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幂级数和幂级数的和函数有什么关系?

幂级数和幂级数的和函数有什么关系?

本文例子引用自:80_1幂级数运算,逐项积分、求导【小元老师】高等数学,考研数学

求幂级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n x n \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n n=1n1xn 的和函数
(1)求收敛半径,由于是不缺项级数所以可以使用 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho nlimanan+1=ρ,若是缺项级数则只能使用 lim ⁡ n → ∞ ∣ u n + 1 ( x ) u n ( x ) ∣ = ρ ∣ ϕ ( x ) ∣ < 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\rho|\phi(x)|\lt 1 nlimun(x)un+1(x)=ρϕ(x)<1,当然不缺项级数也可使用后者。
ρ = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ ∣ 1 n + 1 1 n ∣ = 1 \rho=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}|=1 ρ=nlimanan+1=nlimn1n+11=1
(2)判断端点处的敛散性
x = − 1 x=-1 x=1 时, ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 1 n \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n} n=1(1)nn1 u n = 1 n → 0 u_n=\frac{1}{n}\rightarrow0 un=n10 u n = 1 n u_n=\frac{1}{n} un=n1递减,级数收敛(利用交错级数的莱布尼茨定理判别)
x = 1 x=1 x=1 时, ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} n=1n1 p = 1 p=1 p=1,级数发散(利用p级数判别)
(3)综上,该级数收敛域 [ − 1 , 1 ) [-1,1) [1,1)
(4)求收敛域中幂级数的和函数(在收敛域中幂级数等于其和函数,超过收敛域二者不等
s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n x n = x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + ⋯ + 1 n x n + ⋯ s(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots+\frac{1}{n}x^n+\cdots s(x)=n=1n1xn=x+21x2+31x3++n1xn+
逐项求导
s ′ ( x ) = ( ∑ n = 1 ∞ 1 n x n ) ′ = 1 + x + x 2 + ⋯ + 1 n x n − 1 + ⋯ = 1 1 − x s'(x)=\big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n\big)'=1+x+x^2+\cdots+\frac{1}{n}x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1-x} s(x)=(n=1n1xn)=1+x+x2++n1xn1+=1x1
左右两端同时积分(右侧逐项积分)
s ( x ) = s ( 0 ) + ∫ 0 x s ′ ( t ) d t = 0 + ∫ 0 x 1 1 − t d t = − ln ⁡ ( 1 − x ) s(x)=s(0)+\int_0^xs'(t)dt=0+\int_0^x\frac{1}{1-t}dt=-\ln(1-x) s(x)=s(0)+0xs(t)dt=0+0x1t1dt=ln(1x)
上式为什么还有 s ( 0 ) s(0) s(0)?
∫ 0 x s ′ ( t ) d t = s ( x ) ∣ 0 x = s ( x ) − s ( 0 ) s ( x ) = s ( 0 ) + ∫ 0 x s ′ ( t ) d t \int_0^xs'(t)dt=s(x)|_0^x=s(x)-s(0)\\ ~\\ s(x)=s(0)+\int_0^xs'(t)dt 0xs(t)dt=s(x)0x=s(x)s(0) s(x)=s(0)+0xs(t)dt
最终收敛域上幂级数的和函数为:
s ( x ) = − ln ⁡ ( 1 − x ) , x ∈ [ − 1 , 1 ) s(x)=-\ln(1-x),x\in[-1,1) s(x)=ln(1x)x[1,1)
我们为什么要兜圈子先对级数求导(或积分)然后再进行积分(或求导)呢?
主要想利用等比级数,因为其和函数容易求得,而逐项求导和积分的目的是将所给幂级数变换为等比级数,随后利用等比级数求出所给幂级数的和函数

在这里插入图片描述

我们在图像中看看到底幂级数和幂级数的和函数有什么关系?
下图中幂级数的图像为绿色曲线,其实不是真正的图像,因为 n n n为无穷大,笔者这里 n n n只取到了9,仅做示意。下图中红色曲线为幂级数和函数的图像,我们可以发现在收敛域中幂级数等于其和函数,超过收敛域二者是不等的

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