集合论（ZFC）之良创关系（Well-Founded Relation）

        定义在集合S中的一个二元关系（Binary Relation）记，<，有（S，<）。如果对于集合S的任意非空子集，都存在关系（<）下的最小元素，那么该关系（<）成为良创关系（Well_Founded Relation），集合S与关系（<），即（S，<），称为良创集。亦：

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

       可证，良序集（Well-Ordered Set）满足良创集的条件。即良序集为良创集。

        另外，给定义一个良创集（S，<），可定义关系（<）的高度（height），同时，赋予集合S中的每个元素 x 一个序数，称该序数为对应元素 x 的关系（<）层级 （ Rank of x in < ）。

        那么，把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal，其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } （ x ∈ S ）

        该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳，定义各层级集合，如

                S₀ = ∅ ；

                Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)}；

                Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ （ a 是极限序数（limit ordinal））

        那么，有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ...  ⊂ S。

        令，r 为该集合的最高层级，有 Sᵣ = S。

        如果 Sᵣ ≠ S，那么，（S - Sᵣ）⊂ S，而S为良创集，由此存在一个元素 a 是（S - Sᵣ）中，关系（<）下的最小元素，那么根据上述描述，a 存在于 Sᵣ₊₁ 中，与定义不符，因此，Sᵣ = S。

        其中 r 为 良创集（S，<）的高度。