最短路径算法(算法篇)
算法之最短路径算法
最短路径算法
概念:
-
考查最短路径问题,可能会输入一个赋权图(也就是边带有权的图),则一条路径的v1v2…vN的值就是对路径的边的权求和,这叫做赋权路径长,如果是无权路径长就是单纯的路径上的边数。
-
在赋权图,可能会出现负值边的情况,这样当我们去找最短路径时,可能会产生负值圈,毕竟一直走负值边可以将数值变得更短。
单源最短路径问题:
- 给定一个赋权图G=(V,E)和一个特定顶点s作为输入,找出从s到G中每一个其他顶点的最短赋权路径。
无权最短路径:
- 给定一个无权图G=(V,E)和一个起始顶点s作为输入,找出从s到G中每一个其他顶点的最短路径。
广度优先搜索算法(BFS)
概念:
- 广度优先搜索算法(BFS)用于在无权图或者边权相同的图中寻找最短路径。
- 该方法按层处理顶点,首先从起始点出发,进行发散找到与起始点邻接的顶点a,…,并将s到这些顶点的路径距离更新,然后将该点标记成已经访问的顶点并将该点的前一个顶点记录下来(被标记的顶点我们后面遇到就认为该点已经不需要再进行处理了),然后再从顶点a,…发散,找到该顶点的邻接顶点,然后重复操作,直到所有顶点都被标记完,就完成了搜索。
- 具体代码实现,是用一个队列,在迭代开始时,队列中只含有距离为迭代距离currdist的那些顶点,然后执行操作时,将距离currdist+1的顶点的那些顶点添加到队列中,只要当前距离为currdist顶点处理完,就会处理距离为currdist+1(也就是当前顶点发散的顶点)的顶点添加到队列中。
- 在队列中其实可以将know域也就是标记去掉,因为队列的形式已经说明执行过了,就不会在执行,因此相当于标记了。
代码:
//图的邻接表的结点信息
struct listnode{int data;bool flag; //判断是否访问过int path; //存储上一个顶点int dist; //距离listnode* next;
};//图的信息
class graph{
private:listnode *an; //邻接表形式存储图int vnum; //图中结点数
};//s为起点,an数组的邻接表表示图
void BFS(int s){queue<int>q;q.push(s);an[s].dist=0;while (!q.empty()){int v=q.front();q.pop();an[v].flag= true;listnode* p=an[v].next;while (p!= nullptr){if(an[p->data].dist==INT_MAX){an[p->data].dist=an[v].dist+1;an[p->data].path=v;q.push(p->data);}p=p->next;}}}
Dijkstra算法
概念:
- 用于求解赋权图的最短路径(无负值边),Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的一般方法,并且该解法是贪心算法。Dijkstra只是BFS的升级版使他能够求赋权图的最短路径,如果求无权图Dijkstra跟BFS的做法一样!
- Dijkstra算法是分阶段的,该算法认为每一个阶段,都将该阶段当作最好的情况处理,类似于BFS算法,但是还是有不同的地方,比起BFS多出了需要进行每个阶段出现最好情况就进行更新路径。
- 具体做法是,从图中选取起始点v,然后找出邻接点,并将当前起始点到邻接点v3,v4…的距离更新,如果是赋权图就是dv+Cv,v3(就是顶点v到v3的权),如果是无权就是dv+1,并将v标记为已知。然后选取邻接点集中的一点再做为起始点,然后重复操作,将当前顶点的前一个顶点记录。当v到某个顶点的距离在当前阶段是最小的(最好情况),那么就进行更新,如果不是就无需更新。
- 具体来说,当我们扩展一个新结点时,我们会考虑它的所有未访问过的邻接结点,并计算从起始结点经过当前结点到达邻接结点的路径长度。如果这个长度小于已知的最短路径长度(或者邻接结点的路径长度尚未初始化),我们就更新邻接结点的路径长度。这样做的目的是通过不断更新路径长度来找到起始结点到所有其他结点的最短路径。
- 实现的时候可以使用优先队列来进行优化算法,只将顶点和其最短路径值进入队列中当队列非空,执行以下操作:u等于队顶的节点,w等于队顶节点的最短路径值;遍历u的所有边,如果能找到节点v最短路径值小于v的当前值,更新v,将v压入队列。结束
- 没有用优先队列优化的Dijkstra算法的时间复杂度为O(N²),如果使用优先队列,则时间复杂度为O(nlogn),可以不用考虑已知域;
Dijkstra跟BFS区别:
- 处理顶点:
- 在BFS算法中,当一个顶点被扩展时,它的所有未访问过的邻居顶点都被添加到队列中,这样它们将按照遍历的顺序逐个被访问。
- 在Dijkstra算法中,当一个顶点被扩展时,它的邻居顶点也被考虑,但是Dijkstra算法会计算扩展的顶点与其邻居之间的边的权重,并根据这个权重来更新到达邻居顶点的最短路径长度。这个更新过程使得Dijkstra算法能够处理带有非负权重的图。
