动态规划——股票问题全解

引入

股票问题是一类动态问题，我们需要对其状态进行判定分析来得出答案

但其实，我们只需要抓住两个点，持有和不持有，在这两种状态下分析问题会简单清晰许多

下面将会对各个问题进行分析讲解，来解释什么是持有和不持有状态，并在分析后得到题目的解答​​​​​​​买卖股票的最佳时机

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1、​​​​​​​买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

分析：

我们了解到这道题，只能够购买和卖出一次，那么，

持有的状态只有两种情况：1.之前就持有  2.今天刚买入

不持有也有两种情况：1.昨天就不持有 2.今天刚出售

1.dp空间

通过以上的分析我们可以知道，解决这个问题我们需要了解：

1.今天的价格  2.昨天的状态

所以，我们需要两对空间，保存两对持有与不持有状态

即一个2*2大小的数组

vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2));

2.初始状态

其中dp[i][0] 代表第i天的持有状态下的资金数

        dp[i][1] 代表第i天的不持有状态下的资金数

由此我们也可以知道，第一天的持有状态只能是进行买入 即 -prices[0]

                                                   不持有状态只能是0

所以初始状态我们也有了

dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;

3.递推公式

由刚开始的分析其实我们已经知道了递推公式，现在只需要进行代码实现即可：

先使用伪代码描述

当天持有股票的最大金额 = max（昨天就持有时的资金数，今天刚买入后所拥有的资金）

当天不持有股票的最大金额 = max（昨天就不持有时的资金数，今天刚卖出后所拥有的资金）

代码实现

其中的取模运算是为了获得之前的状态而不用进行数据移动

//因为只进行一次买入卖出，所以当前买入一定是 0 - prices[i]
dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);

4.题解代码 

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int len = prices.size();vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);}return dp[(len - 1) % 2][1];}
};

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2、买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

• 1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
• 0 <= prices[i] <= 10 ^ 4

分析：

这道题与上一道题的最大差别就是，可进行多次买入卖出，那么如上一道题相同，先分析两种状态

持有的状态只有两种情况：1.之前就持有  2.今天买入

不持有也有两种情况：1.昨天就不持有 2.今天出售

1.dp空间

通过以上的分析我们可以知道，解决这个问题我们需要了解：

1.今天的价格  2.昨天的状态

所以，我们需要两对空间，保存两对持有与不持有状态

即一个2*2大小的数组

vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2));

2.初始状态

其中dp[i][0] 代表第i天的持有状态下的资金数

        dp[i][1] 代表第i天的不持有状态下的资金数

由此我们也可以知道，第一天的持有状态只能是进行买入 即 -prices[0]

                                                   不持有状态只能是0

所以初始状态与上一道题相同

dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;

 

3.递推公式

使用伪代码描述

当天持有股票的最大金额 = max（昨天就持有时的资金数，今天买入后所拥有的资金）

当天不持有股票的最大金额 = max（昨天就不持有时的资金数，今天刚卖出后所拥有的资金）

代码实现

其中的取模运算是为了获得之前的状态而不用进行数据移动

注意，因为需要进行多次买入卖出，所以 持有股票状态中 今天买入后所拥有的资金 需要由之前的状态转换而来，这是与前一道题不同的地方

//注意，这里的今天买入状态，是由昨天未持有状态推导而来
dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);

4.题解代码  

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int len = prices.size();vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2));dp[0][0] -= prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);}return dp[(len - 1) % 2][1];}
};

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3、买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1: 输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。

示例 2： 输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3： 输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。

示例 4： 输入：prices = [1] 输出：0

提示：

• 1 <= prices.length <= 10^5
• 0 <= prices[i] <= 10^5

分析：

这道题与前题的差别在于，只能进行两笔交易，即两次买入卖出过程，那么如上一道题相同，先分析两笔交易各自的状态

第一笔：

持有的状态只有两种情况：1.之前就持有  2.今天刚买入

不持有也有两种情况：1.昨天就不持有 2.今天刚出售

但是情况不同的是，第二笔的交易，需要根据第一笔交易的基础上进行

所以第二笔：

持有的状态只有两种情况：1.之前就持有  2.今天刚买入（但需要加上前一笔交易完成的状态）

不持有也有两种情况：1.昨天就不持有 2.今天刚出售

1.dp空间

通过以上的分析我们可以知道，解决这个问题我们需要了解：

1.第一笔交易的持有与不持有状态  2.第一笔交易的持有与不持有状态 

所以，我们需要两对空间，保存两笔交易的状态

即一个2*2大小的数组

vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2, 0));

 

2.初始状态

其中dp[i][0] 代表第i天的持有状态下的资金数

        dp[i][1] 代表第i天的不持有状态下的资金数

由此我们也可以知道，第一天第一笔的持有状态只能是进行买入 即 -prices[0]

