并查集(13张图解)--擒贼先擒王

目录

前言

故事

🌼思路

🌼总结

🌼代码

👊观察过程代码

👊正确代码 

👊细节代码

---

来自《啊哈算法》

前言

刚学了树在优先队列中的应用--堆的实现

那么树还有哪些神奇的用法呢？我们从一个故事说起----揭秘犯罪团伙

故事

快过年了，犯罪分子们也开始为年终奖“奋斗”了，小哼的家乡出现多次抢劫事件。

由于强盗人数过于庞大，作案频繁，警察想调查清楚到底有几个犯罪团伙实在不容易。

不过警察叔叔还是搜集到了几条线索

现在有10个强盗，9条线索

1--2（表示1号强盗与2号强盗是同伙）

3--4，5--2，4--6，2--6，8--7，9--7，1--6，2--4

规定，强盗同伙的同伙也是同伙，你能帮警察叔叔查出有多少个独立的犯罪团伙吗？

🌼思路

要解决这个问题，先假设10个强盗相互不认识，他们各自为政，每个人都是自己的头，只听自己的

之后，我们通过警察的线索，一步步“合并同伙”

1，声明一维数组

申请一个一维数组dad，dad[1] == 1表示1号强盗的头是自己，10号强盗的头是10号自己用dad[10] == 10表示

2，初始化

初始化dad数组（当然，书里是f数组） ，令 dad[i] = i; 即可

3，合并同伙

如果发现两个强盗是同伙，那么他俩是同一犯罪团伙，但是。。。谁做老大呢？

我们假定左边的强盗更厉害些，规定一个“靠左法则”，比如警察得到的第一条线索是，1号和2号同伙

（1）

所以1号在左边，更厉害，那么2号归顺1号，也就是1号是2号的头头，所以dad[2] = 1;表示2号强盗的头是1号强盗

（2）

第二条线索，3--4（3号强盗和4号是同伙），根据“左边的更厉害”，4号归顺3号，所以 dad[4] = 3;

（3）

第3条线索，5--2，5号和2号强盗是同伙，dad[5] == 5，说明5号强盗的头是自己

dad[2] == 1，说明2号强盗的头是1号强盗

根据“左边的更厉害”，此时应该让2号归顺5号，那么“1号强盗”就不干了，“你凭什么抢我的人？？”

于是这俩强盗差点打起来了，这让2号为难了，2号归顺5号还是继续跟着原来的头1号呢？

这里我们还是按左边的更厉害的原则，5号强盗直接找2号的头1号谈，让1号这个老大也归顺他(递归实现)

操作：dad[1] = 5; dad[2] = 5;

为什么在1号这个老大归顺5号后，还要再让2号归顺一次呢？

这一步不是必须的，但会提高后面找强盗最高领导人的速度（也就是找树的祖先的速度）

否则，很容易形成单支树结构（一长条。。。），极大浪费空间和时间

dad[2] = 5; 这看似多余的一步，也叫路径压缩（不要觉得名字很高大上，其实就是一行代码的事）

第四条线索

4--6（这俩同伙）

此时dad[4] == 3, dad[6] == 6，我们让6号强盗加入“3号犯罪团伙”，即dad[6] = 3;

第5条线索

2--6

此时dad[2] == 5, dad[6] == 3

我们令6号和他的老大都归顺“5号犯罪团伙”(递归实现)，dad[6] = 5; 以及 dad[3] = 5;

第6条线索

8--7

此时dad[8] == 8, dad[7] == 7, 让7号归顺8号好了，dad[7] = 8;

第7条线索

9--7

此时dad[9] == 9, dad[7] == 8，所以8号和7号都归顺9号强盗(路径压缩)(递归实现)

dad[8] = 9;  dad[7] = 9;

除了让7号的老大归顺9号，我们还让7号也直接归顺9号，这一步叫路径压缩，这一步通过递归返回时实现，不会增加时间复杂度

第8条线索

1--6

此时dad[1] == 5, dad[6] == 5，已经是同伙了，不需要操作 

第9条线索

2--4

此时dad[2] == 5, dad[4] == 3 

4号归顺3号，3号归顺5号，5号归顺自己，所以5号是最高领导人

从4号顺藤摸瓜到5号最高领导人的过程，就是递归 

递归完后，dad[4] == 5; 