- 选择下一个顶点:
- 在BFS算法中,下一个要被扩展的顶点是队列中的下一个顶点,也就是按照队列的先进先出(FIFO)原则选择。
- 在Dijkstra算法中,下一个要被扩展的顶点是距离起始点路径长度最小的顶点,也就是根据已知的最短路径长度来选择。这需要使用优先队列或者最小堆来高效地选择路径长度最小的顶点。
代码:
//图的邻接表的结点信息
struct listnode{int data;int path; //存储上一个顶点int dist; //最短距离int weight; //数组索引顶点跟该顶点的边的权重listnode* next;
};//图的信息
class graph{
private:listnode *an; //邻接表形式存储图int vnum; //图中结点数
};//v是起始点
void Dijkstra(int v){an[v].dist=0;queue<int>q;q.push(v);while (!q.empty()){int w=q.front();q.pop();listnode* p=an[w].next;while (p!= nullptr){if(an[w].dist+p->weight<an[p->data].dist){an[p->data].dist=an[w].dist+p->weight;an[p->data].path=w;q.push(p->data);}p=p->next;}}}
题目模板:
有向边单源最短路径问题
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;const int N=10;
int n;struct edge {int v, w;
};bool vis[N+1];int dijkstra(int start, const vector<vector<edge>>& graph) {int minroad[n+1];memset(minroad,INF,sizeof minroad);minroad[start] = 0;priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push({0, start});while (!pq.empty()) {auto [d, u] = pq.top();pq.pop();if(vis[u]) continue;vis[u]=true;for (const auto& edges : graph[u]) {int v = edges.v;int w = edges.w;if (minroad[u] + w < minroad[v]) {minroad[v] = minroad[u] + w;pq.push({minroad[v], v});}}}return minroad[n]!=INF?minroad[n]:-1;
}int main() {int m, start;cin >> n >> m >> start;vector<vector<edge>> graph(n + 1);for (int i = 0; i < m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;graph[u].push_back({v, w});}cout<<dijkstra(start, graph)<<endl;system("pause");return 0;
}
Floyd算法
概念:
- Floyd(弗洛伊德)算法是基于动态规划思想的算法,也称插点法,是全源最短路算法(全源就代表经过一次Floyd算法,每个点到各个点的最短路径都能算出来)
- 用于求任意一对顶点间的最短路径,此时图中的边的权值可以出现负数,但不能出现负环
- 时间复杂度为
O(n³),n为点个数
基本思想:
- 对于从i到j的弧,进行n次试探
- 首先考虑i,0,j是否存在,如果存在,则比较i,j和i,0,j的路径长度,去最短者进行更新i,j的最短路径
- 然后再添加顶点1,依次类推。
具体过程:
- 当一个图里有n个城市,求全源最短路径问题
- 定义城市k为从当前图拿出来,并重新插入图中的城市,
城市i,城市j分别为当前源城市和目的城市。dist[i\][j]表示城市i到城市j的最短路径 - 假设当前图中没有城市k,我们将城市k重新插入到图中
- 我们需要判断城市i到城市j的最短路径是否要更新,则比较路径经过城市k和原来的路径长度进行比较,如果经过城市k的路径长度更短,则更新dist[i][j],因此就为
dist[i][j]=min(dist[i][k]+dist[k][j],dist[i][j]) - 因此对这个图执行n次上述操作(也就是插点法),得出的dist二维数组就为全源的最短路径。
代码模板:
//dist[n][n]用来记录图中各点到各点的最短路径
