轮换对称性

二重积分

1. 普通对称性–D关于$y=x$对称：
   $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma f(x,y)=f(y,x)\\ 0f(x,y)=-f(y,x)\end{array}$$
   其中$D_1$是$D$关于$y=x$对称的半个部分
2. 轮换对称性：
   在直角坐标系中，若将区域D中的x，y对调后，D不变，则有
   $$I={\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(y,x)dxdy$$
   不管积分区域对不对称，由于积分与变量名无关，因此天然有${\iint }_{D_{xy}}f(x,y)dxdy={\iint }_{D_{yx}}f(y,x)dydx$。而这两个积分因为坐标系不一致，不可以做运算，而对称轮换性的原理是字母对调后再相加减很简单，因此若要让两个积分做运算，必然要有$D_{xy}=D_{yx}$，因此需要积分区域D关于$y=x$对称
3. 二者区别：
   • 积分函数的区别
     • 普通对称性是对调之后若$f(x,y)=f(y,x)$则为二倍，若$f(x,y)=-f(y,x)$则为0
     • 轮换对称性是对调之后$f(x,y)$和$f(y,x)$的关系并不重要，它俩表达式不一定一样。情况往往是二者表达式都比较复杂，但加起来比较简单，即$f(x,y)+f(y,x)=a$
   • 积分区域的区别
     • 普通对称性的积分区域D关于$y=x$对称
     • 轮换对称性的积分区域满足的特征为：将$x,y$对调后，积分区域D不变，这也需要区域D关于$y=x$对称
   • 整体来说，普通对称性中的关于$y=x$对称的条件强度要比轮换对称性高得多。因为二者都要积分区域关于$y=x$对称，前者还需要x、y对调后的函数之间有关系，而后者的满足条件就到此为止了。
4. 举例：如下图就是轮换对称性