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abstract

• 微积分第一基本定理告诉我们,总是能够通过积分法构造(表达)一个连续函数的原函数
• 结合同一个函数的原函数之间仅差一个常数的性质,引出微积分基本定理(也称第二基本定理)和Newton-Leibniz公式

微积分第二基本定理

• 如果$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$,上的一个原函数,则:${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$(0)

• 证明:

  • 根据原函数存在定理:$G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$,是连续函数$f(x)$的一个原函数

  • 两个原函数之差$F(x)-G(x)$在$[a,b]$上必定是某个常数C

    • $F(x)-G(x)=C(a\in [a,b])$,即$G(x)=F(x)+C$(1)
    • $G(b)-G(a)=[F(b)+C]-[F(a)+C]$=$F(b)-F(a)$(1-1)

  • $G(b)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$(2);$G(a)=0$(2-1)

  • 两式相减:$G(b)-G(a)$=${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$(2-2),等号左右代入(1-1),得$F(b)-F(a)$=${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$(3),即定理(公式(0))成立

• 本定理揭示了定积分与被积函数的"原函数或不定积分"之间的联系(不定积分的结果为原函数)

• 更一般的.当$a>b$,定理也成立

微积分基本公式

• 公式(0)称为Newton-Leibniz公式,也叫微积分基本公式
• 利用本公式可以大大简化定积分的计算手续

公式书写

• 记:${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=${F(x)|}_a^b$=$F(b)-F(a)$或$[F(x){]}_a^b$=$F(b)-F(a)$;
• 第2种写法用得较少,但当遇到$F(x)$本身以绝对值结尾的,可以提供方便,不易混淆

例

• ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$=$\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1$=$\frac{1}{3}$
• ${\int }_{-2}^{-1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$=$[\ln |x|{]}_{-2}^{-1}$=$\ln 1-\ln 2=0-\ln 2$=$\ln 2$

结合不定积分的方法求定积分

定积分换元法

• 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续,函数$x=\varphi (t)$满足

  • $\varphi (\alpha )=a$,$\varphi (\beta )=b$(0)
  • $\varphi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$(或$[\beta ,\alpha ]$)上中具有连续导函数,且其值域$R_{\varphi }$=$[a,b]$
    • 以$t\in [\alpha ,\beta ]$.为例,$t\in [\alpha ,\beta ]$时,$x=\varphi (t)\in [a,b]$

• 则:${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{\beta }f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$(1),该公式为定积分换元公式

  • 当$R_{\varphi }$超出了$[a,b]$,$\varphi (t)$满足其他条件时,只要$f(x)$在$R_{\varphi }$上连续,定理结论仍然成立
  • 通过方程组(0)解出$\alpha ,\beta$大小可能$\alpha <\beta$,也可能时$\alpha >\beta$,这不影响结果,只要保证$a$对应的$\alpha$作为积分下限,$b$对应的$\beta$作为积分上限,就能保证结果正确

• 回顾不定积分的二类换元法积分公式:

  • 通过变量代换$u=\varphi (x)$,$\int f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=$\int f(u)\mathrm{d}\mathrm{u}$,
  • 通过变量代换$x=\varphi (t)$,则$\int f(x)\mathrm{d}x$=$\int f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

证明

• 由假设得,$f(x)$,$g(t)=f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)$(1-1)都连续的,由**连续函数原函数存在定理,**这两个函数的定积分和原函数都存在,(1)式两边都可以用微积分基本公式
  • 设$F(x)$是$f(x)$的一个原函数(即$F^{\prime }(x)=f(x)$),由微分积分基本公式,${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$F(b)-F(a)$(2)
  • 设$G(t)$是$g(t)$的一个原函数,则${\int }_a^{\beta }g(t)\mathrm{d}t$=$G(\beta )-G(\alpha )$
  • 欲证明(1),即证明$F(b)-F(a)$=$G(\beta )-G(\alpha )$
  • 记复合函数:$\Phi (t)=F(\varphi (t))$(3)即$\Phi (t)$是$F(x)$关于$t$的表示法$F(x){|}_{x=\varphi (t)}$,
  • 由复合函数求导法:${\Phi }^{\prime }(t)$=$F^{\prime }(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)$=$f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)$=$g(t)$,可见,$\Phi (t)$是$g(t)$的一个原函数,由微积分基本公式,有${\int }_{\alpha }^{\beta }g(t)\mathrm{d}t$=$\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )$ (4)
• 又由(1-1),(3),(0)
  • ${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$=$F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\alpha ))$=$F(b)-F(a)$(5)
• 由(2),(5):${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$F(b)-F(a)$=${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$,这就是公式(1),公式成立

定积分换元公式逆用

• ${\int }_a^{b}f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=${\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t$(6)
  • 通过$t=\varphi (x)$引入新变量$t$,而$\varphi (a)=\alpha$,$\varphi (b)=\beta$