void Floyd(int **dist){for(int k=0;k<n;++k){for(int i=0;i<n;++i){for(int j=0;j<n;++j){if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];}}}}
}
例题部分代码:
具体可看力扣1334. 阈值距离内邻居最少的城市,只包含求解全源最短路径代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;void Floyd(int n, vector<vector<int>>& edges){const int INF=0x3f3f3f3f;int dist[n][n];memset(dist,INF, sizeof(dist));for(int i=0;i<n;++i){dist[i][i]=0;}for(auto edge:edges){dist[edge[0]][edge[1]]=edge[2];dist[edge[1]][edge[0]]=edge[2];}//Floyd算法计算全源最短路代码for(int k=0;k<n;++k){for(int i=0;i<n;++i){for(int j=0;j<n;++j){if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];}}}}for(int i=0;i<n;++i){cout<<"第"<<i<<"城市到其他城市最短路径:";for(int j=0;j<n;++j)cout<<"("<<i<<","<<j<<","<<dist[i][j]<<")"<<" ";cout<<endl;}
}int main() {vector<vector<int>>edges{{0,1,2},{0,4,8},{1,2,3},{1,4,2},{2,3,1},{3,4,1}};Floyd(5,edges);system("pause");return 0;
}
尾言
完整版笔记也就是数据结构与算法专栏完整版可到我的博客进行查看,或者在github库中自取(包含源代码)
- 博客1: codebooks.xyz
- 博客2:moonfordream.github.io
- github项目地址:Data-Structure-and-Algorithms
相关文章:
最短路径算法(算法篇)
算法之最短路径算法 最短路径算法 概念: 考查最短路径问题,可能会输入一个赋权图(也就是边带有权的图),则一条路径的v1v2…vN的值就是对路径的边的权求和,这叫做赋权路径长,如果是无权路径长就是单纯的路径上的边数。…...
昇思25天学习打卡营第11天 | LLM原理和实践:基于MindSpore实现BERT对话情绪识别
1. 基于MindSpore实现BERT对话情绪识别 1.1 环境配置 # 实验环境已经预装了mindspore2.2.14,如需更换mindspore版本,可更改下面mindspore的版本号 !pip uninstall mindspore -y !pip install -i https://pypi.mirrors.ustc.edu.cn/simple mindspore2.2…...
反向散射技术(backscatter communication)
智能反射表面辅助的反向散射通信系统研究综述(知网) 1 反向散射通信技术优势和应用场景 反向散射通信技术通过被动射频技术发送信号,不需要一定配有主动射频单元,被认为是构建绿色节能、低成本、可灵活部署的未来物联网规模化应用关键技术之一,是实现“…...
致远CopyFile文件复制漏洞
复现版本 V8.0SP2 漏洞范围 V5&G6_V6.1至V8.0SP2全系列版本、V5&G6&N_V8.1至V8.1SP2全系列版本。 漏洞复现 上传文件 POST /seeyon/ajax.do?methodajaxAction&managerNameportalCssManager&rnd57507 HTTP/1.1 Accept: */* Content-Type: applicatio…...
MySQL 创建数据库
MySQL 创建数据库 在当今的数据驱动世界中,数据库是任何应用程序的核心组成部分。MySQL,作为一个流行的开源关系数据库管理系统,因其可靠性、易用性和强大的功能而广受欢迎。本文将详细介绍如何在MySQL中创建数据库,包括基础知识和最佳实践。 什么是MySQL数据库? MySQL…...
AbyssFish单连通周期边界多孔结构2D软件
软件介绍 AbyssFish单连通周期边界多孔结构2D软件(以下简称软件)可用于生成具备周期性边界条件的单连通域多孔结构PNG图片,软件可设置生成模型的尺寸、孔隙率、孔隙尺寸、孔喉尺寸等参数,并且具备孔隙形态控制功能。 软件生成的…...
Linux驱动开发-03字符设备驱动框架搭建
一、字符设备驱动开发步骤 驱动模块的加载和卸载(将驱动编译模块,insmod加载驱动运行)字符设备注册与注销(我们的驱动实际上是去操作底层的硬件,所以需要向系统注册一个设备,告诉Linux系统,我有…...
