学习笔记-系统框图传递函数公式推导

目录

*待了解

现代控制理论和自动控制理论区别

自动控制系统的组成

信号流图

1、系统框图

1.1、信号线、分支点、相加点

1.2、系统各环节间的连接

1.3、 相加点和分支点的等效移动（比较点、引出点）

2、反馈连接公式推导

2.1、前向通路传递函数 

2.2、反馈回路传递函数&开环传递函数 Open-loop Transfer Function

2.3、闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0

2.4、误差传递函数

2.5、输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0 

2.6、误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0

3、闭环系统的特征方程

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*待了解

自控原理- CSDN搜索  （系列非常棒！必看）

系统的状态空间方程或传递函数矩阵

【现控理论】（一、系统的传递函数矩阵）----学习笔记-CSDN博客

第三讲 控制系统的复域数学模型(传递函数) - 知乎 (zhihu.com)

现代控制理论和自动控制理论区别

下列文字描述cr:文心一言

现代控制理论和自动控制理论在多个方面存在显著的区别。以下是对两者区别的详细阐述：

一、定义与范畴

• 自动控制：自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称为控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称为被控对象）的某个工作状态或参数（即被控制量）自动地按照预定的规律运行。这是控制理论的基础和核心，涵盖了从简单到复杂的各种控制系统。
• 现代控制理论：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，它是自动控制理论的一个主要组成部分。该理论更深入地研究控制系统的内部特性，通过状态变量的描述来分析和设计控制系统。

二、理论基础与方法

• 自动控制理论：自动控制理论的基础较为广泛，包括常微分方程稳定性理论、Fourier变换等，主要使用频率响应法和根轨迹法等图解分析方法。这些方法侧重于系统外部特性的描述和分析。
• 现代控制理论：现代控制理论则采用了更高级的数学工具，如状态空间分析、泛函分析、微分几何等现代数学分支。它主要通过对系统的状态变量进行描述和分析，使用时间域方法来设计和优化控制系统。这种方法能够更深入地揭示系统的内部特性和动态行为。

三、适用范围与对象

• 自动控制理论：自动控制理论主要适用于单输入单输出、线性、定常、集中参数的控制系统。这类系统相对简单，易于分析和设计。
• 现代控制理论：现代控制理论的适用范围要广泛得多，包括多输入多输出、非线性、时变、分布参数的复杂控制系统。它能够处理更广泛、更复杂的控制问题，为设计和构造具有指定性能指标的最优控制系统提供了可能性。

四、性能指标与初始条件处理

• 自动控制理论：在自动控制理论中，性能指标往往以幅值裕度、相位裕度、超调量、调节时间、阻尼比等频域指标来衡量。这些指标可能不够直观，且难以同时满足多个性能指标的要求。同时，初始条件的处理也相对困难，对高精度的位置、速度等性能指标难以达到要求。
• 现代控制理论：现代控制理论采用时间最短、能量最少、综合性能指标最优等时间域指标来衡量控制系统的性能。这些指标更直观、更易于接受，且能够同时满足多个性能指标的要求。同时，现代控制理论更易于处理初始条件，能够更容易地达到高精度的位置、速度等性能指标。

五、设计与综合

• 自动控制理论：在自动控制理论中，设计往往采用分析方法而不是最佳的综合方法。针对某个性能指标，设计方案可能多种多样，且需要丰富的经验和试凑来确定最终的设计方案。此外，设计和实时控制也较难在计算机上实现。
• 现代控制理论：现代控制理论则采用分析综合方法，设计与分析多为解析和优化计算。这使得设计和实时控制更易于在计算机上实现，且能够设计出具有最优性能指标的综合控制系统。

综上所述，现代控制理论与自动控制理论在定义、理论基础、适用范围、性能指标、设计与综合等方面都存在显著的区别。两者并不是截然对立的，而是相辅相成、互为补充的关系。在实际应用中，应根据具体的要求、目标和环境条件选择适宜的控制理论和方法。

自动控制系统的组成

自动控制理论（1）——自动控制理论概述-CSDN博客

自动控制理论（2）——控制系统的数学模型（微分方程、传递函数）_线性定常系统的初始条件为零则在y=0时的输出为零吗-CSDN博客

信号流图

1、系统框图

 

