算法刷题打卡第95天： 最大平均通过率

最大平均通过率

难度：中等

一所学校里有一些班级，每个班级里有一些学生，现在每个班都会进行一场期末考试。给你一个二维数组 classes ，其中 classes[i] = [passi, totali] ，表示你提前知道了第 i 个班级总共有 totali 个学生，其中只有 passi 个学生可以通过考试。

给你一个整数 extraStudents ，表示额外有 extraStudents 个聪明的学生，他们 一定 能通过任何班级的期末考。你需要给这 extraStudents 个学生每人都安排一个班级，使得 所有 班级的 平均 通过率 最大 。

一个班级的 通过率 等于这个班级通过考试的学生人数除以这个班级的总人数。平均通过率 是所有班级的通过率之和除以班级数目。

请你返回在安排这 extraStudents 个学生去对应班级后的 最大 平均通过率。与标准答案误差范围在 $10^{-5}$ 以内的结果都会视为正确结果。

示例 1：

输入：classes = [[1,2],[3,5],[2,2]], extraStudents = 2
输出：0.78333
解释：你可以将额外的两个学生都安排到第一个班级，平均通过率为 (3/4 + 3/5 + 2/2) / 3 = 0.78333 。

示例 2：

输入：classes = [[2,4],[3,9],[4,5],[2,10]], extraStudents = 4
输出：0.53485

优先队列

思路：

由于班级总数不会变化，因此题目所求「最大化平均通过率」等价于「最大化总通过率」。设某个班级的人数为 $\text{total}$，其中通过考试的人数为 $\text{pass}$，那么给这个班级安排一个额外通过考试的学生，其通过率会增加：

$$\frac{\text{pass}+1}{\text{total}+1}-\frac{\text{pass}}{\text{total}}$$

我们会优先选择通过率增加量最大的班级，这样做的正确性在于给同一个班级不断地增加安排的学生数量时，其增加的通过率是单调递减的，即：

$$\frac{\text{pass}+2}{\text{total}+2}-\frac{\text{pass}+1}{\text{total}+1}<\frac{\text{pass}+1}{\text{total}+1}-\frac{\text{pass}}{\text{total}}$$

因此当以下条件满足时，班级 $j$ 比班级 $i$ 优先级更大：

$$\frac{{\text{pass}}_i+1}{{\text{total}}_i+1}-\frac{{\text{pass}}_i}{{\text{total}}_i}<\frac{{\text{pass}}_j+1}{{\text{total}}_j+1}-\frac{{\text{pass}}_j}{{\text{total}}_j}$$

化简后可得：

$$({\text{total}}_j+1)\times ({\text{total}}_j)\times ({\text{total}}_i-{\text{pass}}_i)<({\text{total}}_i+1)\times ({\text{total}}_i)\times ({\text{total}}_j-{\text{pass}}_j)$$我们按照上述比较规则将每个班级放入优先队列中，进行 $\text{extraStudents}$次操作。每一次操作，我们取出优先队列的堆顶元素，令其 $\text{pass}$和 $\text{total}$分别加 $1$，然后再放回优先队列。

最后我们遍历优先队列的每一个班级，计算其平均通过率即可得到答案。

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O((n+m)\log n)$ 或 $O(n+m\log n)$，其中 $n$ 为 $\text{classes}$的长度，$m$ 等于 $\text{extraStudents}$。每次从优先队列中取出或者放入元素的时间复杂度为 $O(\log n)$，共需操作 $O(n+m)$ 次，故总复杂度为 $O((n+m)\log n)$。堆化写法的时间复杂度为 $O(n+m\log n)$。
• 空间复杂度： $O(n)$ 或 $O(1)$。使用优先队列需要用到 $O(n)$ 的空间，但若直接在 $\text{classes}$上原地堆化，则可以做到 $O(1)$ 额外空间。

import heapq
class Solution:def maxAverageRatio(self, classes: List[List[int]], extraStudents: int) -> float:def increasing_rate(a, b):return (a+1)/(b+1)-a/blis = []for i in classes:heapq.heappush(lis, (-increasing_rate(i[0], i[1]), i))for i in range(extraStudents):now = heapq.heappop(lis)[1]heapq.heappush(lis, (-increasing_rate(now[0]+1, now[1]+1), [now[0]+1, now[1]+1]))return sum([i[1][0]/i[1][1] for i in lis]) / len(lis)

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-average-pass-ratio