算法通关村第十八关-青铜挑战回溯是怎么回事

大家好我是苏麟 , 今天聊聊回溯是怎么个事 .

回溯是最重要的算法思想之一，主要解决一些暴力枚举也搞不定的问题，例如组合、分割、子集、排列，棋盘等。从性能角度来看回溯算法的效率并不高，但对于这些暴力都搞不定的算法能出结果就很好了，效率低点没关系

我们利用LeetCode 77 组合题来了解回溯 . 77.组合

回溯可以视为递归的拓展，很多思想和解法都与递归密切相关，在很多材料中都将回溯都与递归同时解释。因此学习回溯时，我们对比递归来分析其特征会理解更深刻。

• 递归策略: 先与意中人制造偶遇，然后了解人家的情况，然后约人家吃饭，有好感之后尝试拉人家的手，没有拒绝就表白。
• 回溯策略: 先统计周围所有的单身女孩，然后一个一个表白，被拒绝就说“我喝醉了”，然后就当啥也没发生，继续找下一个

回溯最大的好处是有非常明确的模板，所有的回溯都是一个大框架，因此透彻理解回溯的框架是解决一切回溯问题的基础

回溯不是万能的，而且能解决的问题也是非常明确的，例如组合、分割、子集、排列，棋盘等等，不过这些问题具体处理时又有很多不同

回溯模板 :
void huisu(参数){if(){return;}for(){处理......huisu();......}
}

从N叉树开始

在解释回溯之前，我们先看一下N叉树遍历的问题，我们知道在二又树中，按照前序遍历的过程如下所示 :

public class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;}public void nodeVal(TreeNode node){if(node == null){return;}System.out.println(node.val);nodeVal(node.left,list);nodeVal(node.right,list);}
}

假如我现在是一个三叉、四叉甚至N叉树该怎么办呢? 很显然这时候就不能用 left 和 right 来表示分支了，使用一个List比较好，也就是这样子 :

N 叉树的定义 :

class TreeNode{int val;List<TreeNode> nodes;
}

遍历的代码 :

public void nodeVal(TreeNode node){if(node == null){return;}System.out.println(node.val);for(int i = 1;i <= nodes.length;i++){nodeVal(第i个节点);}}
}

到这里，你有没有发现和上面说的回溯的模板非常像了? 是的!非常像!既然很像，那说明两者一定存在某种关系。其他暂时不管，现在你只要先明白回溯的大框架就是遍历N又树就行了。

为什么有的问题暴力搜索也不行

我们说回湖主要解决暴力枚举也解决不了的问题，什么问题这么神奇，暴力都搞不定?

LeetCode77: 给定两个整数 n 和 k，返回1…n 中所有可能的 k 个数的组合。
例如，输入n=4k=2，则输出 : [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]

首先明确这个题是什么意思，如果n=4，k=2，那就是从4个数中选择2个，问你最后能选出多少组数据。这个是高中数学中的一个内容，过程大致这样: 如果n=4，那就是所有的数字为{1,2,3,4)

• 1.先取一个1，则有[1,2]，[1,3]，[1,4]三种可能
• 2.然后取一个因为1已经取过了，不再取，则有[2,3]，[2,4]两种可能
• 3.再取一个3，因为1和2都取过了，不再取，则有[3,4]一种可能
• 4.再取4，因为1，2，3都已经取过了，所以直接返回null
• 5.所以最终结果就是[1,2]，[1,3]，[1,4]，[2,3]，[2,4]，[3,4]

这就是我们思考该问题的基本过程，写成代码也很容易，双层循环轻松搞定

int n = 4;        for (int i = 1; i <= n; i++) {  for (int j = i + 1; j <= n; j++) {                System.out.println(i + " " + j);             }         
}

假如n和k都变大，比如n是200，k是3呢? 也可以，三层循环基本搞定

int n = 200;   
for (int i = 1; i <= n; i++) {        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {             for (int u = j + 1; u <= n; n++) {                System.out.println(i + " " + j + " " + u);         }    }
}

