【通信原理】第二章｜确知信号

前言

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第二章 确知信号

1. 确知信号的类型

代表信号电压或者电流的时间波形$s(t)$
$$s(t)$$
信号的能量，单位焦耳。
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)\mathrm{d}t$$
如果这个数是一个正的有限值，则信号为能量信号。与此同时，能量信号的平均功率$P=0$。

平均功率定义如下。
$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)\mathrm{d}t$$
两种信号。

• 能量信号，E为一个有限的正的值，但是平均功率P=0。
• 功率信号，其平均功率时等于一个有限的正值，但是能量为无穷大。

2. 确知信号的频域性质

2.1 功率信号的频谱

功率信号一般认为是周期的。（别管这么多，书上就是这样写的）

令一个周期信号$s(t)$的周期为$T_0$，频谱函数可以定义成以下形式。
$$\begin{gathered} C_n=C(n{f}_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}\mathrm{d}t \\ {f}_0=1/T_0 \\ n为整数,-\infty <n<\infty \\ C(n{f}_0)表示C是n{f}_0的函数，并简记为C_n \end{gathered}$$
傅立叶级数可以把$s(t)$展开。
$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{j2\pi nt/T_0}$$
展开需要满足傅立叶级数的狄利克雷条件，一般信号是可以满足的。

当$n=0$的时候，是$s(t)$的直流分量。
$$C_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)\mathrm{d}t$$
频谱函数$C_n$是一个复数。
$$C_n=\left|C_n\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_n}$$
对于周期性功率信号来说，频谱函数$C_n$是离散的。

重要性质。
$$C_{-n}=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t){\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}2\pi n{f}_{0}t}\mathrm{d}t={\left[\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi n{f}_{0}t}\mathrm{d}t\right]}^{\ast }=C_n^{\ast }$$
傅立叶级数也可以展开成三角形式。
$$\begin{array}{l}\begin{array}{rl}s(t)& =C_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(2\pi nt/T_0\right)+b_n\sin \left(2\pi nt/T_0\right)\right]\\ & =C_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\sqrt{a_n^2+b_n^2}\cos \left(2\pi nt/T_0+{\theta }_n\right)\right]\end{array}\\ 其中{\theta }_n=-\arctan \left(b_n/a_n\right)\end{array}$$

2.2 周期性方波的频谱

$$\begin{array}{rl}{C}_n& =\frac{1}{T}{\int }_{-\tau /2}^{\tau /2}V{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi n{f}_{0}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{T}{\left[-\frac{V}{\mathrm{j}2\pi n{f}_0}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi n{f}_{0}t}\right]}_{-\tau /2}^{\tau /2}\\ & =\frac{V}{T}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi n{f}_0\tau /2}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi n{f}_0\tau /2}}{\mathrm{j}2\pi n{f}_0}=\frac{V}{\pi n{f}_{0}T}\sin \pi n{f}_0\tau =\frac{V\tau }{T}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi \tau }{T}\right)\end{array}$$
记住答案，很重要。
$$C_n=\frac{V\tau }{T}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi \tau }{T}\right)$$

2.3 能量信号的频谱密度

注意叫法，功率信号的傅里叶系数$C_n$是叫做功率信号的频谱。

而，能量信号的傅里叶变换结果$S(f)$叫做频谱密度。
$$S(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t$$
$S(f)$的逆傅立叶变换就是原信号。
$$s(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }S(f){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}f$$
实能量信号的频谱密度和实功率信号的频谱有一个共同的特征，即负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称。
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }s(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t={\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }s(t){\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t\right]}^{\ast } \\ S(f)=[S(-f){]}^{\ast } \end{gathered}$$

2.4 矩形脉冲的频谱密度

矩形脉冲的表达式为。
$$g_{\tau }(t)=\{\begin{array}{ll}1& |t|⩽\tau /2\\ 0& |t|>\tau /2\end{array}$$

