SVM详解

 公式太多了，就用图片用笔记呈现，SVM虽然算法本质一目了然，但其中用到的数学推导还是挺多的，其中拉格朗日约束关于α>0这块证明我看了很长时间，到底是因为悟性不够。对偶问题也是，用了一个简单的例子才明白，事实上，从简单的例子进行来理解更复杂的东西确实很舒服。核函数这块主要是正定核函数的证明需要看一下，K(x.z)=I(x)*I(z)，先升维再求点积=先点积再升维。最后SMO，经典中的经典，看的我头疼，最主要的就是公式的推导。

 

 代码：

'''
原理解释：
支持向量为距离超平面最近的一个向量
而我们要寻找的是支持向量到超平面的最大距离
超平面可定义为W^T x +b=0 （参照二维直线方程ax+by+c=0）
二维空间点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离公式是：
|Ax+By+C|/(A^2+B^2)^(1/2)
扩展到n维空间后，点x=(x1,x2,x3,,,xn)到直线W^T x+b=0的距离为：
|W^T x+b|/||w||
其中||W||=(w1^2+...wn^2)^(1/2)
因为支持向量到超平面的距离是d，也是样本点到超平面的最短距离
所以 
（W^T x+b）/||W||>=d,y=1
（W^T X+b）/||W||<=-d,y=-1
稍作转换可以得到：
（W^T x+b）/（||W||*d）>=1,y=1
（W^T X+b）/(||W||*d)<=-1,y=-1'''
from __future__ import print_function
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
class optStruct:'''建立的数据结构来保存所有的重要值'''def __init__(self,dataMatIn,classLabels,C,toler,kTup):'''Args:dataMatIn 数据集classLabels 类别标签C   松弛变量（常量值），允许有些数据点可以处于分割面的错误一侧控制最大化间隔和保证大部分的函数间隔小于1.0这两个目标的权重可以通过调节该参数达到不同的结果toler 容错率kTup  包含核函数信息的元组'''self.X=dataMatInself.labelMat=classLabelsself.C=Cself.tol=toler#数据的行数self.m=shape(dataMatIn)[0]self.alphas=mat(zeros((self.m,1)))self.b=0#误差缓存，第一列给出的是eCache是否有效的标志位，第二列给出的是实际的E值self.eCache=mat(zeros((self.m,2)))#m行m列的矩阵#m行m列的矩阵self.K=mat(zeros((self.m,self.m)))for i in range(self.m):self.K[:,i]=kernelTrans(self.X,self.X[i,:],kTup)