如何这里的K是5呢? 甚至是50呢? 你需要套多少层循环? 甚至告你K就是一个末知的正整数k，你怎么写循环呢?这时候已经无能为例了? 所以暴力搜索就不行了。

这就是组合类型问题，除此之外子集、排列、切割、棋盘等方面都有类似的问题，因此我们要找更好的方式。

回溯 = 枚举 + 递归 + 撤销

我们继续研究LeetCode77题，我们图示一下上面自己枚举所有答案的过程。

n=4时，我们可以选择的n有 1,2,3,4这四种情况，所以我们从第一层到第二层的分支有四个，分别表示可以取1，2，3，4。而且这里 从左向右取数，取过的数，不在重复取。第一次取1，集合变为2，3，4，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3][1,4]，以此类推横向:

每次从集合中选取元素，可选择的范围会逐步收缩，到了取4时就直接为空了

继续观察树结构，可以发现，图中每次访问到一次叶子节点(图中红框标记处)，我们就找到了一个结果。虽然最后一个是空，但是不影响结果。这相当于只需要把从根节点开始每次选择的内容(分支)达到叶子节点时，将其收集起来就是想要的结果。

如果感觉不明显，我们再画一个n=5，k=3的例子:

从图中我们发现元素个数n相当于树的宽度(横向)，而每个结果的元素个数k相当于树的深度(纵向)。所以我们说回溯算法就是一纵一横而已。再分析，我们还发现几个规律:

• 我们每次选择都是从类似{1,2,3,4)，1,2,3,4,5这样的序列中一个个选的，这就是局部枚举，而且越往后枚举范围越小。
• 枚举时，我们就是简单的暴力测试而已，一个个验证，能否满足要求，从上图可以看到，这就是N叉树遍历的过程，因此两者代码也必然很像。
• 我们再看上图中红色大框起来的部分，这个部分的执行过程与n=4，k=2的处理过程完全一致，很明显这是个可以递归的子结构。

这样我们就将回溯与N叉树的完美结合在一起了

到此，还有一个大问题没有解决，回溯一般会有个手动撤销的操作，为什么要这样呢? 继续观察纵横图:

我们可以看到，我们收集每个结果不是针对叶子结点的，而是针对树枝的，比如最上层我们首先选了1，下层如果选2，结果就是(1,2)，如果下层选了3，结果就是(1,3)，依次类推。现在的问题是当我们得到第一个结果{1,2)之后，怎么得到第二个结果(1,3}呢?

继续观察纵横图，可以看到，我可以在得到(1,2)之后将2撤掉，再继续取3，这样就得到了(1,3}，同理可以得到{1,4}，之后当前层就没有了，我们可以将1撤销，继续从最上层取2继续进行。

这里对应的代码操作就是先将第一个结果放在临时列表 deque 里，得到第一个结果(1,2)之后就将path里的内容放进结果列表 list 中，之后，将 deque 里的2撤销掉，继续寻找下一个结果{1.3},然后继续将 deque 放入list，然后再撤销继续找。

这几条就是回溯的基本规律，明白之后，一切都变得豁然开朗。

到此我们就可以写出完整的回溯代码了 :

class Solution {public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {List<List<Integer>> list = new ArrayList<>();if(n <= 0 || n < k){return list;}Deque<Integer> deque = new ArrayDeque<>();dfs(n,k,1,list,deque);return list;}//dfs 深度优先搜索的意思public void dfs (int n,int k,int start,List<List<Integer>> list,Deque<Integer> deque){if(deque.size() == k){list.add(new ArrayList<>(deque));return;}for(int i = start;i <= n;i++){deque.addLast(i);dfs(n,k,i + 1,list,deque);deque.removeLast();}}
}

上面代码还有个问题要解释一下: start 和 i 是怎么变化的，为什么传给下一层时要加 1.我们可以看到在递归里有个循环

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {     dfs(n,k,i+1,path,res);  
}

这里的循环有什么作用呢? 看一下图就知道了，这里其实就是枚举，第一次n=4，可以选择1，2，3，4四种情况，所以就有四个分支，for循环就会执行四次:

而对于第二层第一个，选择了1之后，剩下的元素只有2，3，4了，所以这时候for循环就执行3次，后面的则只有2次和1次。

这期就到这里 , 下期见!