1.1、信号线、分支点、相加点

定义功能特点cr:文心一言

信号线

• 定义：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向。在直线旁通常会标记信号的时间函数或象函数，以明确信号的具体内容。传递线上标明被传递的信号：指向方块的带箭头的直线表示输入，从方块出来的带箭头的直线表示输出。
• 功能：信号线用于连接不同的方块，表示信号在系统中的流动路径。指向方块的带箭头的直线表示输入信号，从方块出来的带箭头的直线表示输出信号。
• 特点：信号线能够清晰地展示信号的流向和所传递的信号内容，是方块图中不可或缺的一部分。

分支点

• 定义：分支点是将某一信号同时传向系统中所需要各处的位置。从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同。
• 功能：分支点用于表示信号引出或被测量的位置，允许信号在需要的地方进行复制和分发，以满足系统中不同元件对信号的需求。
• 特点：分支点的存在使得系统能够灵活地处理信号，确保信号能够准确地传递到系统的各个部分。

相加点（也称为比较点）

• 定义：相加点（也称为比较点）是对两个或两个以上的信号进行代数运算（如相加或相减）的位置。在方块图中，相加点通常用一个圆圈表示，每个箭头上的加号或减号表示信号是进行相加还是相减。
• 功能：相加点允许系统对多个信号进行合并处理，以生成满足特定需求的复合信号。这种合并处理可以是简单的加法或减法，也可以是更复杂的代数运算。
• 特点：相加点使得系统能够灵活地处理多个输入信号，生成具有特定特性的输出信号。同时，相邻的相加点可以根据代数运算的交换律、结合律和分配律进行互换、合并或分解，从而简化方块图的结构。

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1.2、系统各环节间的连接

环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。

第四讲 控制系统的方框图 (zhihu.com)

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自动控制理论（3）——控制系统的数学模型（系统框图和信号流图）_自动控制框图-CSDN博客

1.3、 相加点和分支点的等效移动（比较点、引出点）

第四讲 控制系统的方框图 (zhihu.com) （最详细）

自动控制理论（3）——控制系统的数学模型（系统框图和信号流图）_自动控制框图-CSDN博客

自动控制原理之系统方块图及其化简_方块图化简-CSDN博客

2、反馈连接公式推导

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第四讲 控制系统的方框图 (zhihu.com)

(1)前向通路传递函数

(2)反馈回路传递函数 

(3)开环传递函数 Open-loop Transfer Function

(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function

(5)误差传递函数

(6)输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0

(7)误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0

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2.1、前向通路传递函数 

前向通道是指从输入端到输出端的通道

推导过程cr:文心一言

在控制系统中，当我们考虑一个带有反馈的闭环系统时，通常会有一个参考输入R(s)，一个输出C(s)，以及一个误差信号E(s)。误差信号E(s)是参考输入R(s)与输出C(s)之间的差值，即E(s)=R(s)−C(s)（在负反馈系统中）。

现在，假设系统中的噪声N(s)=0，这意味着我们没有考虑外部噪声对系统的影响。在这种情况下，我们可以专注于系统的基本反馈机制。

在闭环系统中，输出C(s)是通过将误差信号E(s)送入控制器（或称为补偿器），然后经过系统的前向通道（包括G1​和G2​）来产生的。这里，G1​和G2​是系统前向通道中的传递函数。

由于E(s)=R(s)−C(s)，我们可以解出C(s)关于E(s)的表达式：

C(s)=R(s)−E(s)

但在这个问题中，我们关注的是C(s)与E(s)之间的关系，特别是在没有噪声N(s)的情况下。由于系统的输出C(s)是由误差信号E(s)经过前向通道G1​G2​产生的，因此有：

C(s)=G1​G2​⋅E(s)

这里，G1​G2​是前向通道的总传递函数，它将误差信号E(s)转换为输出信号C(s)。

从上式我们可以直接得出：

这就是为什么在N(s)=0的条件下，输出C(s)与误差E(s)之比等价于G1​G2​。这个比例关系反映了系统对误差信号的响应能力，即系统如何通过调整其输出来减小误差。

需要注意的是，这个关系是在没有外部噪声干扰的假设下得出的。在实际系统中，噪声和其他外部因素可能会影响这个关系，但在这个特定的问题中，我们假设这些因素不存在。

 