    def kernelTrans(X,A,kTup):# calc the kernel or transform data to a higher dimensional space"""核转换函数Args:X     dataMatIn数据集A     dataMatIn数据集的第i行的数据kTup  核函数的信息Returns:"""m,n=shape(X)K=mat(zeros((m,1)))if kTup[0]=='lin':#linear kernel: m*n  *  n*1=m*1K=X*A.Telif kTup[0]=='rbf':for j in range(m):deltaRow=X[j,:]-AK[j]=deltaRow*deltaRow.T#径向基函数的高斯版本K=exp(K/(-1*kTup[1]**2))#divide in numpy is element-wise not matrix like matlabelse:raise NameError('Houston We Have a Problem -- That Kernel is not recognized')return Kdef loadDataSet(fileName):'''loadDataSet(对文件进行逐行解析，从而得到第n行的类标签和整个数据矩阵)Args:fileName 文件名Returns:dataMat 数据矩阵labelMat 类标签'''dataMat = []labelMat=[]fr=open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr=line.strip().split('\t')dataMat.append([float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])labelMat.append(float(lineArr[2]))return dataMat,labelMatdef calcEk(oS,k):'''calcEk(求Ek误差：预测值-真实值的差)该过程在完整版的SMO算法中出现的次数较多，因此将其单独作为一个方法Args:oS optStruct对象k  具体的某一行Returns:Ek 预测结果与真实结果比对，计算误差Ek'''fXk=float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k]+oS.b)  #E=apha*y*k+b-g(x)Ek=fXk-float(oS.labelMat[k])return Ekdef selectJrand(i,m):'''随机选择一个整数Args:i 第一个alpha的下标m 所有alpha的数目Returns:j 返回一个不为i的随机数，在0~m之间的整数值'''j=iwhile j==i:j=int(random.uniform(0,m))return jdef selectJ(i,oS,Ei):  #this is the second choice -heurstic,and calcs Ej'''内循环的启发式方法选择第二个（内循环）alpha的alpha值这里的目标是选择合适的第二个alpha值以保证每次优化中采用的最大步长该函数的误差与第一个alpha值Ei和下标i有关Args:i 具体的第一行oS optStruct对象Ei 预测结果与真实性结果比对，计算误差EiReturns:j 随机选出的第j一行Ej 预测结果与真实结果比对，计算误差Ej'''maxK=-1maxDeltaE=0Ej=0#首先将输入值Ei在缓存中设置成为有效的，这里的有效意味着它已经计算好了oS.eCache[i]=[1,Ei]# print ('oS.ecache[%s]=%s' %(i,oS.eCache[i]))#print ('oS.eCache[:,0].A=%s'%oS.eCache[:,0].A.T)###返回非0的：行列值# nonzero(oS.eCache[:,0].A)=(#     行:  array([ 0,  2,  4,  5,  8, 10, 17, 18, 20, 21, 23, 25, 26, 29, 30, 39, 46,52, 54, 55, 62, 69, 70, 76, 79, 82, 94, 97]), #     列:  array([0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0])#)# print('nonzero(oS.eCache[:,0].A)=',nonzero(oS.eCache[:,0].A))# # 取行的list# print('nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]=',nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0])# 非零E值的行的list列表，所对应的alpha值validEcacheList=nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]if(len(validEcacheList))>1:for k in validEcacheList: #在所有的值上进行循环，并选择其中使得改变最大的那个值if k==i:continue #don't calc for i,waste of time#求Ek误差： 预测值-真实值的差Ek=calcEk(oS,k)deltaE=abs(Ei-Ek)if(deltaE>maxDeltaE):#选择具有最大步长的jmaxK=kmaxDeltaE=deltaEEj=Ekreturn maxK,Ejelse: #如果是第一次循环，则随机选择一个alpha值j=selectJrand(i,oS.m)#求Ek误差：预测值-真实值的差Ej=calcEk(oS,j)return j,Ejdef updateEk(oS,k):"""updateEk（计算误差值并存入缓存中。）在对alpha值进行优化之后会用到这个值。Args:oS  optStruct对象k   某一列的行号"""# 求 误差: 预测值-真实值的差    Ek=calcEk(oS,k)oS.eCache[k]=[1,Ek]def clipAlpha(aj,H,L):'''clipAlpha(调整aj的值，使aj处于 L<=aj<=H)Args:aj  目标值H   最大值L   最小值Returns:aj  目标值'''if aj>H:aj=Hif L>aj:aj=Lreturn ajdef innerL(i,oS):'''innerL内循环代码Args:i   具体的某一行oS  optStruct对象Returns:0   找不到最优的值1   找到了最优的值，并且oS.Cache到缓存中'''# 求Ek误差：预测值-真实值的差Ei=calcEk(oS,i)# 约束条件（KKT条件是解决最优化问题时用到的一种方法。我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值）# 0<=alphas[i]<=C,但由于0和C是边界值，我们无法进行优化，因为需要增加一个alphas和降低一个alphas# 表示发生错误的概率：labelMat[i]*Ei 如果超出了toler，才需要优化，至于正负号，我们考虑绝对值就对了'''# 检验训练样本(xi, yi)是否满足KKT条件yi*f(i) >= 1 and alpha = 0 (outside the boundary)yi*f(i) == 1 and 0<alpha< C (on the boundary)yi*f(i) <= 1 and alpha = C (between the boundary)'''if((oS.labelMat[i]*Ei<-oS.tol)and (oS.alphas[i]<oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei>oS.tol) and (oS.alphas[i]>0)):#选择最大的误差对应的j进行优化，效果更明显j,Ej=selectJ(i,oS,Ei)alphaIold=oS.alphas[i].copy()alphaJold=oS.alphas[j].copy()#L和H用于将alphas[j]调整到0-C之间，如果L==H，就不做任何改变，直接return 0if(oS.labelMat[i]!