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第5章 神经网络基础知识

目录

5.1 由逻辑回归出发

5.2 损失函数

5.3 梯度下降

5.4 计算图

5.5总结

在第1课《深度学习概述》中，我们介绍了神经网络的基本结构，了解了神经网络的基本单元组成是神经元。如何构建神经网络，如何训练、优化神经网络，这其中包含了许多数学原理，需要具备一些基本知识。

本课程将重点罗列并详细介绍神经网络必备的基础知识。掌握这些基础知识，就可以为接下来的课程做好准备。

5.1 由逻辑回归出发

逻辑回归（Logistic Regression）是机器学习一个最基本也是最常用的算法模型。与线性回归不同的是，逻辑回归主要用于对样本进行分类。因此，逻辑回归的输出是离散值。对于二分类问题，通常我们令正类输出为1，负类输出为0。例如一个心脏病预测的问题：根据患者的年龄、血压、体重等信息，来预测患者是否会有心脏病，这就是典型的逻辑回归问题。

二元分类，一般使用$\hat{y}=P(y|x)$来表示预测输出为$1$的概率，则$1-P(y|x)$表示预测输出为$0$的概率。概率值取值范围在$[0,1]$之间。通常，$P(y|x)\ge 0.5$，则预测为正类$1$；若$P(y|x)<0.5$，则预测为负类$0$。

• $P(y|x)\ge 0.5$：正类

• $P(y|x)<.5$：负类

根据线性感知机的思想，引入参数$w$和$b$，我们可以写出逻辑回归的线性部分为：

$$z=wx+b$$

其中，$x$的维度是$(n_x,m)$，$w$的维度是$(1,n_x)$，$b$是一个常量。$n_x$表示输入$x$的特征个数，例如一张图片所有的像素点，$m$为训练样本个数，$z$是线性输出。

但是，线性输出$z$可能的取值范围为整个实数区间，而逻辑回归最终输出的概率$\hat{y}$取值范围在$[0,1]$之间。所以，需要对$z$做进一步处理，常用方法是使用Sigmoid函数，进行非线性映射。

Sigmoid函数是一种激活函数。关于激活函数的概念，我们下一篇再谈。这里，我们只要知道Sigmoid函数是一个非线性函数，它的表达式和图像如下所示：

$$S(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

从Sigmoid函数曲线可以看出，当自变量$z$值很大时，$S(z)\approx 1$；当$z$值很小时，$S(z)\approx 0$。且当$z=0$时，$S(z)=0.5$。显然，Sigmoid函数实现了$z$到区间$[0,1]$的非线性映射，根据$S(z)$的值来预测输出类别。

• $S(z)\ge 0.5$：正类

• $S(z)<0.5$：负类

那么，将$z=wx+b$代入，逻辑回归整个过程的预测输出即可表示为：

$$\hat{y}=S(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{1+e^{-(wx+b)}}$$

总的来看，逻辑回归模型分成两个部分：线性输出和非线性映射。逻辑回归模型其实就是在前面课程介绍的标准的一类神经元结构。

5.2 损失函数

无论是逻辑回归模型还是其他机器学习模型，优化的目标都是希望预测输出$\hat{y}$与真实输出$y$越接近越好。因此，我们需要定义一个损失函数，它反映了$\hat{y}$与$y$的差别，即“损失”。损失函数越大，则$\hat{y}$与$y$的差别越大；损失函数越小，$\hat{y}$与$y$的差别就越小，这就是我们的优化目标。

