数据结构 - 图

一、图的基本概念

1. 图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中： 顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合； E {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。 (x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即 Path(x, y)是有方向的。
2. 顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。
3. 有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边。注意：无向边(x, y)等于有向<x, y>和<y, x>。
4. 完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图。
5. 邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。
6. 顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
7. 路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
8. 路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
9. 简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。
10. 子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。
11. 连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
12. 强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。
13. 生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边

二、图的储存结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。

1、邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意：
（1）如果有权值的话，相连的边数组保存边的权值，不相连的边一般用无穷大表示。
（2）无向图的邻接矩阵是对称的，有向图则不是。
（3）邻接矩阵的优点是可以快速查找两个顶点是否相连，缺点是如果顶点多而边少，就会造成空间浪费。
代码实现：

// V - 顶点类型，W - 权值类型, MAX_W - 权值最大值， 
// Direction - 是否有向 true - 无向 false - 无向
template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph
{typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction>  Self;public:Graph() = default;Graph(const V* vertexs, size_t n){//初始化_vertexs.resize(n);_matrix.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){//初始化矩阵_matrix[i].resize(n, MAX_W);//初始化映射关系_vertexs[i] = vertexs[i];_vIndexMap[vertexs[i]] = i;}}//获取映射下标size_t GetVertexIndex(const V& v){//查找是否存在auto ret = _vIndexMap.find(v);//存在返回索引否则返回-1if (ret != _vIndexMap.end())return ret->second;else cout<<"不存在顶点"<<endl;return -1;}void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w){//默认有向_matrix[srci][dsti] = w;//无向if (Direction){_matrix[dsti][srci] = w;}}//添加边void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w){//获取下标int srci = GetVertexIndex(src);int dsti = GetVertexIndex(dst);//判断是否存在if (srci >= 0 && dsti >= 0)_AddEdge(srci, dsti, w);}private:map<V, size_t> _vIndexMap;//元素与下标的映射vector<V> _vertexs; // 顶点集合vector<vector<W>> _matrix; //矩阵
}

下面其他算法均使用邻接矩阵实现。

2、邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
无向图邻接表存储：

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可。

有向图邻接表存储：

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。

实现：
只实现出边表（一般只会用到）。

//顶点集合//W - 权值类型template<class W>struct LinkEdge{int _srcIndex;int _dstIndex;W _w;LinkEdge<W>* _next;LinkEdge(int srcIndex , int dstIndex , const W& w): _srcIndex(srcIndex), _dstIndex(dstIndex), _w(w), _next(nullptr){}};//V - 顶点类型，W - 权值类型// Direction - 是否有向 true - 无向 false - 无向template<class V, class W, bool Direction = false>class Graph{typedef LinkEdge<W> Edge;public:Graph() = default;//初始化Graph(const V* vertexs, size_t n){//初始化_linkTable.resize(n,nullptr);_vertexs.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){//初始化映射关系_vertexs[i] = vertexs[i];_vIndexMap[vertexs[i]] = i;}}//获取下表size_t GetVertexIndex(const V& v){//查找是否存在auto ret = _vIndexMap.find(v);//存在返回索引否则返回-1if (ret != _vIndexMap.end())return ret->second;elsecout << "不存在该顶点" << endl;return -1;}//添加边void AddEdge(const V& src, const V& dst,  const W& w){//获取映射下标int srci = GetVertexIndex(src);int dsti = GetVertexIndex(dst);if (srci == -1 || dsti == -1)return;//使用头插法//有向图Edge* srceg = new Edge(srci, dsti, w);srceg->_next = _linkTable[srci];_linkTable[srci] = srceg;//无向图if (Direction){Edge* dsteg = new Edge(dsti, srci, w);dsteg->_next =  _linkTable[dsti];_linkTable[dsti] = dsteg;}}private:map<string, int> _vIndexMap;	//顶点与下标的映射关系vector<V> _vertexs; // 顶点集合vector<Edge*> _linkTable;	//邻接表};

三、图的遍历

1、广度优先遍历

通过一个顶点一层层不断往外扩。

怎么实现？
（1）通过一个数组记录顶点是否被遍历到。
（2）通过队列，每次将队列的顶点拿出，并将其指向的顶点入队，循环上述操作。

//广度优先遍历
void BFS(const V& src)
{//获取索引int srci = GetVertexIndex(src);//节点数int n = _vertexs.size();//标记数组vector<bool> vis(n);//通过队列遍历访问queue<int> q;q.push(srci);vis[srci] = true;while (!q.empty()){//一层一层遍历int sz = q.size();for (int i = 0; i < sz; i++){//取队头元素int index = q.front();q.pop();cout << index << ": " << _vertexs[index]<<" | ";//将与队头元素连接且灭访问过的点进队并做标记for (int j = 0; j < n; j++){if (vis[j] == false && _matrix[index][j] != MAX_W){vis[j] = true;q.push(j);}}}cout << endl;}
}