推导过程cr:文心一言

如果假设仅R(s)=0，那么参考输入信号为零，即没有外部信号要求系统产生输出。然而，在实际情况中，由于噪声N(s)的存在，系统仍然可能产生一定的输出C(s)，尽管这个输出可能不是由期望的参考输入引起的。

在带有反馈的闭环系统中，当R(s)=0时，误差信号E(s)将完全由噪声N(s)和系统的反馈机制决定。但是，在大多数标准的反馈控制系统中，噪声N(s)通常不会直接作用在误差信号E(s)上，而是作用在系统的某个环节上，比如直接作用在控制器的输入或系统的前向通道上。

然而，为了回答你的问题，我们可以假设一个简化的场景，其中噪声N(s)直接作用在系统的前向通道上，且紧接在G2​之前（或者我们可以将N(s)视为与G2​串联的一个额外输入）。在这种情况下，由于R(s)=0，误差信号E(s)将主要由噪声N(s)和系统的反馈机制共同决定，但在这个简化的假设下，我们可以暂时忽略反馈对N(s)的直接影响。

那么，输出C(s)将主要由噪声N(s)经过G2​产生。但是，这里需要注意的是，由于反馈机制的存在，实际的C(s)还会受到反馈回路中其他环节（如G1​和反馈增益）的影响。然而，在你的问题中，如果直接询问C(s)与N(s)之比为什么是G2​，这通常是一个简化的或特定条件下的结论。

在严格意义上，当R(s)=0时，C(s)与N(s)之间的关系并不是简单地由G2​决定的，因为反馈回路中的其他环节也会产生影响。但是，如果我们假设噪声N(s)直接且仅通过G2​影响输出（这是一个简化的假设），并且忽略反馈回路中的其他动态效应，那么我们可以说在这个特定条件下，C(s)与N(s)之比近似为G2​。

然而，在实际应用中，这种简化的假设可能并不成立。噪声N(s)可能会以更复杂的方式影响系统，包括通过反馈回路中的其他环节。因此，在分析和设计控制系统时，需要更全面地考虑噪声对系统性能的影响。

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「自控原理」2.4 信号流图与梅逊公式、闭环传递函数-CSDN博客

2.2、反馈回路传递函数&开环传递函数 Open-loop Transfer Function

推导过程cr:文心一言 

在控制系统中，反馈回路是一个重要的组成部分，它将系统的输出信号（或输出信号的一部分）反送到参考输入端，以调整系统的性能。在这个问题中，我们关注的是反馈信号B(s)与输出信号C(s)以及误差信号E(s)之间的关系。

首先，我们明确几个关键的定义：

1. 反馈信号B(s)：这是从输出端反送到参考输入端的信号，通常是通过某种反馈机制（如传感器、比较器等）获取的。

2. 反馈通道传递函数H(s)：这是描述反馈信号B(s)与输出信号C(s)之间关系的传递函数，即B(s)=H(s)C(s)。

3. 误差信号E(s)：这是参考输入信号R(s)与输出信号C(s)之间的差值，即E(s)=R(s)−C(s)（在负反馈系统中）。

现在，我们考虑N(s)=0的情况，即没有外部噪声干扰。

在闭环系统中，输出信号C(s)是由前向通道（包括G1​和G2​）和反馈通道（H(s)）共同决定的。由于B(s)=H(s)C(s)，我们可以将B(s)表示为输出信号C(s)的函数。

然而，在讨论开环传递函数时，我们关注的是在没有反馈（即开环）条件下，系统对输入信号的响应。但在这里，我们实际上是在讨论一个假设性的“开环”关系，即假设我们可以将反馈信号B(s)看作是与误差信号E(s)直接相关的（尽管在真正的开环系统中，反馈是不存在的）。

为了理解这一点，我们注意到在闭环系统中，误差信号E(s)会影响控制器的输出，进而通过前向通道影响输出信号C(s)。同时，输出信号C(s)又通过反馈通道影响误差信号E(s)。这种相互作用使得闭环系统的行为变得复杂。

但是，如果我们假设在某种“开环”分析中（注意这里的“开环”是假设性的，用于理解反馈的作用），反馈信号B(s)直接由误差信号E(s)决定（尽管在实际闭环系统中不是这样），并且我们想知道这个“开环”关系下B(s)与E(s)的比例，那么我们可以这样考虑：

