Unity中Shader裁剪空间推导（透视相机到裁剪空间的转化矩阵）

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前言

我们把顶点坐标信息转化为裁剪空间。有可能使用到正交相机信息 或 透视相机。我们在这篇文章中，推导一下透视相机视图空间下的坐标转化到裁剪空间的矩阵。

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一、简单看一下 观察空间—>裁剪空间—>屏幕空间 的转化

1、观察空间（右手坐标系、透视相机）

2、裁剪空间（左手坐标系、且转化为了齐次坐标）

3、屏幕空间（把裁剪坐标归一化设置）

4、从观察空间到裁剪空间

用透视投影矩阵先转化到裁剪空间
然后，在转化为齐次坐标

5、从裁剪空间到屏幕空间后

$-1\le \frac{x_c}{w}\le 1$

$-w\le x_c\le w$

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二、透视相机的参数推导

• 我们对于远裁剪面只是已知 f，其他参数都是未知

1、从XoY平面，求出X_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 X_p

• 点 V 是观察空间下的模型顶点，xyz是已知的
  已知：$(x_v,y_v,z_v)、-n$
• 点P是该点在近裁剪面上的投影点，xyz是未知的
  未知：$(x_p,y_p,z_p)$
• 我们在 XoZ平面上，能求的就是 x_p
  求:$x_p$

$z_p=-n$

$y_p在XoZ平面下，无法计算$

• v点向Z轴做垂线，原点连接v点，围成的两个三角形相似，可得：

$\frac{x_p}{x_v}=\frac{-n}{z_v}$

$x_p=\frac{-n}{z_v}{x}_v$

$P=(\frac{-n}{z_v}{x}_v,未知,-n)$

2、从YoZ平面，求出Y_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 Y_p

• 点 V 是观察空间下的模型顶点，xyz是已知的
  已知：$(x_v,y_v,z_v)、-n$
• 点P是该点在近裁剪面上的投影点，xyz是未知的
  未知：$(x_p,y_p,z_p)$
• 我们在 YoZ平面上，能求的就是 y_p
  求: $y_p$

$z_p=-n$

$x_p在XoZ平面下，无法计算$

• v点向Z轴做垂线，原点连接v点，围成的两个三角形相似，可得：

$\frac{y_p}{y_v}=\frac{-n}{z_v}$

$y_p=\frac{-n}{z_v}{y}_v$

$P=(\frac{-n}{z_v}{x}_v,\frac{-n}{z_v}{y}_v,-n)$

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三、把投影到近裁剪面的坐标 归一化设置

$P=(\frac{-n}{z_v}{x}_v,\frac{-n}{z_v}{y}_v,-n)$

化到[-1,1]之间
具体参考Unity中Shader裁剪空间推导（正交相机到裁剪空间的转化矩阵）

1、求归一化设置后的 x_n

• $l\le x\le r$ 化为： $-1\le \frac{2x}{w}\le 1$

$-1\le \frac{-2n{x}_v}{z_{v}w}\le 1$

$-1\le \frac{-2n}{w}\cdot \frac{x_v}{z_v}\le 1$

2、求归一化设置后的 y_n

• $l\le y\le r$ 化为： $-1\le \frac{2y}{h}\le 1$

$-1\le \frac{-2n{y}_v}{z_{v}h}\le 1$

$-1\le \frac{-2n}{h}\cdot \frac{y_v}{z_v}\le 1$

3、得到最后化简的公式

由于NDC下的坐标由透视除法而得
我们假设透视除法中的 w 为 -z_v
还原到裁剪空间还需要乘以 -z_v

• X:

$-1\le \frac{-2n}{w}\cdot \frac{x_v}{z_v}\le 1$

$x_n=\frac{-2n}{w}\frac{x_v}{z_v}$

$-x_n{z}_v=\frac{2n}{w}{x}_v$

• Y:

$-1\le \frac{-2n}{h}\cdot \frac{y_v}{z_v}\le 1$

$y_n=\frac{-2n}{h}\frac{y_v}{z_v}$

$-y_n{z}_v=\frac{2n}{h}{y}_v$

• Z:

$z_n=?$

$-z_n{z}_v=-z_v?$

• W:

$w=1$

$-w_n{z}_v=-z_v$

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四、构建转化矩阵

裁剪空间下的点 = 观察空间下的基向量 在 裁剪空间下的矩阵 * 点在观察空间下的坐标

$P_c=[V_c]\cdot P_v$

$P_c=[C_v{]}^{-1}\cdot P_v$

$P_c=[C_v{]}^T\cdot P_v$

• $-x_n{z}_v=\frac{2n}{w}{x}_v$
• $-y_n{z}_v=\frac{2n}{h}{y}_v$
• $-z_n{z}_v=-z_v?$
• $-w_n{z}_v=-z_v$

${\left[\begin{array}{cccc}\frac{2v}{w}& 0& ?& ?\\ 0& \frac{2n}{h}& ?& ?\\ 0& 0& ?& ?\\ 0& 0& ?& ?\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2v}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2n}{h}& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2v}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2n}{h}& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_v\\ y_v\\ z_v\\ 1\end{array}\right]=(-x_n{z}_v,-y_n{z}_v,-z_n{z}_v,-w_n{z}_v)$

最后一行由于相乘结果为1可以得出，把最后未知部分设为A，B
$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2v}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2n}{h}& 0& 0\\ 0& 0& A& B\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_v\\ y_v\\ z_v\\ 1\end{array}\right]$

$z_c=A{z}_v+B$

$-z_n{z}_v=-z_v$

$\frac{z_c}{-z_v}=\frac{A{z}_v+B}{-z_v}$

$z_n=\frac{A{z}_v+B}{-z_v}$

1、在OpenGL[-1,1]下：

$z_n=\frac{A{z}_v+B}{-z_v}$

$\{\begin{array}{l}{z}_v=-n,z_n=-1\\ z_v=-f,z_n=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-1=\frac{-An+B}{n}\\ 1=\frac{-Af+B}{f}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-n=-An+B\\ f=-Af+B\end{array}$

$B=An-n$

$f=-Af+An-n$

$f+n=A(n-f)$

$A=\frac{n+f}{n-f}$

$B=\frac{n+f}{n-f}n-n$

$B=\frac{n^2+fn}{n-f}\frac{n^2-nf}{n-f}$

$B=\frac{2nf}{n-f}$

2、在DirectX[1,0]下：

$z_n=\frac{A{z}_v+B}{-z_v}$

$\{\begin{array}{l}{z}_v=-n,z_n=1\\ z_v=-f,z_n=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}1=\frac{-An+B}{n}\\ 0=\frac{-Af+B}{f}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}n=-An+B\\ 0=-Af+B\end{array}$

$B=Af$

$n=-An+Af$

$n=A(f-n)$

$A=\frac{n}{f-n}$

$B=\frac{nf}{f-n}$

3、把A、B代入矩阵得

• OpenGL
  $\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2n}{h}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{n+f}{n-f}& \frac{2nf}{n-f}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$
• DirectX
  $\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2n}{h}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{n}{f-n}& \frac{nf}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$