2、深度优先遍历

怎么实现？
从一个顶点出发，找到下一个顶点，再次以这个顶点出发，重复上述操作，直到找不到下一个顶点就进行回溯。

void _DFS(int index, vector<bool>& vis)
{cout << index << ": " << _vertexs[index] << endl;//将index指向且没有访问过的节点进行标配并递归搜索for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++){if (vis[i] == false && _matrix[index][i] != MAX_W){vis[i] = true;_DFS(i, vis);}}
}//深度优先搜索
void DFS(const V& v)
{	//标记数组vector<bool> vis(_vertexs.size());//获取v的索引int srci = GetVertexIndex(v);//进行遍历_DFS(srci, vis);//将剩下没有遍历到的节点遍历for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++){if (vis[i] == false)_DFS(i, vis);}
}

四、最小生成树

1、概念

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：

1. 只能使用图中的边来构造最小生成树
2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
3. 选用的n-1条边不能构成回路 构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。

2、Kruskal算法

任给一个有n个顶点的连通网络N={V,E}，首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量， 其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。
核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。

上图来自算法导论。

怎么实现？
（1）使用一个结构体保存边的信息。
（2）使用优先队列（小的在队头）将所有边进队。
（3）开始挑边，在挑的过程中使用一个并查集（将选顶点和不选的顶点分成两个集合）判断是否成环，直到挑到n-1（n：顶点的个数）条边结束。

//并查集
#include<iostream>
#include<vector>using namespace std;class UnionFindSet
{
public:UnionFindSet(size_t size):_ufs(size, -1){}// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称int FindRoot(int index){int root = index;while (_ufs[root] >= 0){root = _ufs[root];}while(_ufs[index] >= 0){int p = _ufs[index];_ufs[index] = root;index = p;}return root;}//将两个元素合拼到同一个集合里bool Union(int x1, int x2){int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);if (root1 == root2)return false;//小的并到大的里面if(abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))swap(root1,root2);_ufs[root1] += _ufs[root2];_ufs[root2] = root1;return true;}// 数组中负数的个数，即为集合的个数size_t Count()const{size_t ret = 0;for (int i = 0; i < _ufs.size(); i++){if (_ufs[i] < 0)ret++;}return ret;}//判断两个元素是否在同一个集合里bool IsGather(int x1, int x2){return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);}private:std::vector<int> _ufs;
};//W - 权值类型
template<class W>
struct Edge
{int _srci;int _dsti;W _w;Edge(int srci, int dsti, const W& w): _srci(srci), _dsti(dsti), _w(w){}//重载大于bool operator>( const Edge<W>& e) const{return _w > e._w;}
};//最小生成树 -- Kruskal算法
W Kruskal(Self& minTree)
{//通过现有的图对minTree进行初始化int n = _vertexs.size();minTree._vertexs = _vertexs;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;minTree._matrix.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);}//使用优先队列保存所有边priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = i; j < n; j++){if (_matrix[i][j] != MAX_W){pq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));}}}//通过并查集来判环UnionFindSet ufs(n);//开始选边 -- 选n-1条int count = 0;//记录边的数W ret = W();//记录权值while (!pq.empty()){//取队头元素Edge e = pq.top();pq.pop();//只要两个点不同时在ufs中说明这条边可选if (!ufs.IsGather(e._srci, e._dsti)){//加入并查集ufs.Union(e._srci,e._dsti);//添加边minTree._AddEdge(e._srci,e._dsti,e._w);count++;ret += e._w;}//选完边结束if(count == n-1)break;}return ret;}

3、Prim算法

上图来自算法导论。

怎么实现
（1）从一个顶点开始，将与其相连的边加入优先队列（小的在队头）。
（2）使用一个vector容器标记顶点是否被访问
（3）出队，通过被指向的边是否被标记来判环（该边的起点肯定已经被标记了，因为该边进队时就是选择被标记的点作为起点的），没被标记，选择，直到选择n-1（n:顶点数）条边。