Zynq系列FPGA实现SDI视频编解码+图像缩放+多路视频拼接,基于GTX高速接口,提供8套工程源码和技术支持
目录 1、前言工程概述免责声明 2、相关方案推荐本博已有的 SDI 编解码方案本博已有的FPGA图像缩放方案本方案的无缩放应用本方案在Xilinx--Kintex系列FPGA上的应用 3、详细设计方案设计原理框图SDI 输入设备Gv8601a 均衡器GTX 解串与串化SMPTE SD/HD/3G SDI IP核BT1120转RGB自研…...
VS2019使用C#写窗体程序技巧(1)
1、打开串口 private void button1_Click(object sender, EventArgs e){myPort cmb1.Text;mybaud Convert.ToInt32(cmb2.Text, 10);databit 8;parity Parity.None;stopBit StopBits.One;textBox9.Text "2";try{sp new SerialPort(myPort, mybaud, parity, dat…...
Python爬虫-requests模块
前戏: 1.你是否在夜深人静的时候,想看一些会让你更睡不着的图片却苦于没有资源... 2.你是否在节假日出行高峰的时候,想快速抢购火车票成功..。 3.你是否在网上购物的时候,想快速且精准的定位到口碑质量最好的商品. …...
适用于PyTorch 2.0.0的Ubuntu 22.04上CUDA v11.8和cuDNN 8.7安装指南
将下面内容保存为install.bash,直接用bash执行一把梭解决 #!/bin/bash### steps #### # verify the system has a cuda-capable gpu # download and install the nvidia cuda toolkit and cudnn # setup environmental variables # verify the installation ######…...
使用conda安装openturns
目录 1. 有效方法2. 整体分析使用pip安装使用conda安装验证安装安装过程中可能遇到的问题 1. 有效方法 conda install -c conda-forge openturns2. 整体分析 OpenTURNS是一个用于概率和统计分析的软件库,主要用于不确定性量化。你可以通过以下步骤在Python环境中安…...
Chameleon:动态UI框架使用详解
文章目录 引言Chameleon框架原理核心概念工作流程 基础使用安装与配置创建基础界面 高级使用自定义组件响应式布局数据流与状态管理 结论 引言 Chameleon,作为一种动态UI框架,旨在通过灵活、高效的方式帮助开发者构建跨平台、响应用户交互的图形用户界面…...
7.10飞书一面面经
问题描述 Redis为什么快? 这个问题我遇到过,但是没有好好总结,导致答得很乱。 答:Redis基于内存操作: 传统的磁盘文件操作相比减少了IO,提高了操作的速度。 Redis高效的数据结构:Redis专门设计…...
[数据结构] 归并排序快速排序 及非递归实现
()标题:[数据结构] 归并排序&&快速排序 及非递归实现 水墨不写bug (图片来源于网络) 目录 (一)快速排序 类比递归谋划非递归 快速排序的非递归实现: (二)归并排序 归…...
面试题 12. 矩阵中的路径
矩阵中的路径 题目描述示例 题解 题目描述 给定一个 m x n 二维字符网格 board 和一个字符串单词 word 。如果 word 存在于网格中,返回 true ;否则,返回 false 。 单词必须按照字母顺序,通过相邻的单元格内的字母构成࿰…...
钉钉扫码登录第三方
钉钉文档 实现登录第三方网站 - 钉钉开放平台 (dingtalk.com) html页面 将html放在 <!DOCTYPE html> <html lang"en"><head><meta charset"UTF-8"><title>登录</title>// jquery<script src"http://code.jqu…...
多GPU系统中的CUDA设备不可用问题
我们在使用多GPU系统时遇到了CUDA设备不可用的问题,详细情况如下: 问题描述: 我们在一台配备有8块NVIDIA GeForce RTX 3090显卡的服务器上运行CUDA程序时,遇到了如下错误: cudaErrorDevicesUnavailable: CUDA-capabl…...
python的列表推导式
文章目录 前言一、解释列表推导式二、在这句代码中的应用三、示例四、使用 for 循环的等价代码总结 前言 看看这一行代码:questions [q.strip() for q in examples["question"]] ,问题是最外层的 中括号是做什么的? 最外层的中括…...