=oS.labelMat[j]):L=max(0,oS.alphas[j]-oS.alphas[i])H=min(oS.C,oS.C+oS.alphas[j]-oS.alphas[i])else:L=max(0,oS.alphas[i]+oS.alphas[j]-oS.C)H=min(oS.C,oS.alphas[j]+oS.alphas[i])if L==H:# print("L==H")return 0# eta是alphas[j]的最优修改量，如果eta==0，需要退出for循环的当前迭代过程#参考《统计学习方法》李航-P125~P128<序列最小最优化算法>eta=2.0*oS.K[i,j]-oS.K[i,i]-oS.K[j,j] #changed for kernelif eta>=0:print("eta>=0")return 0#计算出一个新的alphas[j]值oS.alphas[j]-=oS.labelMat[j]*(Ei-Ej)/eta#并使用辅助函数，以及L和H对其进行调整oS.alphas[j]=clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)#更新误差缓存updateEk(oS,j)# 检查alpha[j]是否只是轻微的改变，如果是的话，就退出for循环if(abs(oS.alphas[j]-alphaJold)<0.00001):# print("j not moving enough")return 0#然后alphas[i]和alphas[j]同样进行改变，虽然改变的大小不一样，但是改变的方向正好相反oS.alphas[i]+=oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold-oS.alphas[j])#更新误差缓存updateEk(oS,i)# 在对alpha[i]，alpha[j] 进行优化之后，给这两个alpha值设置一个常数b# w= Σ[1~n] ai*yi*xi => b = yi- Σ[1~n] ai*yi(xi*xj)# 所以：b1-b=(y1-y)- Σ[1~n] yi*(a1-a)*(xi*x1)# 为什么减2遍？因为是减去Σ[1~n]，正好2个变量i和j，所以减2遍b1=oS.b-Ei-oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i]-oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]b2=oS.b-Ej-oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]-oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]if(0<oS.alphas[i])and (oS.C>oS.alphas[i]):oS.b=b1elif (0<oS.alphas[j])and (oS.C>oS.alphas[j]):oS.b=b2else:oS.b=(b1+b2)/2.0return 1else:return 0def smoP(dataMatIn,classLabels,C,toler,maxIter,kTup=('lin',0)):'''完整SMO算法外循环，与smoSimple有些类似，但这里的循环退出条件更多一些Args:dataMatIn    数据集classLabels  类别标签C   松弛变量(常量值)，允许有些数据点可以处于分隔面的错误一侧。控制最大化间隔和保证大部分的函数间隔小于1.0这两个目标的权重。可以通过调节该参数达到不同的结果。toler   容错率maxIter 退出前最大的循环次数kTup    包含核函数信息的元组Returns:b       模型的常量值alphas  拉格朗日乘子'''# 创建一个optStruct 对象oS=optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler,kTup)iter=0entireSet=TruealphaPairsChanged=0# 循环遍历：循环maxIter次 并且（alphaPairsChanged存在可以改变 or所有行遍历一遍）while(iter<maxIter) and ((alphaPairsChanged>0)or (entireSet)):alphaPairsChanged=0# 当entireSet=true or 非边界alpha对没有了：就开始寻找alpha对，然后决定是否要进行else。if entireSet:# 在数据集上遍历所有可能的alphafor i in range(oS.m):#是否存在alpha对，存在就+1alphaPairsChanged+=innerL(i,oS)# print("fullSet,iter: %d i:%d,pairs changed %d" %(iter,i,clphaPairsChanged))iter+=1#对已存在alpha对，选出非边界的alpha值，进行优化else:#遍历所有的非边界alpha值，也就是不在边界0或C上的值nonBoundIs=nonzero((oS.alphas.A>0)*(oS.alphas.A<C))[0]for i in nonBoundIs:alphaPairsChanged+=innerL(i,oS)# print("non-bound,iter:%d i:%d,pairs changed %d"%(iter,i,alphaPairsChanged))iter+=1# 如果找到alpha对，就优化非边界alpha值，否则，就重新进行寻找，如果寻找一遍 遍历所有的行还是没找到，就退出循环if entireSet:entireSet=False #toggle entire set loopelif(alphaPairsChanged==0):entireSet=Trueprint("iteration number: %d" % iter)return oS.b,oS.alphasdef calcWs(alphas,dataArr,classLabels):'''基于alpha计算w值Args:alphas        拉格朗日乘子dataArr       feature数据集classLabels   目标变量数据集Returns:wc  回归系数'''X=mat(dataArr)labelMat=mat(classLabels).transpose()m,n=shape(X)w=zeros((n,1))for i in range(m):w+=multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)return wdef testRbf(k1=1.3):dataArr,labelArr=loadDataSet('6.SVM/testSetRBF.txt')b,alphas=smoP(dataArr,labelArr,200,0.0001,10000,('rbf',k1))#C=200 importantdatMat=mat(dataArr)labelMat=mat(labelArr).transpose()svInd=nonzero(alphas.A>0)[0]sVs=datMat[svInd] # get matrix of only support vectorslabelSV=labelMat[svInd]print("there are %d Support Vectors"% shape(sVs)[0])m,n=shape(datMat)errorCount=0for i in range(m):kernelEval=kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf',k1))# 和这个svm-simple类似： fxi=float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T))+bpredict=kernelEval.T*multiply(labelSV,alphas[svInd])+bif sign(predict)!