//W - 权值类型
template<class W>
struct Edge
{int _srci;int _dsti;W _w;Edge(int srci, int dsti, const W& w): _srci(srci), _dsti(dsti), _w(w){}//重载大于bool operator>( const Edge<W>& e) const{return _w > e._w;}
};
//最小生成树 -- Prim算法
W Prim(Self& minTree, const V& src)
{//通过现有的图对minTree进行初始化int n = _vertexs.size();minTree._vertexs = _vertexs;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;minTree._matrix.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);}//标记点是否被选vector<int> vis(n);int srci = GetVertexIndex(src);vis[srci] = true;//使用优先队列保存当前点出去的边priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;for (int i = 0; i < n; i++){if (_matrix[srci][i] != MAX_W){pq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));}}W ret = W();//记录权值int count = 0;//记录当前边数while (!pq.empty()){//取出队头元素Edge e = pq.top();pq.pop();//判环 --只要当前边的e._dsti没被标记就行，因为该边是由e._srci点发出的，所以//e._srci肯定被标志了，不用判断if (vis[e._dsti] == false){//修改标志vis[e._dsti] = true;//添加边minTree._AddEdge(e._srci, e._dsti, e._w);//将新加入的点出去的边添加到优先队列中for (int i = 0; i < n; i++){if (_matrix[e._dsti][i] != MAX_W){pq.push(Edge(e._dsti, i, _matrix[e._dsti][i]));}}ret += e._w;count++;}//选完了结束if (count == n - 1)break;}return ret;
}

五、最短路径问题

最短路径问题：从在带权有向图G中的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小。

1、单源最短路径–Dijkstra算法

1. 单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图 中每个结点v ∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短 路径问题，同时算法要求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点和一个终点，所以使用Dijkstra算法求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径。
2. 针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时 为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径 的结点集合，每次从Q
   中找出一个起点到该结点代价最小的结点u ，将u 从Q 中移出，并放入S 中，对u 的每一个相邻结点v 进行松弛操作。松弛即对每一个相邻结点v ，判断源节点s到结点u 的代价与u 到v 的代价之和是否比原来s 到v 的代价更小，若代价比原来小则要将s 到v 的代价更新 为s 到u 与u 到v 的代价之和，否则维持原样。如此一直循环直至集合Q 为空，即所有节点都已经 查找过一遍并确定了最短路径，至于一些起点到达不了的结点在算法循环后其代价仍为初始设定 的值，不发生变化。Dijkstra算法每次都是选择V-S中最小的路径节点来进行更新，并加入S中，所 以该算法使用的是贪心策略。
3. Dijkstra算法存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路 径的最短路径。

上图来自算法导论。

//src -- 开始的点 dist -- src到每个点的最短距离 
// parentPath -- 记录src到其他点的过程上的最近顶点 如：src -> k -> j j点记录的是k的下标
void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& parentPath)
{//初始化int n = _vertexs.size();dist.resize(n, MAX_W);parentPath.resize(n, -1);//标记数组vector<bool> vis(n);//给dist数组srci位置赋最小值，方便第一次找到int srci = GetVertexIndex(src);dist[srci] = W();//n个顶点更新n次for (int i = 0; i < n; i++){int u = 0;int min = MAX_W;//到srci最小的点for(int j = 0; j < n; j++){if (vis[j] == false && min > dist[j]){u = j;min = dist[j];}}//标志vis[u] = true;//松弛操作//	更新u->其他点（srci->u->其他点）的distfor (int k = 0; k < n; k++){if (vis[k] == false && _matrix[u][k] != MAX_W &&dist[k] > dist[u] + _matrix[u][k]){dist[k] = dist[u] + _matrix[u][k];parentPath[k] = u;}}}
}

2、单源最短路径–Bellman-Ford算法

Dijkstra算法只能用来解决正权图的单源最短路径问题，但有些题目会出现负权图。这时这个算法 就不能帮助我们解决问题了，而bellman—ford算法可以解决负权图的单源最短路径问题。它的 优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显 的缺点，它的时间复杂度 O(N*E) (N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里 如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出 来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新

上图来自算法导论。

//src -- 开始的点 dist -- src到每个点的最短距离 
// parentPath -- 记录src到其他点的过程上的最近顶点 如：src -> k -> j j点记录的是k的下标
bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& parentPath)
{size_t n = _vertexs.size();size_t srci = GetVertexIndex(src);// vector<W> dist,记录srci-其他顶点最短路径权值数组dist.resize(n, MAX_W);// vector<int> parentPath 记录srci-其他顶点最短路径父顶点数组parentPath.resize(n, -1);// 先更新srci->srci为最小值,方便第一次找到dist[srci] = W();//最多更新n-1次（最坏的情况就是到另一个点需要更新n-1次）for (int k = 0; k < n-1; k++){//标记，如果没有修改则完成查找最短路径bool flag = false;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){//找到更小的了，进行修改if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]){cout << _vertexs[i] << "->" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << " | ";dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];parentPath[j] = i;flag = true;}}}//全部都是最短路径了 - 结束if (flag == false)break;}//检查有没有负权回路for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]){return false;}}}return true;
}

3、多源最短路径–Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。
Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间节点，即简单路径p={v1,v2,…,vn}上除v1和vn的任意节点。设k是p的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1是从i到k且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。p2是从k到j且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。

