叉积和法向量学习笔记

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叉积用的内积

相似点

给定平面上的两个向量 A 和 B，叉积和法向量相等吗

理解这点的关键：

结论：

叉积判断平面内两个向量是否相交

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叉积（Cross Product）和法向量（Normal Vector）确实有一些相似之处，尤其是在计算和应用方面。以下是它们的主要相似点：

叉积用的内积

相似点

1. 三维空间中的关联性：

   • 叉积主要在三维空间中定义和应用。
   • 法向量通常也是在三维空间中定义的，特别是在描述平面或曲面时。

2. 计算方法：

   • 叉积是计算两个向量的乘积，其结果是一个向量，该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。
   • 法向量可以通过两个非平行向量的叉积来计算。例如，给定平面上的两个向量 A 和 B，它们的叉积 A × B 就是该平面的一个法向量。

3. 方向：

   • 叉积结果的方向由右手定则确定，垂直于参与叉积的两个向量。
   • 法向量的方向也是垂直于描述的表面，可以通过右手定则来确定它的具体方向。

4. 应用：

   • 叉积广泛用于计算物理学中的力矩、角动量等问题。
   • 法向量在计算几何中用于确定平面的方向、计算光线与表面的交点、反射和折射等问题。

给定平面上的两个向量 A 和 B，叉积和法向量相等吗

在三维空间中，给定平面上的两个向量 A 和 B，它们的叉积 A × B 与这个平面的法向量具有相同的方向，但其大小（长度）可能不同，因此它们在数学上并不是完全相等的，但方向相同。

理解这点的关键：

1. 方向：

   • 叉积 A × B 的方向是垂直于向量 A 和 B 所在的平面。根据右手定则，若用右手的食指指向 A，中指指向 B，则叉积 A × B 的方向由拇指指向，这个方向就是法向量的方向。

2. 大小：

   • 叉积 A × B 的大小等于 A 和 B 的长度乘积再乘以它们夹角的正弦值： ∥A×B∥=∥A∥∥B∥sin⁡(θ)\|\mathbf{A} \times \mathbf{B}\| = \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| \sin(\theta)∥A×B∥=∥A∥∥B∥sin(θ) 其中 θ\thetaθ 是向量 A 和 B 之间的夹角。
   • 法向量的大小可以是任意的，因为法向量的关键属性是它的方向，而不是它的大小。

结论：

• 相同方向：叉积 A × B 和法向量的方向相同，都是垂直于 A 和 B 所在的平面。
• 大小不同：叉积 A × B 的大小依赖于 A 和 B 的长度及其夹角的正弦值，而法向量的大小可以缩放到任意值。

因此，可以说叉积 A × B 是法向量的一个实例，但大小可能不同。通俗地说，叉积给出了一个特定大小的法向量，但平面的法向量可以是任何大小，只要方向一致即可。

叉积判断平面内两个向量是否相交

def cross_product_sign(A, B, C):"""计算向量 AB 和 AC 的叉积的符号。参数:A, B, C: 二维平面上的点，格式为 (x, y)返回值:叉积的符号：正数、负数或零"""return (B[0] - A[0]) * (C[1] - A[1]) - (B[1] - A[1]) * (C[0] - A[0])def is_point_on_segment(P, A, B):"""判断点 P 是否在线段 AB 上。参数:P, A, B: 二维平面上的点，格式为 (x, y)返回值:True 表示点 P 在线段 AB 上，False 表示不在"""return min(A[0], B[0]) <= P[0] <= max(A[0], B[0]) and min(A[1], B[1]) <= P[1] <= max(A[1], B[1])def do_segments_intersect(A, B, C, D):"""判断两个线段 AB 和 CD 是否相交。参数:A, B, C, D: 二维平面上的点，格式为 (x, y)返回值:True 表示线段相交，False 表示不相交"""# 计算叉积的符号d1 = cross_product_sign(A, B, C)d2 = cross_product_sign(A, B, D)d3 = cross_product_sign(C, D, A)d4 = cross_product_sign(C, D, B)# 检查叉积符号是否不同if d1 * d2 < 0 and d3 * d4 < 0:return True# 特殊情况：线段共线并重叠if d1 == 0 and is_point_on_segment(C, A, B):return Trueif d2 == 0 and is_point_on_segment(D, A, B):return Trueif d3 == 0 and is_point_on_segment(A, C, D):return Trueif d4 == 0 and is_point_on_segment(B, C, D):return Truereturn False# 示例线段
A = (1, 1)
B = (4, 4)
C = (1, 4)
D = (4, 1)# 判断线段是否相交
print("线段 AB 和 CD 是否相交:", do_segments_intersect(A, B, C, D))  # 输出 True# 不相交的示例
E = (1, 1)
F = (2, 2)
G = (3, 3)
H = (4, 4)print("线段 EF 和 GH 是否相交:", do_segments_intersect(E, F, G, H))  # 输出 False