=sign(labelArr[i]):errorCount+=1print("the training error rate is : %f" %(float(errorCount)/m))dataArr,labelArr=loadDataSet('6.SVM/testSetRBF2.txt')errorCount=0datMat=mat(dataArr)labelMat=mat(labelArr).transpose()m,n=shape(datMat)for i in range(m):kernelEval=kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf',k1))predict=kernelEval.T*multiply(labelSV,alphas[svInd])+b   #w=Σalpha*y*x     y=w*x+bif sign(predict)!=sign(labelArr[i]):errorCount+=1print("the test error rate is : %f"%(float(errorCount)/m))ws=calcWs(alphas,dataArr,labelArr)plotfig_SVM(dataArr,labelArr,ws,b,alphas)def img2vector(filename):returnVect=zeros((1,1024))fr=open(filename)for i in range(32):lineStr=fr.readline()for j in range(32):returnVect[0,32*i+j]=int(lineStr[j])return returnVectdef loadImages(dirName):from os import listdirhwLabels=[]print(dirName)trainingFileList=listdir(dirName)#load the training setm=len(trainingFileList)trainingMat=zeros((m,1024))for i in range(m):fileNameStr=trainingFileList[i]fileStr=fileNameStr.split('.')[0]classNumber=int(fileStr.split('_')[0])if classNumber==9:hwLabels.append(-1)else:hwLabels.append(1)trainingMat[i, :] = img2vector('%s/%s' % (dirName, fileNameStr))return trainingMat, hwLabelsdef testDigits(kTup=('rbf',10)):#1.导入训练数据dataArr,labelArr=loadImages('6.SVM/trainingDigits')b, alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, kTup)datMat=mat(dataArr)labelMat=mat(labelArr).transpose()svInd=nonzero(alphas.A>0)[0]sVs=datMat[svInd]labelSV=labelMat[svInd]# print("there are %d Support Vectors"% shape(sVs)[0])m,n=shape(datMat)errorCount=0for i in range(m):kernelEval = kernelTrans(sVs, datMat[i, :], kTup)# 1*m * m*1 = 1*1 单个预测结果predict = kernelEval.T * multiply(labelSV, alphas[svInd]) + bif sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1print("the training error rate is: %f" % (float(errorCount) / m))# 2. 导入测试数据dataArr, labelArr = loadImages('6.SVM/testDigits')errorCount = 0datMat = mat(dataArr)labelMat = mat(labelArr).transpose()m, n = shape(datMat)for i in range(m):kernelEval = kernelTrans(sVs, datMat[i, :], kTup)predict = kernelEval.T * multiply(labelSV, alphas[svInd]) + bif sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1print("the test error rate is: %f" % (float(errorCount) / m)) ws=calcWs(alphas,dataArr,labelArr)plotfig_SVM(dataArr,labelArr,ws,b,alphas)def plotfig_SVM(xArr,yArr,ws,b,alphas):'''参考地址: http://blog.csdn.net/maoersong/article/details/24315633http://www.cnblogs.com/JustForCS/p/5283489.htmlhttp://blog.csdn.net/kkxgx/article/details/6951959'''xMat=mat(xArr)yMat=mat(yArr)# b 原来是矩阵，先转为数组类型后其数组大小为（1，1），所以后面加【0】，变为（1，）b=array(b)[0]fig=plt.figure()ax=fig.add_subplot(111)#注意flatten的用法ax.scatter(xMat[:,0].flatten().A[0],xMat[:,1].flatten().A[0])#x最大值，最小值根据原数据集dataArr[:0]的大小而定x=arange(-1.0,10.0,0.1)#根据x.w+b=0 得到，其式子展开为w0.x1+w1.x2+b=0,x2就是y值y=(-b-ws[0,0]*x)/ws[1,0]ax.plot(x,y)for i in range(shape(yMat[0, :])[1]):if yMat[0, i] > 0:ax.plot(xMat[i, 0], xMat[i, 1], 'cx')else:ax.plot(xMat[i, 0], xMat[i, 1], 'kp')# 找到支持向量，并在图中标红for i in range(100):if alphas[i] > 0.0:ax.plot(xMat[i, 0], xMat[i, 1], 'ro')plt.show()

