巴塞尔问题数值逼近方法

巴塞尔问题：计算所有平方数的导数和

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\right)$$

其理论解为 $1/6{\pi }^2$

网络上有很多关于理论解的证明，此处不在赘述。下面介绍数值逼近的方法（也可以用此方法来求 $\pi$）

如果直接使用定义，通过matlab计算我们可以知道，前1e6次项，误差也有1e-6，误差还是比较大的。

n = 1e6;
num = 1:n;
a = sum(1./(num.^2))
err = zeta(2)-a

使用下面的加速算法，
$$\zeta (2)\sim \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}$$

n = 1e6;
num = 1:n;
a = sum(1./(num.^2))+1/n-1/(2*n^2)+1/(6*n^3)-1/(30*n^5)+1/(42*n^7)-1/(30*n^9);
err = zeta(2)-a

前1e6次项，误差达到了1e-16，结果让人满意。

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上面的那个加速算法，是通过 Euler–Maclaurin 公式得到的。但是我自己也没有算明白，有兴趣的读者可以自己搜着看一下。

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2023年2月28日19点36分