由于B(s)=H(s)C(s)，并且在闭环系统中C(s)与E(s)有关（尽管关系复杂），我们可以假设在某种简化的“开环”分析中，C(s)可以表示为E(s)经过前向通道G1​G2​的响应，即C(s)≈G1​G2​E(s)（注意这是一个简化和假设性的关系，用于理解）。

因此，在这个假设性的“开环”分析中，我们有：

B(s)=H(s)C(s)≈H(s)G1​G2​E(s)

从而得出：

E(s)B(s)​≈G1​G2​H(s)

但请注意，这个关系是在假设性的“开环”分析中得出的，它并不真正代表开环系统的行为（因为开环系统没有反馈）。这个关系更多地是用于理解闭环系统中反馈信号与误差信号之间的关系，以及反馈如何影响系统的性能。在实际应用中，我们通常会使用更复杂的分析方法（如根轨迹法、频率响应法等）来分析和设计闭环控制系统。

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2.3、闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0

 推导过程cr:文心一言

1. 定义有效输入：

   • 由于H是负反馈，所以有效输入Reff​(s)是原始输入R(s)减去反馈回来的部分HC(s)：

   • 计算输出：
     系统的输出C(s)是有效输入Reff​(s)通过G1​G2​的传递结果：

   • 

     将Reff​(s)的表达式代入上式：

   • 

   • 解出C(s)：
     为了解出C(s)，我们将上式重新整理：

     

     将含C(s)的项移到等式的一侧：

     

     提取公因子C(s)：

     

   • 求解传递函数Z(s)：
     最后，为了得到传递函数C(s)/R(s)​，我们将上式两边同时除以R(s)并化简：

     

     由于分子和分母都含有R(s)，且R(s)不为零（在正常工作情况下），因此可以约去：

     

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自动控制理论（3）——控制系统的数学模型（系统框图和信号流图）_自动控制框图-CSDN博客

推导过程cr:文心一言

1. 定义输入输出关系：
   输出C(s)是前向路径（通过G(s)）的输出与反馈路径（通过H(s)）的输出之差（在负反馈系统中）。因此，我们可以写出以下关系式：

   C(s)=G(s)R(s)−G(s)H(s)C(s)

   这里，G(s)R(s)是前向路径的输出，而G(s)H(s)C(s)是反馈路径的输出（注意，反馈路径的输出先经过H(s)，再与前向路径的输出相减）。

2. 解出C(s)：
   为了解出C(s)，我们将上式重新整理：

   C(s)+G(s)H(s)C(s)=G(s)R(s)

   提取公因子C(s)：

   C(s)[1+G(s)H(s)]=G(s)R(s)

3. 求解传递函数Z(s)：
   为了得到传递函数Z(s)=C(s)/R(s)​，我们将上式两边同时除以R(s)并化简：

   

   由于分子和分母都含有R(s)，且R(s)不为零（在正常工作情况下），因此可以约去：

   

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推导过程cr:文心一言 

在控制系统中，开环传递函数是一个重要的概念，它描述了在没有反馈（即开环）条件下，系统输入到输出的关系。然而，在讨论闭环系统的性能时，我们经常会用到一个与开环传递函数密切相关的表达式，即闭环传递函数，它描述了闭环系统中输入到输出的关系。

首先，我们明确几个关键的定义：

1. 前向通道传递函数 G(s)：这是从系统输入到输出（不考虑反馈）的传递函数。

2. 反馈通道传递函数 H(s)：这是从输出端反送到参考输入端的信号通道的传递函数。

3. 开环传递函数：在控制理论中，开环传递函数通常不是直接定义为 H(s)G(s)，而是指在没有反馈（即断开反馈回路）时，从输入到输出（通过前向通道）的传递函数。然而，在讨论闭环系统时，我们经常提到的“开环传递函数”实际上是指前向通道传递函数 G(s) 与反馈通道传递函数 H(s) 的乘积 G(s)H(s)，在闭环系统的上下文中，这个乘积用于分析系统的稳定性和性能。

4. 闭环传递函数：这是闭环系统中输入到输出的传递函数，通常表示为 C(s)/R(s)=G(s)/(1+H(s)G(s))。【详细推导过程见前面那一节：R(s)作用下系统闭环传递函数】