例

• ${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$,$(a>0)$

  • 方法1:不定积分公式法,${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}(a^2\arcsin \frac{x}{a}+x\sqrt{a^2-x^2}){|}_0^a$=$\frac{1}{2}{a}^2\arcsin 1$=$\frac{a^2\pi }{4}$
  • 方法2:不定积分换元法:令$x=a\sin t$,则$\mathrm{d}x=a\cos t\mathrm{d}t$
    • 积分限转化:$x=0$时,$t=0$;$x=a$时,$t=\frac{\pi }{2}$
    • ${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$=$a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t$=$\frac{a^2}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2t)\mathrm{d}t$=$\frac{a^2}{2}[t+\frac{1}{2}\sin 2t{]}_0^{\frac{\pi }{2}}$=$\frac{\pi a^2}{4}$

• ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{5}x\sin x\mathrm{d}x$

  • 方法1:${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{5}x\sin x\mathrm{d}x$=$-{\int }_0^5{\cos }^{5}x\mathrm{d}(\cos x)$=$-\frac{1}{6}{\cos }^{6}x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}$=$\frac{1}{6}$
  • 方法:使用公式6
    • 令$t=\cos x$,则$\mathrm{d}t$=$-\sin x\mathrm{d}x$,$\sin x\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$且$x=0$,$t=1$;当$x=\frac{\pi }{2}$,$t=0$
    • ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{5}x\sin x\mathrm{d}x$=$-{\int }_1^0{t}^5\mathrm{d}t$=${\int }_0^1{t}^5\mathrm{d}t$=$\frac{t^6}{6}{|}_0^1$=$\frac{1}{6}$

• 设$f(x)$在[0,1]上连续,则${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$

  • 方法1:
    • ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin (\frac{\pi }{2}-x))\mathrm{d}x$=$-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin (\frac{\pi }{2}-x))\mathrm{d}(\frac{\pi }{2}-x)$
    • 令$t=\frac{\pi }{2}-x$,当$x=0$时,$t=\frac{\pi }{2}$;$x=\frac{\pi }{2}$时,$t=0$
    • ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$=$-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}f(\sin t)\mathrm{d}t$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$,等式得证
  • 方法2:
    • 令$x=\frac{\pi }{2}-t$,则$\mathrm{d}x$=$-\mathrm{d}t$,且$x=0$时$t=\frac{\pi }{2}$,当$x=\frac{\pi }{2}$时,$t=0$于是${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$=$-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}f(\sin (\frac{\pi }{2}-t))\mathrm{d}t$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos t)\mathrm{d}t$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$

和不定积分第二类换元法的差别

• 用$x=\varphi (t)$把原来变量$x$代换成新变量$t$时,积分限也要换成新变量$t$的积分限
• 求出$f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)$的一个原函数$\Phi (t)$后,不再需要像不定积分那样将$\Phi (t)$变换回原来的变量$x$的函数(不要求反函数存在),只需要将$t$的上下限$(\alpha ,\beta )$分别代入$\Phi (t)$作差即可

定积分分部积分法

• ${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=$[\int u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x{]}_a^b$=$[u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)\mathrm{d}x{]}_a^b$=$[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)\mathrm{d}x$
• 简记为${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$=$[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}v{u}^{\prime }\mathrm{d}x$或${\int }_a^{b}u\mathrm{d}v$=$[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u$
• 公式表明,原函数已经积出的部分可以先用上下限代入,尽快简化算式

例

• 求证:$I_n$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x$
  • =$\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi }{2}$,$n$为偶数
  • =$\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{4}{5}\frac{2}{3}$,$n$为大于1的正奇数
• 证明:
  • $I_n$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x$=$-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}x\mathrm{d}(\cos x)$
    • 由分部积分公式:$I_n$=$[-\cos {\sin }^{n-1}x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}$+${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos x\mathrm{d}({\sin }^{n-1}x)$=$0+(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x({\sin }^{n-2}x)\mathrm{d}x$
      • =$(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}x\mathrm{d}x$
      • =$(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{n-2}x)\mathrm{d}x$-$(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x$
      • =$(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$(0)
    • 移项:$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}$,从而$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$(1)
    • 式(2)称为$I_n$关于$n$的递推公式
  • 将$n$替换为$n-2$,则由(1)得$I_{n-2}=\frac{n-3}{n-2}{I}_{n-4}$,$\cdots$
    • 类似的递推下去,知道$I_n$下标递减至0或1为止:
      • $n=2$时,最终为$I_2=\frac{1}{2}{I}_0$,
      • $n=3$时,最终为$I_3=\frac{2}{3}{I}_1$
    • $I_0={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x$=$\frac{\pi }{2}$;$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\mathrm{d}x$=1(3)
  • 所以,由(1)
    • $I_{2m}$=$\frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdots \frac{3}{4}\frac{1}{2}{I}_0$(4-1)
    • $I_{2m+1}$=$\frac{2m}{2m+1}\frac{2m-2}{2m-1}\cdots \frac{4}{5}\frac{2}{3}{I}_1$(4-2)
    • 代入等式组(3),结合${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$,即欲证结论得证