逻辑回归模型常用的损失函数定义如下：

$$L=-[ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y})]$$

上式又称交叉熵损失函数（Cross Entropy Loss）。为什么损失函数是这种形式？接下来，我们进行简单推导。

我们知道，Sigmoid函数的输出表征了当前样本标签为1的概率：

$$\hat{y}=P(y=1|x)$$

那么样本标签为0的概率就可以写成：

$$1-\hat{y}=P(y=0|x)$$

从极大似然性的角度出发，把上面两种情况整合到一起：

$$P(y|x)={\hat{y}}^y\cdot (1-\hat{y}{)}^{1-y}$$

上面的式子可以这样理解，当真实样本标签$y=0$时，${\hat{y}}^y=1$，$(1-\hat{y}{)}^{(1-y)}=1-\hat{y}$，上式就转化为：

$$P(y=0|x)=1-\hat{y}$$

当真实样本标签$y=1$时，${\hat{y}}^y=\hat{y}$，$(1-\hat{y}{)}^{(1-y)}=1$，概率等式转化为：

$$P(y=1|x)=\hat{y}$$

两种情况下概率表达式跟之前的完全一致，只不过我们把两种情况整合在一起了。

无论是$y=0$还是$y=1$，哪种情况我们都希望概率$P(y|x)$越大越好。首先，我们对$P(y|x)$引入$log$函数，因为$log$运算并不会影响函数本身的单调性。则有：

$$logP(y|x)=log({\hat{y}}^y\cdot (1-\hat{y}{)}^{1-y})=ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y})$$

我们希望$logP(y|x)$越大越好，反过来，即希望$logP(y|x)$的负值$-logP(y|x)$越小越好。那我们就可以定义损失函数$L=-logP(y|x)$即可：

$$L=-[ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y})]$$

这样，我们就完整地推导了交叉熵损失函数公式的由来。

下面，从图形的角度，我们来分析交叉熵损失函数为什么能够表征$\hat{y}$与$y$的差别。

当$y=1$时：

$$L=-log\hat{y}$$

这时候，$L$与预测输出的关系如下图所示：

横坐标是预测输出$\hat{y}$，纵坐标是交叉熵损失函数$L$。显然，预测输出越接近真实样本标签$1$，损失函数L越小；预测输出越接近$0$，$L$越大。因此，函数的变化趋势完全符合实际需要的情况。

当$y=0$时：

$$L=-log(1-\hat{y})$$

这时候，$L$与预测输出的关系如下图所示：

同样，预测输出越接近真实样本标签$0$，损失函数$L$越小；预测函数越接近$1$，$L$越大。函数的变化趋势也完全符合实际需要的情况。

从上面两种图，可以帮助我们对交叉熵损失函数有更直观的理解。无论真实样本标签$y$是$0$还是$1$，$L$都表征了预测输出与$y$的差距。而且，$\hat{y}$与$y$差得越多，$L$的值越大，也就是说对当前模型的“惩罚”越大，而且是非线性、类似指数级别的增大，这是由$log$函数本身的特性所决定的。这种对预测不准情形加重惩罚的好处是，模型会倾向于产生更接近$y$的$\hat{y}$，即有利于训练出更好的模型。

5.3 梯度下降

损失函数$L$是关于模型参数的函数，例如逻辑回归中的$w$和$b$。我们的优化目标就是找出最小化$L$时，对应的$w$和$b$。损失函数$L$的最小化是一个典型的凸优化问题，最常用的方法就是使用梯度下降（Gradient Descent）算法。深度学习中，许多优化算法都是基于梯度下降原理。

使用梯度下降来对损失函数进行优化，只要计算当前损失函数对模型参数的一阶导数，即梯度，然后对参数进行更新。经过足够次数迭代之后，一般就能找到全局最优解。每次迭代更新的公式为：

$$\theta ={\theta }_0-\eta \cdot \nabla f({\theta }_0)$$

其中，${\theta }_0$是当前参数，$\theta$是更新后的参数，$\nabla f({\theta }_0)$表示损失函数对$\theta$在${\theta }_0$处的一阶导数，即梯度。$\eta$是学习因子，决定了每次数值更新的步长，是可调参数。

梯度下降的公式其实很简单，但是为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向呢？接下来我将以通俗的语言来详细解释梯度下降公式的数学推导过程。