至此，所有线索分析完毕！那么有多少个犯罪团伙呢？

由上图可知，3个团伙

5号犯罪集团：5，2，1，3，4，6组成

9号犯罪集团：9，8，7组成

10号犯罪集团：10组成

容易知道，如果 dad[i] == i，表示 i 号强盗是一个团伙的最高领导人，最后数组dad中：

dad[5] == 5, dad[9] == 9, dad[10] == 10，所以共3个犯罪团伙

🌼总结

我们刚才模拟的是并查集算法，并查集通过一个一维数组实现，本质是维护一个森林。

初始，森林每个点都是孤立的，也就是每个强盗的老大都是自己，也可以理解为每个点就是一棵只有一个节点的树

之后，将这些孤立的点合并成一颗大树，合并的过程就是叫爸爸的过程

叫爸爸的过程，遵循“左边更厉害”和“擒贼先擒王”的原则 

“擒贼先擒王”也就是，先让老大归顺左边的强盗，自己再归顺（自己再归顺就是路径压缩）

补充: 并查集也称为为不相交集数据结构

🌼代码

👊观察过程代码

#include<iostream>
using namespace std;
int dad[100];int Find(int x) //不停认老大, 直到顶头上司
{if(dad[x] == x) return x;else {//路径压缩, 将路径上所有点的上级都设置为根节点dad[x] = Find(dad[x]);return dad[x];}
}void join(int x, int y) //合并两个团伙
{//m为x的最高领导人, n为y的最高领导人int m = Find(dad[x]), n = Find(dad[y]);if(m != n) //路径压缩dad[n] = m; //第2个最高领导人认第1个当老大
}int main()
{for(int i = 1; i <= 10; ++i)dad[i] = i; //初始化自己为老大int a, b;for(int i = 1; i <= 9; ++i) {cout<<"第"<<i<<"条线索：";cin>>a>>b;join(a, b); //合并团伙cout<<dad[a]<<" "<<dad[b]<<endl;}int ans = 0;for(int i = 1; i <= 10; ++i)if(dad[i] == i)ans += 1;return 0;
}

第1条线索：1 2
1 1
第2条线索：3 4
3 3
第3条线索：5 2
5 1
第4条线索：4 6
3 3
第5条线索：2 6
1 3
第6条线索：8 7
8 8
第7条线索：9 7
9 8
第8条线索：1 6
5 3
第9条线索：2 4
1 3

为什么第一次没实现路径压缩呢？（就是，虽然团伙总数确定了，但是每个人依然跟着自己原来的老大，没有跟着顶头上司）

原来是代码第18行

m = Find(dad[x]), n = Find(dad[y]);

应该改成

m = Find(x), n = Find(y);

否则只是令右老大归顺了左老大，但是右小弟没有直接归顺左老大，右小弟依然跟着右老大

这样就没起到路径压缩的效果

👊正确代码 

即使是正确代码，《啊哈算法》里也存在BUG，不过无关痛痒而已（对时间复杂度几乎没影响）

#include<iostream>
using namespace std;
int dad[100];int Find(int x) //不停认老大, 直到顶头上司
{if(dad[x] == x) return x;else {//路径压缩, 将路径上所有点的上级都设置为根节点dad[x] = Find(dad[x]); //递归返回return dad[x];}
}void join(int x, int y) //合并两个团伙
{//m为x的最高领导人, n为y的最高领导人int m = Find(x), n = Find(y);if(m != n) //路径压缩dad[n] = m; //第2个最高领导人认第1个当老大
}int main()
{for(int i = 1; i <= 10; ++i)dad[i] = i; //初始化自己为老大int a, b;for(int i = 1; i <= 9; ++i) {cin>>a>>b;join(a, b); //合并团伙}int ans = 0;for(int i = 1; i <= 10; ++i)if(dad[i] == i)ans += 1;for(int i = 1; i <= 10; ++i)cout<<"第"<<i<<"个强盗的老大是"<<dad[i]<<endl;cout<<"共有"<<ans<<"个犯罪团伙";return 0;
}

1 2
3 4
5 2
4 6
2 6
8 7
9 7
1 6
2 4
第1个强盗的老大是5
第2个强盗的老大是5
第3个强盗的老大是5
第4个强盗的老大是5
第5个强盗的老大是5
第6个强盗的老大是5
第7个强盗的老大是8
第8个强盗的老大是9
第9个强盗的老大是9
第10个强盗的老大是10
共有3个犯罪团伙

上述代码实现了路径压缩，但是第7个强盗的老大怎么还是8呢，不应该是9吗

因为这种较为简单的路径压缩，有一个小小的缺陷：

需要第一次先找到祖宗，第二次才能对路径上的节点进行压缩，而输入9  7前，7原来的老大是8，8的原来的老大也是8；当输入9  7后，进行join()函数

此时7的老大8号就归顺了9号，但7的老大依然是8号，没有变成9号，需要在下一次递归查找老大时，7的老大才变成9号，但此时已经没有下次了

当然，我们也可以在join()函数的最后重写一次 n = Find(y)；

就可以实现书里的效果，但是不知道这样是否会影响时间复杂度 

👊细节代码

#include<iostream>
using namespace std;
int dad[100];int Find(int x) //不停认老大, 直到顶头上司
{if(dad[x] == x) return x;else {//路径压缩, 将路径上所有点的上级都设置为根节点dad[x] = Find(dad[x]); //递归返回return dad[x];}
}void join(int x, int y) //合并两个团伙
{//m为x的最高领导人, n为y的最高领导人int m = Find(x), n = Find(y);if(m != n) //路径压缩dad[n] = m; //第2个最高领导人认第1个当老大n = Find(y); //重写一次
}int main()
{for(int i = 1; i <= 10; ++i)dad[i] = i; //初始化自己为老大int a, b;for(int i = 1; i <= 9; ++i) {cin>>a>>b;join(a, b); //合并团伙}int ans = 0;for(int i = 1; i <= 10; ++i)if(dad[i] == i)ans += 1;for(int i = 1; i <= 10; ++i)cout<<"第"<<i<<"个强盗的老大是"<<dad[i]<<endl;cout<<"共有"<<ans<<"个犯罪团伙";return 0;
}

1 2
3 4
5 2
4 6
2 6
8 7
9 7
1 6
2 4
第1个强盗的老大是5
第2个强盗的老大是5
第3个强盗的老大是5
第4个强盗的老大是5
第5个强盗的老大是5
第6个强盗的老大是5
第7个强盗的老大是9
第8个强盗的老大是9
第9个强盗的老大是9
第10个强盗的老大是10
共有3个犯罪团伙