练习题-17

以下题目来自2024年5月清华大学“丘成桐数学科学领军计划数学水平考试”。第11题本人参考了网友Fiddie (数学兔的极大理想）的解答，原网址是 https://mp.weixin.qq.com/s/q9slRWL4iO_TcSdkmbfbbw.

第10题：在10维列向量构成的内积空间$V$中，定义由向量$v$引起的反射为$$P_v(x)=x-2\frac{(x,v)}{(v,v)}v.$$ 今有向量$v,w\in V$, 满足$$0<(v,w)<\sqrt{(v,v)(w,w)}.$$ 记$Q=P_w\circ P_v$. 则所有满足$P\circ Q=Q\circ P$的线性变换$P:V\to V$构成的子空间的维数是多少？

解：依题意，向量$v,w$线性无关. 不妨假设$v,w$夹角为$\theta /2\in (0,\pi /2)$ (注意$P_v=P_{-v}$. 必要时用$-v$代替$v$，即可保证夹角为锐角). 在二维子空间$W=\mathrm{span}(v,w)$中，线性变换$Q$的效果是逆时针旋转$\theta$. 熟知这可以用旋转矩阵$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}c& -s\\ s& c\end{array}\right)$给出，其中$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$. 而全部与$R_{\theta }$ 乘法可交换的矩阵都是像$$A_{a,b}=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$的形式。这些矩阵在全部2阶矩阵构成的线性空间中，组成了一个2维子空间。

在$V$中，$W$的正交补$W^{\perp }$是$8$维的。在$W^{\perp }$中进行任何的线性变换，都与$Q$乘法可交换。所以所求的线性子空间维数是$8\times 8+2=66$维。

注意：如果把10维改为一般的$n(\ge 2)$维，那么答案是$(n-2{)}^2+2$维.

第11题：$10$阶矩阵$A$满足每行恰有$5$个$1$ 和 $5$ 个$0$，且使得$A^2+5A$是一个全部元素均为$5$的矩阵. 问这样的矩阵$A$有多少个？

解：(1) $A$的对角元不能是$1$, 所以只能是$0$. 这是因为如果$A$有一个对角元是$1$, $A^2+5A$相应的对角元就至少是$6$.
(2) 用$J_{2n}$表示元素全部是$1$的$2n$阶方阵。从$A^2+5A=5J_{10}$可知，如果$A$的第$(i,j)$位置是$1$, 则$A^2$的第$(i,j)$位置是$0$; 如果$A$的第$(i,j)$位置是$0$, 则$A^2$的第$(i,j)$位置是$5$. 由此可知，$A$的第$k$列中$1$的位置与$A$的第$k$行中$1$的位置相同，所以$A$是对称矩阵。

（3）从等式$A^2+5A=5J_{10}$以及$A=A^{\top }$可见，只要$A$的第一行确定了，那么$A^2$的第一行，$A$的第一列也就确定了，从而$A$的其它行也随之确定.

所以，只要$A$的第一行确定了，$A$就被确定了。想要确定$A$的第一行，只需要把$5$个$1$放到非对角线的位置（共$9$个位置可选）。这等价于说把剩下的$4$个$0$放到第一行剩下的$9$个位置。所以不同的$A$共有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$个.

注意：如果题目条件改为“$2n$阶方阵$A$满足$A^2+nA=n{J}_{2n}$, 且$A$的每行恰有$n$个$0$与$n$个$1$”. 则这样的方阵共有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n-1}\right)$个.