#无核函数测试
#获取特征和目标变量
dataArr,labelArr=loadDataSet('6.SVM/testSet.txt')
#print labelArr#b是常量值，alphas是拉格朗日乘子
b,alphas=smoP(dataArr,labelArr,0.6,0.001,40)
print('/n/n/n')
print('b=',b)
print('alphas[alphas>0]=',alphas[alphas>0])
print('shape(alphas[alphas>0])=',shape(alphas[alphas>0]))
for i in range(100):if alphas[i]>0:print(dataArr[i],labelArr[i])
#画图
ws=calcWs(alphas,dataArr,labelArr)
plotfig_SVM(dataArr,labelArr,ws,b,alphas)#有核函数测试
testRbf(0.8)#项目实战
#手写数字识别
testDigits(('rbf', 0.2))

#sklearn库的运用
from __future__ import print_function
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import svmprint(__doc__)# 创建40个分离点
np.random.seed(0)
#X=np.r_[np.random.randn(20,2)-[2,2],np.random.randn(20,2)+[2,2]]
#Y=[0]*20+[1]*20def loadDataSet(fileName):'''对文件进行逐行解析，从而得到第n行的类标签和整个数据矩阵Args:fileName 文件名Returns:dataMat  数据矩阵labelMat 类标签'''dataMat=[]labelMat=[]fr=open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr=line.strip().split('\t')dataMat.append([float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])labelMat.append(float(lineArr[2]))return dataMat,labelMatX,Y=loadDataSet('6.SVM/testSet.txt')
X=np.mat(X)print("X=",X)
print("Y=",Y)#拟合一个SVM模型
clf=svm.SVC(kernel='linear')
clf.fit(X,Y)#获取分割超平面
w=clf.coef_[0]
#斜率
a=-w[0]/w[1]
# 从-5倒5，顺序间隔采样50个样本，默认是num=50
# xx=np.linspace(-5,5) # ,num=50)
xx=np.linspace(-2,10) # ,num=50)
#二维的直线方程
yy=a*xx-(clf.intercept_[0])/w[1]
print("yy=",yy)# plot the parallels to the separating hyperplane that pass through the support vectors
# 通过支持向量绘制分割超平面
print("support_vectors_=",clf.support_vectors_)
b=clf.support_vectors_[0]
yy_down=a*xx+(b[1]-a*b[0])
b=clf.support_vectors_[-1]
yy_up=a*xx+(b[1]-a*b[0])# plot the line, the points, and the nearest vectors to the plane
plt.plot(xx,yy,'k-')
plt.plot(xx,yy_down,'k--')
plt.plot(xx,yy_up,'k--')plt.scatter(clf.support_vectors_[:,0],clf.support_vectors_[:,1],s=80,facecolors='none')
plt.scatter([X[:, 0]], [X[:, 1]])plt.axis('tight')
plt.show()

 

以上为jupyter实现