类与对象(2)
我们在了解了类的简单创建后,需要对类的创建与销毁有进一步的了解,也就是对于类的构造函数与析构函数的了解。 目录 注意: 构造函数的特性: 析构函数: 注意: 该部分内容为重难点内容,在正常…...
Prompt Tuning、P-Tuning、Prefix Tuning的区别
一、Prompt Tuning、P-Tuning、Prefix Tuning的区别 1. Prompt Tuning(提示调优) 核心思想:固定预训练模型参数,仅学习额外的连续提示向量(通常是嵌入层的一部分)。实现方式:在输入文本前添加可训练的连续向量(软提示),模型只更新这些提示参数。优势:参数量少(仅提…...
【力扣数据库知识手册笔记】索引
索引 索引的优缺点 优点1. 通过创建唯一性索引,可以保证数据库表中每一行数据的唯一性。2. 可以加快数据的检索速度(创建索引的主要原因)。3. 可以加速表和表之间的连接,实现数据的参考完整性。4. 可以在查询过程中,…...
Cilium动手实验室: 精通之旅---20.Isovalent Enterprise for Cilium: Zero Trust Visibility
Cilium动手实验室: 精通之旅---20.Isovalent Enterprise for Cilium: Zero Trust Visibility 1. 实验室环境1.1 实验室环境1.2 小测试 2. The Endor System2.1 部署应用2.2 检查现有策略 3. Cilium 策略实体3.1 创建 allow-all 网络策略3.2 在 Hubble CLI 中验证网络策略源3.3 …...
【项目实战】通过多模态+LangGraph实现PPT生成助手
PPT自动生成系统 基于LangGraph的PPT自动生成系统,可以将Markdown文档自动转换为PPT演示文稿。 功能特点 Markdown解析:自动解析Markdown文档结构PPT模板分析:分析PPT模板的布局和风格智能布局决策:匹配内容与合适的PPT布局自动…...
python如何将word的doc另存为docx
将 DOCX 文件另存为 DOCX 格式(Python 实现) 在 Python 中,你可以使用 python-docx 库来操作 Word 文档。不过需要注意的是,.doc 是旧的 Word 格式,而 .docx 是新的基于 XML 的格式。python-docx 只能处理 .docx 格式…...
前端开发面试题总结-JavaScript篇(一)
文章目录 JavaScript高频问答一、作用域与闭包1.什么是闭包(Closure)?闭包有什么应用场景和潜在问题?2.解释 JavaScript 的作用域链(Scope Chain) 二、原型与继承3.原型链是什么?如何实现继承&a…...
实现弹窗随键盘上移居中
实现弹窗随键盘上移的核心思路 在Android中,可以通过监听键盘的显示和隐藏事件,动态调整弹窗的位置。关键点在于获取键盘高度,并计算剩余屏幕空间以重新定位弹窗。 // 在Activity或Fragment中设置键盘监听 val rootView findViewById<V…...
OpenLayers 分屏对比(地图联动)
注:当前使用的是 ol 5.3.0 版本,天地图使用的key请到天地图官网申请,并替换为自己的key 地图分屏对比在WebGIS开发中是很常见的功能,和卷帘图层不一样的是,分屏对比是在各个地图中添加相同或者不同的图层进行对比查看。…...
Redis的发布订阅模式与专业的 MQ(如 Kafka, RabbitMQ)相比,优缺点是什么?适用于哪些场景?
Redis 的发布订阅(Pub/Sub)模式与专业的 MQ(Message Queue)如 Kafka、RabbitMQ 进行比较,核心的权衡点在于:简单与速度 vs. 可靠与功能。 下面我们详细展开对比。 Redis Pub/Sub 的核心特点 它是一个发后…...
【 java 虚拟机知识 第一篇 】
目录 1.内存模型 1.1.JVM内存模型的介绍 1.2.堆和栈的区别 1.3.栈的存储细节 1.4.堆的部分 1.5.程序计数器的作用 1.6.方法区的内容 1.7.字符串池 1.8.引用类型 1.9.内存泄漏与内存溢出 1.10.会出现内存溢出的结构 1.内存模型 1.1.JVM内存模型的介绍 内存模型主要分…...