首先，我们需要使用到泰勒展开式。简单来说，泰勒展开式利用的就是函数的局部线性近似这个概念。我们把$f(\theta )$进行一阶泰勒展开：

$$f(\theta )\approx f({\theta }_0)+(\theta -{\theta }_0)\nabla f({\theta }_0)$$

下面用张图来解释上面的公式：

凸函数$f(\theta )$的某一小段$［{\theta }_0,\theta ］$由上图黑色曲线表示。如果用一条直线来近似这段黑色曲线，如上图红色直线。该直线的斜率等于$f(\theta )$在${\theta }_0$处的导数。则根据直线方程，很容易得到$f(\theta )$的近似表达式为：

$$f(\theta )\approx f({\theta }_0)+(\theta -{\theta }_0)\cdot \nabla f({\theta }_0)$$

这就是一阶泰勒展开式的推导过程，主要利用的数学思想就是曲线函数的一阶线性近似，是小区域内的一条直线来近似曲线。

知道了一阶泰勒展开式的推导过程后，我们重点来看一下梯度下降算法是如何推导的。其中$，\theta -{\theta }_0$是微小矢量，它的大小就是我们之前讲的学习因子$\eta$，$\eta$为标量。令$\theta -{\theta }_0$的单位向量用$v$表示，则$\theta -{\theta }_0$可表示为：

$$\theta -{\theta }_0=\eta v$$

需要特别注意的是，$\theta -{\theta }_0$不能太大，因为太大的话，线性近似就不够准确，一阶泰勒近似也就不成立了。替换之后，$f(\theta )$的表达式为：

$$f(\theta )\approx f({\theta }_0)+\eta v\cdot \nabla f({\theta }_0)$$

重点来了，局部下降的目的是希望每次$\theta$更新，都能让函数值$f(\theta )<f({\theta }_0)$。也就是说，上式中，我们希望$f(\theta )<f({\theta }_0)$。则有：

$$f(\theta )-f({\theta }_0)\approx \eta v\cdot \nabla f({\theta }_0)<0$$

因为$\eta$为标量，且一般设定为正值，所以可以忽略，上面的不等式就变成了：

$$v\cdot \nabla f({\theta }_0)<0$$

上面这个不等式非常重要！$v$和$\nabla f({\theta }_0)$都是向量，$\nabla f({\theta }_0)$是当前位置的梯度方向，$v$表示下一步前进的单位向量，$v$是需要我们求解的，有了它，就能根据$\theta -{\theta }_0=\eta$确定$\theta$的值了。

想要两个向量的乘积小于零，我们先来看一下两个向量乘积包含哪几种情况：

上图中，$A$和$B$均为向量，$\alpha$为两个向量之间的夹角。$A$和$B$的乘积为：

$$A\cdot B=||A||\cdot ||B||\cdot cos(\alpha )$$

$||A||$和$||B||$均为标量，在$||A||$和$||B||$确定的情况下，只要$cos(\alpha )=-1$，即$A$和$B$完全反向，就能让$A$和$B$的向量乘积最小（负最大值）。

也就是说，当$v$与$\nabla f({\theta }_0)$互为反向，即$v$为当前梯度方向的负方向的时候，就能保证$v\cdot \nabla f({\theta }_0)$为负最大值，也就证明了$v$的方向是局部下降最快的方向。知道$v$是$\nabla f({\theta }_0)$的反方向后，可直接得到：

$$v=-\frac{\nabla f({\theta }_0)}{||\nabla f({\theta }_0)||}$$

之所以要除以$\nabla f({\theta }_0)$的模$||\nabla f({\theta }_0)||$，是因为$v$是单位向量。求出最优解$v$之后，带入到$\theta -{\theta }_0=\eta$中，得：

$$\theta ={\theta }_0-\eta \frac{\nabla f({\theta }_0)}{||\nabla f({\theta }_0)||}$$

