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abstract

• 坐标@函数@图象的对称和翻折变换

翻折变换

关于坐标轴翻折

• 此处我们通过研究图象上的点来间接图象变换,设图象的方程为$y=f(x)$,$f(x)$的定义域为$D_f$

$f(-x),f(x)$

• 函数$f(-x)$可以看作是函数$u=-x$和$y=f(u)$复合而成的函数
  • $x\in D_u=\mathbb{R}$
• 设函数$f(x)$的定义域为$D_f$,对于$g(x)=f(-x)$,$-x\in D_f$,即$x\in -D_f$或作$D_g=-D_f$(表示$f,g$的定义域关于原点对称)
• 若$a\in D_f$,在$x=a$处,可以取函数$f(x)$上的点$A(a,f(a))$;
• $-a\in D_g$,$g(x)$上一定存在点$B(-a,f(a))$;
• 显然$A,B$关于$y$轴对称,对定义域内所有$x$对应的点$(x,f(x))$和$(x,f(-x))$关于y轴对称
• 从而$f(x),g(x)$关于$y$轴对称,即$f(x),f(-x)$关于$y$轴对称
• 例如:
  • $f(x)=\sin (x)$,则$f(-x)=\sin (-x)=-\sin x$和$f(x)=\sin (x)$关于$y$轴对称
  • 对于$f(x)=\cos x$,$f(-x)=\cos (-x)$=$\cos x$,$f(-x),f(x)$关于$y$轴对称,即函数$\cos x$自身关于$y$轴对称

$-f(x),f(x)$

• 和上面的分析类似,取点分析:若函数$f(x)$,上存在$A(a,f(a))$,则函数$-f(x)$上一定相应地存在$B(a,-f(a))$
• 显然两点关于$x$轴对称,而$x$是定义域内的任意点,故而$-f(x)$和$f(x)$关于$x$轴对称

偶函数@奇函数

• 偶函数:若函数$f(x)$的定义域关于原点对称且满足$f(-x)=f(x)$,则函数$f(x)$是偶函数,显然$f(x)$关于$y$轴对称
  • 若$f(-x)=f(x)$,那么$f(-x),f(x)$关于$y$轴对称就变成了$f(x),f(x)$关于$y$轴对称($f(x)$和$f(-x)$重合),即$f(x)$关于$y$轴对称
• 奇函数:若函数$f(x)$的定义域关于原点对称且满足$f(-x)=-f(x)$,则函数$f(x)$是奇函数,显然$f(x)$关于坐标原点对称
  • 可以$f(x)$关于原点对称的图形理解为两部分:$f(x)$关于$y$轴对称的图形和$f(x)$关于$x$轴对称的图形如果重合,那么$f(x)$就是关于原点对称的奇函数

小结

• The graph of $f(-x)$ is the mirror image of the graph of $f(x)$ with respect to the vertical axis.
• The graph of $-f(x)$ is the mirror image of the graph of $f(x)$ with respect to the horizontal axis.
• A function is called even if $f(-x)=f(x)$ for all $x$ (For example, $\cos (x)$).
• A function is called odd if $f(-x)=-f(x)$ for all $x$ (For example, $\sin (x)$).

其他翻折变换

关于$y=\pm x$对称的直角坐标

• $A(x,y)$关于$y=x$的对称点坐标$B(y,x)$
• $A(x,y)$关于$y-x$的对称点坐标$B(-y,-x)$

$关于x=u对称$的函数

• 若$f(x)$关于$x=u$对称:

  • $f(x)$的定义域关于$x=u$对称

• 若$x_1,x_2$关于$u$对称,则$x_1+x_2=2u$,反之亦然

  • 设$A(a,f(a))$是$f(x)$上的点,则$A$关于对称轴$x=u$的对称点$B(2u-a,f(a))$也必然在$f(x)$上
  • 从而$f(2u-a)$=$f(a)$
  • 由于$a$是定义域内的任意点,所以$f(2u-x)=f(x)$
  • 即,满足:
    • 定义域关于$x=u$对称
    • $f(2u-x)$=$f(x)$
  • 的函数是关于$x=u$对称的函数

• 例如$y(x)=(x-1{)}^2$;$y(2-x)=((2-x)-1{)}^2=(1-x{)}^2=(x-1{)}^2$,即$y(x)=y(2-x)$,对称轴为$u=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

  • 特别的,偶函数关于$x=0$对称,$f(x)=f(-x)$,对称轴$x=u=0$,因为$x+(-x)=2u=0;u=0$

关于$y=v$对称的两个函数

• 若$f_1(x),f_2(x)$在定义域内满足$f_1(x)+f_2(x)=2v$,则$f_1(x),f_2(x)$关于$y=v$对称