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博弈论——伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)

news 文章来源：https://blog.csdn.net/qq_43403025/article/details/133382884 2025/1/11 5:06:16

伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)

0 引言

在前面几篇文章中，我们介绍了古诺模型(Cournot duopoly model)和斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
博弈论——连续产量古诺模型(Cournot duopoly model)
博弈论——斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)

这两个模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，也就是说博弈方的决策变量都是产量，而伯特兰德模型是价格竞争模型。
同时我们也介绍了反应函数法：得益是策略多元连续函数的博弈,都可以求每个博弈方的反应函数，解出各博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种用反应函数求纳什均衡的方法,称为“反应函数法”。我们也分别用反应函数对古诺模型和斯塔克尔伯格模型进行了求解。
在这篇文章中，我们将继续推进反应函数法的使用，利用该方法来求解伯特兰德模型。

1 伯特兰德寡头模型

1.1 模型建立

在伯特兰德价格博弈模型中，两寡头生产有一定差别的产品。产品差别指在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类产品,有很强的替代性,但又不是完全可替代。最后,仍强调两个厂商是同时决策的。假设厂商1生产产品1，厂商2生产产品2。
产品价格：P1、P2分别为厂商1、厂商2的产品价格；
潜在市场规模：a1、a2分别为产品1、产品2的潜在市场规模；
生产成本：假设两个厂商无固定成本,边际生产成本分别为c1和c2；
价格弹性：b1、b2为产品1、产品2的价格弹性；
产品的替代系数：d1、d2为两个产品的替代系数。
根据上述参数设置，我们得到了以下的模型：
假设当厂商1和厂商2价格分别为P1和 P2时,各自的需求函数为：
$q_1=q_1 (P_1,P_2 )=a_1-b_1 P_1+d_1 P_2$

$q_2=q_2 (P_1,P_2 )=a_2-b_2 P_2+d_2 P_1$
在该博弈中,两博弈方的决策变量为产品价格，因此各自的策略空间为 $s_1=[0，P_{1max}]$ 和 $s_2=[0，P_{2max}]$ ,其中 $P_{1max}$ 和 $P_{2max}$ 是厂商1和厂商2还能卖出产品的最高价格。两博弈方的得益是各自的利润,即销售收益减去成本,它们都是双方价格的函数为:
$π_1=π_1 (P_1,P_2 )=P_1 q_1-c_1 q_1=(P_1-c_1)(a_1-b_1 P_1+d_1 P_2)$

$π_2=π_2 (P_1,P_2 )=P_2 q_2-c_2 q_2=(P_2-c_2)(a_2-b_2 P_2+d_2 P_1)$

1.2 模型求解

我们用反应函数法分析这个博弈。对上述得益函数求偏导，并且偏导为0时存在最大值：
$\frac{∂π_1}{∂P_1}=-2b_1 P_1+c_1 b_1+a_1+d_1 P_2$
$\frac{∂π_2}{∂P_2}=-2b_2 P_2+c_2 b_2+a_2+d_2 P_1$
令 $\frac{∂π_1}{∂P_1}=0$ ， $\frac{∂π_2}{∂P_2}=0$ 得到两个厂商的反应函数为：
$P_1=R_1 (P_2 )=\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1+a_1+d_1 P_2)$
$P_2=R_2 (P_1 )=\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2+a_2+d_2 P_1)$
回顾一下我们在反应函数文章中的介绍，该博弈的纳什均衡是两条反应函数对应图像的交点 $P_1^*,P_2^*)$ ,并且这个交点需要满足：
$P_1^*=\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1+a_1+d_1 P_2^*)$
$P_2^*=\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2+a_2+d_2 P_1^*)$
解上述的二元一次方程组，得：
$P_1^*=\frac{d_1 (a_2+b_2 c_2 )+2b_2 (a_1+c_1 b_1)}{4b_1 b_2-d_1 d_2}$
$P_2^*=\frac{d_2 (a_1+c_1 b_1 )+2b_1 (a_2+b_2 c_2)}{4b_1 b_2-d_1 d_2}$
则 $P_1^*,P_2^*)$ 为该博弈的唯一纳什均衡。将 $P_1^*、P_2^*$ 代入得益函数中，可以求得两个厂商的均衡得益，这里我就不再赘述了，有兴趣的读者可以自行代入计算。

谢老师的书中，对该模型的各参数做了具体假设： $a_1=a_2=28，b_1=b_2=1,d_1=d_2=0.5，c_1=c_2=2$ ，则可以解得 $P_1^*=P_2^*=20，u_1^*=u_2^*=324$ 。

2 总结

更一般的伯特兰德模型可以有n个寡头,产品也可以是无差别的。产品无差别时,可以考虑消费者对价格的敏感性问题。因为如果所有消费者对价格都非常敏感,则生产无差别产品的厂商中价格高的一方完全卖不出去,价格差别不可能存在。多寡头伯特兰德模型的分析是两寡头模型的简单推广,只需求出每个厂商对其他各个厂商价格的反应函数,解出它们的交点即可。