一般地，因为$||\nabla f({\theta }_0)||$是标量，可以并入到步进因子$\eta$中，即简化为：

$$\theta ={\theta }_0-\eta \nabla f({\theta }_0)$$

这样，我们就推导得到了梯度下降算法中$\theta$的更新表达式。那么在逻辑回归模型中，$w$和$b$的迭代更新公式即为：

$$w=w-\eta \nabla L(w)$$

$$b=b-\eta \nabla L(b)$$

其中，$\nabla L(w)$和$\nabla L(b)$分别表示损失函数$L$对$w$和$b$的梯度。

5.4 计算图

在下一篇中我们将详细剖析神经网络模型。这里，我们先简单介绍下，每次迭代训练，神经网络模型主要分成两个步骤：正向传播（Forward Propagation）和反向传播（Back Propagation）。正向传播就是计算损失函数过程，反向传播就是计算参数梯度过程。庞大的神经网络，如何有效地进行正向传播和反向传播，如何计算参数梯度？我们将通过介绍计算图（Computation graph）的概念，来帮大家轻松理解整个过程。

举个简单的例子，输入参数有三个，分别是$a$、$b$、$c$，损失函数可表示成$J(a,b,c)=(2a+b)c$。令$a=3$，$b=4$，$c=5$，对应的$J=(2\times 3+4)\times 5=50$。

正向传播过程，我们将$J$的表达式进行拆分，例如使用$u=2a$，$v=u+b$，$J=uv$。拆分后的每个单运算都构成一个“节点”，如下图中的矩形方框所示。下面的这张图就是计算图。该计算图中包含了三个节点，分别对应$u=2a$，$v=u+b$，$J=uv$。这样，我们就把正向传播过程进行了拆分，每个节点对应一个运算。

反向传播过程，这部分是最重要也是最难的部分。$J$如何对参数$a$、$b$、$c$求导？方法是利用偏导数的思想，分别依次对各个节点$J$、$v$、$u$求导，然后再顺序对各参数求导。整个过程如下图红色箭头所示，与黑色箭头方向（正向传播）正好相反。

首先，对节点$J$求导，显然为$1$。

$$\frac{\partial J}{\partial J}=1$$

对节点$v$求导：

$$\frac{\partial J}{\partial v}=c=5$$

对节点$u$求导：

$$\frac{\partial J}{\partial u}=\frac{\partial J}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial u}=c\cdot 1=5$$

然后，就可以对各参数求导：

$$\frac{\partial J}{\partial c}=v=10$$

$$\frac{\partial J}{\partial b}=\frac{\partial J}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial b}=5$$

$$\frac{\partial J}{\partial a}=\frac{\partial J}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial a}=5\cdot 2=10$$

以上就是利用计算图对各参数求导的整个过程。

这个例子非常简单，参数很少，损失函数也不复杂。可能我们没有明显看到计算图在正向传播和反向传播的优势。但是，深度学习模型中，网络结构很深，光是参数就可能有数十万、百万的，损失函数也非常复杂。这时候，利用计算图中的节点技巧，可以大大提高网络的训练速度。值得一提的是现在很多的深度学习框架，例如PyTorch和TensorFlow都是利用计算图对参数进行求导的。

最后，我们来计算一下逻辑回归模型中$w$和$b$的梯度。

正向传播过程：

$$z=wx+b$$

$$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

$$J=-[ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y})]$$

反向传播过程：

$$\frac{\partial J}{\partial \hat{y}}=\frac{1-y}{1-\hat{y}}-\frac{y}{\hat{y}}$$

$$\frac{\partial J}{\partial z}=\frac{\partial J}{\partial \hat{y}}\cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial z}=(\frac{1-y}{1-\hat{y}}-\frac{y}{\hat{y}})\cdot \hat{y}(1-\hat{y})=\hat{y}-y$$

$$\frac{\partial J}{\partial w}=\frac{\partial J}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial w}=(\hat{y}-y)x^T$$

$$\frac{\partial J}{\partial b}=\frac{\partial J}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial b}=\hat{y}-y$$

5.5 总结

本文主要介绍了神经网络的基础知识，包括逻辑回归、损失函数、梯度下降和计算图。其实逻辑回归模型就可以看成是神经网络中的单个神经元。掌握逻辑回归模型的正向传播和反向传播细节，对我们熟练了解神经网络模型非常重要。打下这些基础之后，我们将在下一篇开始真正的神经网络学习。