buu [BJDCTF2020]easyrsa 1

题目描述 ：

from Crypto.Util.number import getPrime,bytes_to_long
from sympy import Derivative
from fractions import Fraction
from secret import flagp=getPrime(1024)
q=getPrime(1024)
e=65537
n=p*q
z=Fraction(1,Derivative(arctan(p),p))-Fraction(1,Derivative(arth(q),q))
m=bytes_to_long(flag)
c=pow(m,e,n)
print(c,z,n)
'''
output:
c = 7922547866857761459807491502654216283012776177789511549350672958101810281348402284098310147796549430689253803510994877420135537268549410652654479620858691324110367182025648788407041599943091386227543182157746202947099572389676084392706406084307657000104665696654409155006313203957292885743791715198781974205578654792123191584957665293208390453748369182333152809882312453359706147808198922916762773721726681588977103877454119043744889164529383188077499194932909643918696646876907327364751380953182517883134591810800848971719184808713694342985458103006676013451912221080252735948993692674899399826084848622145815461035
z = 32115748677623209667471622872185275070257924766015020072805267359839059393284316595882933372289732127274076434587519333300142473010344694803885168557548801202495933226215437763329280242113556524498457559562872900811602056944423967403777623306961880757613246328729616643032628964072931272085866928045973799374711846825157781056965164178505232524245809179235607571567174228822561697888645968559343608375331988097157145264357626738141646556353500994924115875748198318036296898604097000938272195903056733565880150540275369239637793975923329598716003350308259321436752579291000355560431542229699759955141152914708362494482
n = 15310745161336895413406690009324766200789179248896951942047235448901612351128459309145825547569298479821101249094161867207686537607047447968708758990950136380924747359052570549594098569970632854351825950729752563502284849263730127586382522703959893392329333760927637353052250274195821469023401443841395096410231843592101426591882573405934188675124326997277775238287928403743324297705151732524641213516306585297722190780088180705070359469719869343939106529204798285957516860774384001892777525916167743272419958572055332232056095979448155082465977781482598371994798871917514767508394730447974770329967681767625495394441
'''

题目分析：

• 首先这里遇到了两个没见过的函数 ----> Fraction() 和 Derivative()

Fraction(a,b) 相当于 a / b (a 除 b)

Derivative(a,b),前一个参数表示求导的内容，后一个参数表示求导的主体

Derivative(arctan § ,p)的意思是以p为主体对 arctan§ 求导，得到1/（1 + p^2），同理Derivative(arth(q),q) 得到 1/（1 - q^2）

最后

Fraction(1,Derivative(arctan§,p)) = 1 + p^2，Fraction(1,Derivative(arth(q),q) = 1 - q^2

• 得到关系式： z = p^2 +q^2，又 n = p * q，进一步得到关系式 ：

(p + q) ^ 2 = z + 2n
(p - q) ^ 2 = z - 2n

用代码解出p,q

import gmpy2
from  Crypto.Util.number import *e = 65537
n = 15310745161336895413406690009324766200789179248896951942047235448901612351128459309145825547569298479821101249094161867207686537607047447968708758990950136380924747359052570549594098569970632854351825950729752563502284849263730127586382522703959893392329333760927637353052250274195821469023401443841395096410231843592101426591882573405934188675124326997277775238287928403743324297705151732524641213516306585297722190780088180705070359469719869343939106529204798285957516860774384001892777525916167743272419958572055332232056095979448155082465977781482598371994798871917514767508394730447974770329967681767625495394441
c = 7922547866857761459807491502654216283012776177789511549350672958101810281348402284098310147796549430689253803510994877420135537268549410652654479620858691324110367182025648788407041599943091386227543182157746202947099572389676084392706406084307657000104665696654409155006313203957292885743791715198781974205578654792123191584957665293208390453748369182333152809882312453359706147808198922916762773721726681588977103877454119043744889164529383188077499194932909643918696646876907327364751380953182517883134591810800848971719184808713694342985458103006676013451912221080252735948993692674899399826084848622145815461035
z = 32115748677623209667471622872185275070257924766015020072805267359839059393284316595882933372289732127274076434587519333300142473010344694803885168557548801202495933226215437763329280242113556524498457559562872900811602056944423967403777623306961880757613246328729616643032628964072931272085866928045973799374711846825157781056965164178505232524245809179235607571567174228822561697888645968559343608375331988097157145264357626738141646556353500994924115875748198318036296898604097000938272195903056733565880150540275369239637793975923329598716003350308259321436752579291000355560431542229699759955141152914708362494482p = (gmpy2.iroot(z-2*n,2)[0] + gmpy2.iroot(z+2*n,2)[0]) // 2
q = n // p 
phi_n = (p-1)*(q-1)
d = gmpy2.invert(e,phi_n)
m = gmpy2.powmod(c,d,n)
print(long_to_bytes(m))

• 得到flag{Advanced_mathematics_is_too_hard!!!}

此题还可以直接用在线网站分解n ,得到p,q,特别简单且快速，比较暴力。但，我喜欢！

收获与体会：

• 又了解了两个新函数：

Fraction(a,b) 相当于 a / b (a 除 b)

Derivative(a,b),前一个参数表示求导的内容，后一个参数表示求导的主体

• 对于有n的，多尝试能否暴力分解得p,q