现在，我们来解释为什么在开环系统的上下文中（尽管这里实际上是在讨论闭环系统），我们称 H(s)G(s) 为“开环传递函数”：

• 在闭环系统中，反馈信号 B(s) 是输出信号 C(s) 经过反馈通道 H(s) 得到的，即 B(s)=H(s)C(s)。
• 这个反馈信号 B(s) 会与参考输入 R(s) 相减，形成误差信号 E(s)=R(s)−B(s)=R(s)−H(s)C(s)。
• 误差信号 E(s) 随后通过前向通道 G(s) 产生输出信号 C(s)（在闭环系统中，这个 C(s) 是由误差信号和前向通道共同决定的，但在这里我们是在解释开环传递函数的概念）。
• 如果我们假设暂时断开反馈回路（即开环条件），那么输出信号 C(s) 将仅由输入信号 R(s) 通过前向通道 G(s) 决定。但是，在闭环系统的分析中，我们关心的是反馈对系统的影响，因此引入了 H(s)G(s) 这个乘积来评估反馈的作用。
• H(s)G(s) 被称为“开环传递函数”（在闭环系统的上下文中）是因为它描述了在没有反馈作用时（即如果我们将 H(s) 视为0），前向通道和反馈通道串联起来对输入信号的响应。然而，需要注意的是，这个“开环传递函数”实际上是在闭环系统的分析中使用的，用于评估系统的稳定性和性能。

综上所述，虽然“开环传递函数”这个术语在字面上可能有些误导（因为它实际上是在闭环系统的分析中使用的），但它在控制理论中是一个非常重要的概念，用于描述前向通道和反馈通道对系统性能的共同影响。

2.4、误差传递函数

推导过程cr:文心一言

1. 定义输出：

   • 系统的输出C(s)是输入R(s)经过G1​和G2​的传递结果，并受到负反馈的影响。但由于我们现在关注的是E(s)与R(s)的关系，我们可以先写出C(s)的表达式（尽管稍后可能不需要直接用它）：
     
     （注意：这个表达式在直接求解E(s)/R(s)时不是必需的，但有助于理解系统的工作方式。）

   • 定义偏差：
     根据题目和负反馈的常规理解，我们有：

   • 解出C(s)（可选步骤）：
     为了验证或进一步理解系统，我们可以解出C(s)（但这一步对于直接求解Z(s)不是必需的）：

   • 求解传递函数Z(s)：
     我们现在要求的是Z(s)=E(s)/R(s)​。将E(s)的表达式代入：
     
     由于我们已经知道（或可以推导出）C(s)=G1​G2​R(s)/[1+G1​G2​H​]，我们可以将这个表达式代入上面的Z(s)中：
     
     化简得：

2.5、输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0 

自动控制理论（3）——控制系统的数学模型（系统框图和信号流图）_自动控制框图-CSDN博客

第四讲 控制系统的方框图 (zhihu.com)

推导过程cr:文心一言

实际上，您给出的 G2​/[1+G1​G2​H] 表达式并不是直接从 C(s)/N(s) 的推导中得出的，因为 N(s) 通常是作为一个扰动信号来考虑，而不是系统的主要输入。然而，在某些特定情况下，我们可以通过一些假设和转换来尝试解释这个表达式是如何与系统行为相关的。

首先，我们需要明确一点：在标准的闭环控制系统中，N(s) 通常被视为一个外部扰动，它会影响系统的输出 C(s)，但通常不会直接改变系统的闭环增益（即 C(s)/R(s)）。然而，N(s) 的影响可以通过系统的闭环响应来观察。

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2.6、误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0

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3、闭环系统的特征方程

第四讲 控制系统的方框图 (zhihu.com)

上面推导出的系统的闭环传递函数和误差传递函数虽然各不相同，但是它们的分母却是一样的。均为：

这是同一个闭环控制系统各种传递函数都具有的分母多项式，称其为系统的特征多项式。

在这里，令

结论：

• 对给定的系统而言，特征多项式是唯一的，即闭环极点的分布是唯一的。
• 闭环系统的极点与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关。
• 特征多项式与开环传函相关，因此其动态特性可用开环传函分析

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