傅立叶变换结果为。
$$G_{\tau }(f)=\tau \mathrm{Sa}(\pi f\tau )$$
很重要，要记住。

2.5 常用的傅里叶变换

$$\begin{array}{cccc}f(t)& F(w)& f(t)& F(w)\\ \delta (t)& 1& rect(t/\tau )& \tau Sa(w\tau /2)\\ 1& 2\pi \delta (w)& \frac{W}{2\pi }Sa(\frac{Wt}{2})& rect(\frac{w}{W})\\ e^{j{w}_{0}t}& 2\pi \delta (w-w_0)& cos(w_{0}t)& \pi [\delta (w-w_0)+\delta (w+w_0)]\\ sgn(t)& \frac{2}{jw}& sin(w_{0}t)& \frac{\pi }{j}[\delta (w-w_0)-\delta (w+w_0)]\\ j\frac{1}{\pi t}& sgn(w)& e^{-\alpha |t|}& \frac{2\alpha }{{\alpha }^2+w^2}\\ u(t)& \pi \delta (w)+\frac{1}{jw}& u(t){\mathrm{e}}^{-\alpha t}& \frac{1}{\alpha +\mathrm{j}\omega }\\ {\delta }_T(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)& \frac{2\pi }{T}{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -n\cdot \frac{2\pi }{T}\right)& u(t)t{\mathrm{e}}^{-\alpha t}& \frac{1}{(\alpha +\mathrm{j}\omega {)}^2}\end{array}$$

2.6 能量信号的能量谱密度

能量E。
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)\mathrm{d}t$$
巴塞伐尔定理。
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^2\mathrm{d}f$$
能量谱密度。
$$G(f)=|S(f){|}^2(\mathrm{J}/\mathrm{Hz})$$
由于信号$s(t)$是实函数，所以$|S(f)|$是一个偶函数。

2.7 功率信号的功率谱密度

巴塞伐尔定理。
$$E={\int }_{-T/2}^{T/2}{s}_T^2(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|S_T(f)\right|}^2\mathrm{d}f$$
功率谱密度。
$$P(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$
功率用功率谱密度表示。
$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|S_T(f)\right|}^2\mathrm{d}f={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)\mathrm{d}f$$

3. 确知信号的时域性质

确知信号再时域中的性质主要有自相关函数和互相关函数。

3.1 能量信号的自相关函数

$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)s(t+\tau )\mathrm{d}t-\infty <\tau <\infty$$

自相关函数反映了一个信号延迟$\tau$后的同一信号间的相关程度。自相关函数$R(\tau )$和时间t无关，只和时间差$\tau$有关。

当$\tau =0$的时候，能量信号的自相关函数$R(0)$等于信号的能量。
$$R(0)=E前提是能量信号$$
此外，$R(\tau )$是偶函数。

自相关函数和能量谱密度的关系。

能量谱密度的逆傅立叶变换就是能量信号的自相关函数。
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f\tau }\mathrm{d}f$$
$R(\tau )$和$|S(f){|}^2$构成一对傅立叶变换。

3.2 功率信号的自相关函数

功率信号自相关函数的定义。
$$R(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau )\mathrm{d}t-\infty <\tau <\infty$$
由定义可以看出，$\tau =0$的时候，功率信号的自相关函数$R(0)$等于信号的平均功率。
$$R(0)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)\mathrm{d}t=P$$
功率信号的自相关函数也是偶函数。

对于周期性的功率信号，自相关函数的定义可以改写为。
$$R(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)s(t+\tau )\mathrm{d}t-\infty <\tau <\infty$$
功率信号的自相关函数的傅立叶变换就是功率谱密度。
$$P(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau }\mathrm{d}\tau$$

3.3 能量信号的互相关函数

两个能量信号$s_1(t)$和$s_2(t)$的互相关函数定义如下。
$$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1(t)s_2(t+\tau )\mathrm{d}t-\infty <\tau <\infty$$
顺序很重要。
$$R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau )$$
互相关函数和能量谱密度的关系。

互能量谱密度定义。
$$S_{12}(f)=S_1^{\ast }(f)S_2(f)$$
所以互相关函数和互能量谱密度也是一对傅立叶变换。
$$S_{12}(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{12}(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi /\tau }\mathrm{d}\tau$$

3.4 功率信号的互相关函数

两个功率信号的互相关函数定义为。
$$R_{12}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}_1(t)s_2(t+\tau )\mathrm{d}t$$
如果两个功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写成。
$$R_{12}(\tau )=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}_1(t)s_2(t+\tau )\mathrm{d}t-\infty <\tau <\infty$$

互功率谱定义。
$$C_{12}={\left(C_n\right)}_1^{\ast }{\left(C_n\right)}_2$$
周期性功率信号的互功率谱$C_{12}$是其互相关函数$R_{12}(\tau )$的傅立叶级数的系数。