拓扑学与集合论的关系

                                            

目录

1.   关于拓扑学的概念

2.   集合论和拓扑学的关系

3.    拓扑空间

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1.   关于拓扑学的概念

       汉译的“拓扑学”对应的英文是“topology”，更贴近其本义的翻译有“地志学”、“位相学”、等等，其原本词义是表示“研究位置分布的学科”。“topo-”表示“位置”+“-logy”表示“学科”。中译采用“topo-”的音译 + “-logy”的本义“学科”构成。所以网上和一些资料上对“topo-”译成“拓扑”的各种生搬硬套、故作高雅的解读都是错误的！

2.   集合论和拓扑学的关系

         集合论为数学的其他领域提供了基本的理论结构，而广义拓扑学是连接集合论和应用数学的桥梁。

         集合论包括无限组合学、收敛理论和集合论拓扑与分析。拓扑学是对曲线、曲面和高维流形等形状的定性研究。代数和微分拓扑学科与物理学、代数几何、算术几何和数据科学有联系和应用。

3.    拓扑空间

         在拓扑学中，拓扑空间是非常重要的一个方向。在拓扑学中，拓扑空间大致是指一个几何空间，其中的闭合性(closedness)是被定义的，但不一定可以用数值距离来衡量。更具体地说，拓扑空间是一个集合，其元素称为点，还有一个称为拓扑的附加结构，可以将其定义为每个点的邻域集，这些邻域满足一些公理，这些公理形式化了闭合性的概念。拓扑有几种等价定义，其中最常用的是通过用开集进行的定义，它比其他定义更容易操作。

         拓扑空间是数学空间中最普遍的类型，允许定义极限、连续性和连通性。常见的拓扑空间类型包括Euclid空间、度量空间(metric space)和流形(manifolds)。

         拓扑空间的概念虽然很普遍，但却是基础概念，几乎应用于现代数学的每个分支。拓扑空间本身的研究被称为点集拓扑或一般拓扑。