重温线性代数
前言
对于普通的数学工作者而言,掌握矩阵、线性空间的基本性质和用法比领会抽象的概念更实用。数学专业的同学需要全面深入学习近世代数的理论和演绎法则,例如模的概念和运算。
总之,我个人认为,不论是微积分、还是线性代数,或者是统计学,多从有形的例子着手,学习最核心最实用的部分,辅以一定数量的习题练习,是一种有效的学习方法。
向量空间->线性变换->线性变换的表示:矩阵
线性代数的核心思想
任何一个n维空间中的元素,都可以通过一个向量(x1,x2,...,xn)(x_1, x_2, ...,x_n)(x1,x2,...,xn)来定位,或者说n维空间中每个点,都有一个坐标。有的书上也把这种n维空间叫向量空间。
矩阵是什么?以下几种理解都是正确的:
- 一个矩阵可以表示从n维空间到m维空间的线性变换,或者叫映射
- 一个矩阵对应了一个运动
- 一个矩阵对应了一个坐标系。因为运动既可以看成是点的运动,也可以看成是坐标系的运动。如果选取了某个坐标系作为标准坐标系(或者叫参照坐标系),那其它坐标系的基就可以表示成这个参照系的线性组合,也就是每个基对应一个向量,那所有基的坐标就构成了一个矩阵。
所以,一个矩阵乘以一个向量: A∗xA*xA∗x 就是把一个向量映射到一个新的向量。这个矩阵的每一行对应的是新的坐标系的基的坐标。为什么矩阵乘法定义为向量内积的方式?因为内积代表着新的向量在旧的向量上的投影。
这里需要举个例子才能说得更明白。
基本概念
特征值,特征向量,行列式,trace。
矩阵的乘法
基本性质
- 行列式为0 = 不满秩 = 不可逆
- 行列式等于特征值的乘积
- 二维矩阵的行列式等于平行四边形的面积,三维矩阵的行列式对应的是平行六面体的体积…更高维度上也可以延伸出同样的类似于“体积”的定义。
- 对称矩阵的特征向量相互之间正交
- 矩阵的迹(trace)等于特征值之和
矩阵的相似
TODO
矩阵的分解和分块计算
A 有n 个相异的特征值, 则A 可对角化
书籍推荐
- 线性代数方法导引-屠伯埙
- 高等代数-屠伯埙: 我本科时的线性代数教材,屠伯埙亲自指导上课。
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