上图来自算法导论。

即Floyd算法本质是三维动态规划，D[i][j][k]表示从点i到点j只经过0到k个点最短路径，然后建立起转移方程，然后通过空间优化，优化掉最后一维度，变成一个最短路径的迭代算法，最后即得到所以点的最短路。

//vvDist -- 记录全部的点到其他点的小权值 
//vvParentPath -- 记录全部点到其他点的过程上的最近顶点 如：src -> k -> j j点记录的是k的下标
void FloydWarShall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>&vvParentPath)
{// 初始化size_t n = _vertexs.size();vvDist.resize(n);vvParentPath.resize(n);//初始化权值和路径矩阵for (size_t i = 0; i < n; ++i){vvDist[i].resize(n, MAX_W);vvParentPath[i].resize(n, -1);}//将相连的边连在一起for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){if (_matrix[i][j] != MAX_W){vvDist[i][j] = _matrix[i][j];vvParentPath[i][j] = i;}else if (i == j){vvDist[i][j] = W();vvParentPath[i][j] = -1;}}}//将k作为中转点依次遍历for (int k = 0; k < n; k++){for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){//i ->( k )-> jif (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W&& vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j]){vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];vvParentPath[i][j] = vvParentPath[k][j];}}}}}

六、拓扑排序

1、概念

拓扑排序是对有向无环图（DAG）顶点的一种排序。 在一个DAG中，如果存在一条有向边(u, v)，那么在拓扑排序的结果中，顶点u会排在顶点v的前面。它主要用于解决任务调度、课程学习顺序等依赖关系问题（就是找做事情的先后顺序），通常可以用深度优先搜索（DFS）或 Kahn算法来实现拓扑排序。
注意：拓扑排序的顺序不唯一。

2、如何排序

以下是使用 Kahn 算法实现拓扑排序的步骤：

1. 。
   遍历有向图中的所有边，对于每条边(u, v)，将顶点 v 的入度加一。
2. 将入度为 0 的顶点加入队列。
   初始化一个队列，用于存储入度为 0 的顶点。遍历所有顶点，将入度为 0 的顶点加入队列。
3. 进行拓扑排序。
   创建一个空列表，用于存储排序后的顶点。当队列不为空时，从队列中取出一个顶点 u。将顶点 u 加入排序后的列表中。遍历顶点 u 的所有邻接顶点 v，将顶点 v 的入度减一。如果顶点 v 的入度变为 0，则将其加入队列。
4. 检查是否存在有向环。
   如果排序后的列表中顶点的数量与图中的顶点数量相同，则说明图中不存在有向环，拓扑排序成功。否则，说明图中存在有向环，无法进行拓扑排序。

3、实现

//拓扑排序
//graph数组 -- 下标指向一个vector<int>,vector<int> - 该下标顶点指向的顶点
//如0 -> {1,2} ,在图中有两条边（0，1），（0，2）
vector<int> topologicalSort(vector<vector<int>>& graph) 
{//1、统计入度int n = graph.size();vector<int> in(n, 0);for (int i = 0; i < n; i++){for (auto e : graph[i])in[e]++;}//2、将入度为0的进队列queue<int> q;for (int i = 0; i < n; i++){if (in[i] == 0)q.push(i);}//3、拓扑排序vector<int> ret;while (!q.empty()){//出队int front = q.front();q.pop();//加入ret.push_back(front);//将front指向的入度减1for (auto e : graph[front]){in[e]--;//再次统计入度为0的顶点if (in[e] == 0)q.push(e);}}//4、判断是否存在有向环if (ret.size() < n)return {};return ret;
}

4、应用

题目：课程表

使用算法：拓扑排序
这题多了一步就是需要我们自己建图，遍历prerequisites使用vector<vector> 或者map<int,vector>，将图建（如顶点a指向其他顶点的集合）出来，其他步骤和上述代码差不多了。

代码实现：

class Solution {
public:bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {//1、建图vector<vector<int>> graph(numCourses);int n = prerequisites.size();for(int i = 0; i < n; i++){int a = prerequisites[i][0];int b = prerequisites[i][1];graph[b].push_back(a);}//统计入度vector<int> in(numCourses, 0);for (int i = 0; i < numCourses; i++){for (auto e : graph[i]){in[e]++;}}//3、将入度为0的进队列queue<int> q;for (int i = 0; i < numCourses; i++){if (in[i] == 0)q.push(i);}//4、拓扑排序while (!q.empty()){//出队int front = q.front();q.pop();//将front指向的入度减1for (auto e : graph[front]){in[e]--;//再次统计入度为0的顶点if (in[e] == 0)q.push(e);}}//4、判断是否存在有向环for(int i = 0; i < numCourses; i++){if(in[i]) return false;}return true;}
};