算每⼀个字符结尾的最⻓连续⼦数组的⻓度int hash[26] = { 0 };for (int i = 0; i < n; i++)hash[s[i] - 'a'] = max(hash[s[i] - 'a'], dp[i]);// 3. 将结果累加起来int sum = 0;for (auto x : hash) sum += x;return sum;}
};