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前言

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提示：阳光好的时候，会感觉还可以活很久，甚至可以活出喜悦。 --余秀华

回溯是非常重要的算法思想之一，主要解决一些暴力枚举也搞不定的问题（这里埋个坑💣）例如组合、分割、子集、棋盘等等。从性能角度来看回溯算法的效率并不是很高，但是对于暴力也解决不了的问题，它往往很快可以出结果，效率低就可以理解了吧。接下来，就看看回溯的事情吧🤩

回溯的核心问题

递归+局部枚举+放下前任

接着看这个题目：77. 组合 - 力扣（LeetCode）

当n = 4时，我们可以选择的有n有{1，2，3，4}这四种情况，所以我们从第一层到第二层的分支有四个，分别表示可取1，2，3，4.而且这里从左到右取数，取过的数，不在重复取。第一次取1，集合变为2，3，4.因为k= 2，我们也只能再取1个数就可以了，分别取2，3，4.得到的集合就是[1,2]、[1,3]、[1,4]。一次类推：

横向：

每次从集合中选取元素，可选择的范围回逐步收缩，到了取4时就直接返为空了。

继续观察树结构，可以发现，图中每次访问到一个叶子节点（图中的标记处），我们就可以得到一个结果。虽然到最后时空的，但是不影响最终结果。这里相当于从根节点开始每次选择的内容（分支）达到叶子节点时，将其收起起来就是我们想要的结果。

你可以尝试画下n=5，k=3的结果：有没有感觉

从图中我们发现元素个数n相当于树的宽度（横向），而每个结果的元素个数k相当于树的深度（纵向）。所以我们说回溯问题就是一纵一横而已。在分析我们回发现下面几个规律：

• 我们每次选择都是从类似{1，2，3，4}，{1，2，3，4}这个样的序列中一个一个选的，这就是为什么说是局部枚举，后面的枚举范围回越来越小。
• 枚举时，我们就是简单的暴露测试而已，一个一个验证，能否满足要求，从上图可以看到，这就是N叉树的遍历过程，一次代码相似度很高。
• 我们再看叶子过程，这部分是不是和（n = 4，k = 2)处理的结果一致，也就说是很明显的递归结构。

到此，我们还有一个问题待解决，就是回溯一般会有一个手动撤销的操作，为什么要这么做呢？

继续观察纵横图：

我们可以看到，我们收集的每个结果不是针对叶子节点的，而是针对树枝的，比如最上层我们首先确定了1，下层我们如果选择了2，那么结果就是{1，2}，如果选择了3，结果就是{1，3}.一次类推。现在时怎么确定得到第一个结果时{1，2}之后,得到第二个结果是{1，3}呢？

继续观察纵横图 ，可以看到，我们在得到{1，2}之后将2撤销，再继续使用3，就得到了{1，3}，同理也可以得到{1,4},之后这一层就没有了，我们可以撤销1，继续从最上层取2继续进行。

这里对应的代码操作就是先将第一个结果放在临时列表的Path里面，得到第一个结果{1，2}，之后就将path里面的内容放进结果列表resultList中，之后，将path里面的2撤销掉，继续寻找下一个结果{1，3}，继续将path加入resultList中，然后再次撤销，继续寻找。

现在了解为什么要撤销，看图。这个过程，我们称它“放下前任，继续前进”，后面的回溯大都是这样的思路。

这几条就是回溯的基本规律，了解这一点，我们就可以看看代码是怎么回事了，到此我们看看完整的代码时怎样的：

 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();if (k <=0 || n < k){return res;}
​Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
​dfs(n,k,1,path,res);return res;}
​public void dfs(int n,int k,int startIndex,Deque<Integer> path,List<List<Integer>> res){// 递归终止条件，path 等于k（刚好完成一次if (path.size() == k){res.add((new ArrayList<>(path)));return;}// 针对每个节点，这里就是遍历搜索，也就是枚举for(int i = startIndex; i <= n; i++){// 向路径里添加一个数（分支里的取值path.addLast(i);// 搜索起点要加1，就是缩小范围，准备下一轮递归（这里不允许重复dfs(n,k,i + 1,path,res);// 递归之后要做同样的逆向操作，撤销掉path.removeLast();}}

上面代码还有一个问题需要解释：startIndex和i是怎么变化的，为什么要传递到下一层（+ 1）

我们来看看这里的递归循环：

   // 针对每个节点，这里就是遍历搜索，也就是枚举for(int i = startIndex; i <= n; i++){// 向路径里添加一个数（分支里的取值path.addLast(i);// 搜索起点要加1，就是缩小范围，准备下一轮递归（这里不允许重复dfs(n,k,i + 1,path,res);// 递归之后要做同样的逆向操作，撤销掉path.removeLast();}

这里的循环有什么作用呢？看看这里，其实来说是一个枚举，第一次n=4，可以选择1，2，3，4四种情况，所以就存在4个分支，for就需要执行4次：

对于第二层来说，第一个数，选择1之后，身下的元素就只有2，3，4了。所以这时候for循环就执行3次，后面的只有2次和1次了。

撤销操作解释

如果你还是不清楚的话，这里就带图详细的走一遍，回溯也就是这个地方有点晕，拿下就是胜利✌。

   // 针对每个节点，这里就是遍历搜索，也就是枚举for(int i = startIndex; i <= n; i++){// 向路径里添加一个数（分支里的取值path.addLast(i);// 搜索起点要加1，就是缩小范围，准备下一轮递归（这里不允许重复dfs(n,k,i + 1,path,res);// 递归之后要做同样的逆向操作，撤销掉path.removeLast();}

为什么要remove呢？看下图，当第一层取1时，最底层的遍历从左到右执行，取2，取3，取4.而取3的时候，此时res里面存储的是{1，2}，所以这里前提是需要撤销掉2(path.removeLast();)的作用。

这里我们拆解一下递归方法，将递归拆分成函数调用，输出第一条路径{1，2}的步骤如下：

我们在递归说过一个特点：不到南墙不回头，回溯也是这个道理，我们看看这个过程。

然后，怎么在次进行呢，这里就需要撤回一下了，但是如果将这里的remove代码去掉，就会是这个样子：

这里知道遍历完成，然会的就不做撤销，就会下一场进入for循环，也就是回变成{1，2，3}.

path是一个全局的引用的，各个递归的函数是公用的，所以这里处理完{1，2}，之后，需要把2撤出去，将1保留，再让三进入，从而得到{1，3}.所以这里不许remove一下的。

同样处理完之后，后续的也是依次处理，需要撤销的，这里也就是不得不处理撤销的操作。

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总结

提示：什么叫回溯；保留状态；撤销操作；回溯核心思想；回溯的入门

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