                                                   不持有状态只能是0

又因为第二笔的状态根据第一笔的状态转换

所以第二笔的持有状态是第一笔的不持有状态-当前价格 即 0-prices[0]

                                                   不持有状态只能是0

所以初始状态如下

dp[0][0] = -prices[0];
dp[1][0] = -prices[0];

 

3.递推公式

使用伪代码描述

第一笔交易持有股票的最大金额 = max（昨天就持有时的资金数，今天买入后所拥有的资金）

第一笔交易不持有股票的最大金额 = max（昨天就不持有时的资金数，今天刚卖出后所拥有的资金）

第二笔交易持有股票的最大金额 = max（昨天就持有时的资金数，今天买入后所拥有的资金）

第二笔交易不持有股票的最大金额 = max（昨天就不持有时的资金数，今天刚卖出后所拥有的资金）

代码实现

至于为什么不保存第一笔之前的状态了，大致可以理解为，两天合起来才是需要的完整的交易，即第一笔就保存了第二笔之前的数据，第一笔直接交易即可

dp[0][0] = std::max(dp[0][0], 0 - prices[i]);
dp[0][1] = std::max(dp[0][1], prices[i] + dp[0][0]);
dp[1][0] = std::max(dp[1][0], dp[0][1] - prices[i]);
dp[1][1] = std::max(dp[1][1], prices[i] + dp[1][0]);

 4.题解代码  

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2, 0));dp[0][0] = -prices[0];dp[1][0] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {dp[0][0] = std::max(dp[0][0], 0 - prices[i]);dp[0][1] = std::max(dp[0][1], prices[i] + dp[0][0]);dp[1][0] = std::max(dp[1][0], dp[0][1] - prices[i]);dp[1][1] = std::max(dp[1][1], prices[i] + dp[1][0]);}return dp[1][1];}
};

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4、买卖股票的最佳时机 IV

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1： 输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。

示例 2： 输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3] 输出：7 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

• 0 <= k <= 100
• 0 <= prices.length <= 1000
• 0 <= prices[i] <= 1000

分析：

其实这道题与前一道题是相同的题目，只是将交易次数修改为任意次数

只需要与上道题进行相同的模式即可

这里就直接摆出代码：

但需要注意的是，第一笔交易买入时肯定是0 - prices[i]的价值，所以在此处使用多开一层数组，来保持动态的首次为0的概念，即代码中的

dp[j - 1][1] - prices[i]

class Solution {
public:int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(k + 1, vector<int>(2, 0));for (int i = 1; i <= k; ++i) {dp[i][0] = -prices[0];}for (int i = 1; i < n; ++i) {for (int j = 1; j <= k; ++j) {dp[j][0] = std::max(dp[j][0], dp[j - 1][1] - prices[i]);dp[j][1] = std::max(dp[j][1], prices[i] + dp[j][0]);}}return dp[k][1];}
};

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5、最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

• 输入: [1,2,3,0,2]
• 输出: 3
• 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

分析：

这道题与前面的题就不一样了，因为这道题多出了一种状态，即冰冻期的状态

让我们对三种状态进行分析

持有：1.前一天就持有 2.今天刚持有

不持有：1.前一天就不持有 2.今天是冷冻期

冷冻期：今天卖出，进入冷冻期

可能对这个分割会有疑虑，为什么冷冻期的状态不算冷冻期当天，而是算其交易完成的那天

因为我们一直都有在进行转换的判断：

比如：持有的状态，是今天由不持有转向持有

           不持有的状态，是由持有转向不持有

所以冷冻期的概念：是由非冷冻期转向冷冻期

2.初始状态

初始状态不涉及冷冻期，所以初始状态没有变化

3.递推公式

使用伪代码描述

交易持有股票的最大金额 = max（昨天就持有时的资金数，今天买入后所拥有的资金）

交易不持有股票的最大金额 = max（昨天就不持有时的资金数，今天是冷冻期的资金）

冷冻期的最大金额 = 今天卖出后的资金

代码实现

dp[i][0] = std::max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

  

4.题解代码  

注意：交易结束的最大金额，是由两个方面来决定：不持有状态和冷冻期状态

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3, 0));dp[0][0] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][0] = std::max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1]);dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];}return std::max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]);}
};

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6、买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1: 输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2 输出: 8

解释: 能够达到的最大利润: 在此处买入 prices[0] = 1 在此处卖出 prices[3] = 8 在此处买入 prices[4] = 4 在此处卖出 prices[5] = 9 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

• 0 < prices.length <= 50000.
• 0 < prices[i] < 50000.
• 0 <= fee < 50000.

分析：

这个题就很简单了，只是在第二题的基础上加了个交易费而已

就直接放出代码即可：

此处数组的层数改为n，但依旧是之前保存前一天的概念，没有区别

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2, 0));dp[0][0] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);dp[i][0] = std::max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);}return dp[n - 1][1];}
};