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第一类曲面积分:曲面微元dσ与其投影面积微元dxdy之间的关系推导

第一类曲面积分:曲面微元dσ与其投影面积微元dxdy之间的关系推导

本篇博客精简自本人关于曲面积分的博客:详情见:曲面积分(Surface Integral)

曲面参数化(曲面上的每个点都使用起点为原点、终点为该曲面上的点的向量表示)
x o y xoy xoy平面中区域 R R R(其实是曲面在 x o y xoy xoy平面上的投影)上方的曲面,其参数表示式 r ( u , v ) = f ( u , v ) i + g ( u , v ) j + h ( u , v ) k \bold{r}(u,v)=f(u,v)\bold{i}+g(u,v)\bold{j}+h(u,v)\bold{k} r(u,v)=f(u,v)i+g(u,v)j+h(u,v)k

P P P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量分别是:
r u = ∂ r ( u , v ) ∂ u = ∂ f ( u , v ) ∂ u i + ∂ g ( u , v ) ∂ u j + ∂ h ( u , v ) ∂ u k \bold{r_u}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\bold{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial u}\bold{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial u}\bold{k} ru=ur(u,v)=uf(u,v)i+ug(u,v)j+uh(u,v)k
r v = ∂ r ( u , v ) ∂ v = ∂ f ( u , v ) ∂ v i + ∂ g ( u , v ) ∂ v j + ∂ h ( u , v ) ∂ v k \bold{r_v}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial v}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\bold{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial v}\bold{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial v}\bold{k} rv=vr(u,v)=vf(u,v)i+vg(u,v)j+vh(u,v)k

点P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量叉乘的数值大小为两个切向量组成四边形的面积,使用该面积替代下方的曲面微元(以直平面替代曲面)
S 1 = ∣ r u × r v ∣ S_1=|\bold{r_u}×\bold{r_v}| S1=ru×rv

r u 、 r v r_u、r_v rurv进行缩放调整其大小基本和下方曲面边长大小差不多, Δ u r u 、 Δ v r v \Delta ur_u、\Delta vr_v ΔuruΔvrv,现在直平面面积变为了
S = ∣ Δ u r u × Δ v r v ∣ = ∣ r u × r v ∣ Δ u Δ v ≈ Δ σ x y S=|\Delta ur_u×\Delta vr_v|=|\bold{r_u}×\bold{r_v}|\Delta u\Delta v\approx \Delta\sigma_{xy} S=∣Δuru×Δvrv=ru×rv∣ΔuΔvΔσxy

曲面微元 d σ d\sigma dσ d u d v dudv dudv之间的关系
d σ = ∣ r u × r v ∣ d u d v d\sigma=|\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv dσ=ru×rvdudv
若曲面的面密度不是常数,即被积函数不是常数,则曲面S质量为:
∬ S G ( x , y , z ) d σ = ∬ R G ( f ( u , v ) , g ( u , v ) , h ( u , v ) ) ∣ r u × r v ∣ d u d v \iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma=\iint\limits_{R}G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv SG(x,y,z)dσ=RG(f(u,v),g(u,v),h(u,v))ru×rvdudv


若我们取 x = u 、 y = v 、 z = f ( x , y ) x=u、y=v、z=f(x,y) x=uy=vz=f(x,y),其中 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) x o y xoy xoy平面中区域 R R R上的曲面表达式
参数化后曲面的表示式
r ( u , v ) = u i + v j + f ( u , v ) k \bold{r}(u,v)=u\bold{i}+v\bold{j}+f(u,v)\bold{k} r(u,v)=ui+vj+f(u,v)k
点P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量分别是:
r u = ∂ r ( u , v ) ∂ u = i + f u ′ ( u , v ) k \bold{r_u}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial u}=\bold{i}+f'_u(u,v)\bold{k} ru=ur(u,v)=i+fu(u,v)k
r v = ∂ r ( u , v ) ∂ v = j + f v ′ ( u , v ) k \bold{r_v}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial v}=\bold{j}+f'_v(u,v)\bold{k} rv=vr(u,v)=j+fv(u,v)k
r u × r v = ∣ i j k 1 0 f u ′ 0 1 f v ′ ∣ = − f u ′ i − f v ′ j + k \bold{r_u}×\bold{r_v}=\left | \begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ 1 & 0 & f'_u \\ 0 & 1 & f'_v \\ \end{matrix} \right | =-f'_u\bold{i}-f'_v\bold{j}+\bold{k} ru×rv= i10j01kfufv =fuifvj+k
∣ r u × r v ∣ = ( − f u ′ ) 2 + ( − f v ′ ) 2 + 1 2 = f u ′ 2 + f v ′ 2 + 1 |\bold{r_u}×\bold{r_v}|=\sqrt{(-f'_u)^2+(-f'_v)^2+1^2}=\sqrt{f'^2_u+f'^2_v+1} ru×rv=(fu)2+(fv)2+12 =fu′2+fv′2+1
∣ r u × r v ∣ d u d v = ( − f u ′ ) 2 + ( − f v ′ ) 2 + 1 2 d u d v = f u ′ 2 + f v ′ 2 + 1 d u d v |\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv=\sqrt{(-f'_u)^2+(-f'_v)^2+1^2}dudv=\sqrt{f'^2_u+f'^2_v+1}dudv ru×rvdudv=(fu)2+(fv)2+12 dudv=fu′2+fv′2+1 dudv
将参数化后的参数替换为原参 x = u 、 y = v x=u、y=v x=uy=v
曲面微元 d σ d\sigma dσ与其投影面积微元 d x d y dxdy dxdy之间的关系
d σ = f x ′ 2 + f y ′ 2 + 1 d x d y d\sigma=\sqrt{f'^2_x+f'^2_y+1}dxdy dσ=fx′2+fy′2+1 dxdy
区域R(曲面投影)上方曲面的面积为:
∬ R d σ = ∬ R f x ′ 2 + f y ′ 2 + 1 d x d y \iint\limits_{R}d\sigma=\iint\limits_{R}\sqrt{f'^2_x+f'^2_y+1}dxdy Rdσ=Rfx′2+fy′2+1 dxdy
曲面显式表达式: z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),曲面隐式表达式: G ( x , y , z ) = z − f ( x , y ) G(x,y,z)=z-f(x,y) G(x,y,z)=zf(x,y)
G x ′ ( x , y , z ) = − f x ′ ( x , y ) G y ′ ( x , y , z ) = − f y ′ ( x , y ) G z ′ ( x , y , z ) = 1 G'_x(x,y,z)=-f'_x(x,y)\\ ~\\ G'_y(x,y,z)=-f'_y(x,y)\\ ~\\ G'_z(x,y,z)=1 Gx(x,y,z)=fx(x,y) Gy(x,y,z)=fy(x,y) Gz(x,y,z)=1
若曲面的面密度不是常数,即被积函数不是常数,则曲面S质量为:
∬ S G ( x , y , z ) d σ = ∬ R G ( x , y , f ( x , y ) ) f x ′ 2 + f y ′ 2 + 1 d x d y \iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma=\iint\limits_{R}G(x,y,f(x,y))\sqrt{f'^2_x+f'^2_y+1}dxdy SG(x,y,z)dσ=RG(x,y,f(x,y))fx′2+fy′2+1 dxdy

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