概率论相关题型

概率论的基本概念

• 1.互斥事件（互不相容）与对立事件：A 与 B 的交集为空集，A 和 B 不可能同时发生，区别于对立事件（在互斥事件的基础上，A 和 B 的和为全集）
• 对于互斥事件有 P(A + B + C ··· + Z) = P(A) + P(B) + P( C) + ··· + P(Z)
• 对于一般的不是互斥，P(A+B) = P(A) + P(B ) - P(AB)这里不是P(A)*P(B) ,三个变量
  P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P© -P(AB) -P(AC) -P(BC) +P(ABC)
• 古典概型，条件概率，三个重要的公式：乘法公式，全概率公式（化整为零），贝叶斯公式（利用先验概率求后验概率）
• 事件的独立性：P(AB) = P(A)P(B) ，三个事件的独立性要有四个式子成立------> n 各事件相互独立，则任意的2到n-1 的事件都相互独立，替换成对立事件也是成立的
• P(AB) = P(A) - P(AB非） 这个式子通过包含关系直接推出

• 为什么分母不使用12*11*10 ，分析，使用这个的话要注意 ，其实这个是A(3,10),那么就是讲究顺序的了，由于筛选是最终的结果，是不讲究顺序的，只能用C(3,10)

放杯子问题

• 将三个小球放进4各杯子，问杯中的最大小球个数分别为1，2，3的概率

站在小球的角度，选择杯子

• 对于1：那么就是432 / 444
• 对于3 ：就是C(1,4) / 444
• 对于2： 就是1 - P（1） - P（3）

条件概率与重要公式的结合

• 可能一开始对于 求P(A2) 没有什么思路，搞不清楚应该怎么算，这时可以考虑用全概率公式

独立的运用

随机变量以及分布

• 注意区分离散型随机变量：二项分布，（0-1）分布，泊松分布，注意对它们分布列以及分布函数的求解（端点值？）
• 连续随机变量：均匀分布，指数分布，正态分布
• 指数分布是没有记忆性的P{X>s+t|X>s} = P{X>t}
• 二项分布的趋近为（np)泊松分布和正态分布
• 正态分布在u= 0 ,方差为1 时称为标准的正态分布

离散随机变量的分布函数特点

• 注意离散型随机变量的分布律与分布函数的关系

连续随机变量的分布函数在某一点的值为0

正态分布标准化

• 注意对带有绝对值的转换，以及带有负数的转换

随机变量函数的分布

• 对于函数是单调的话，可以使用公式法快速求解，如果不是单调的话，就按照定义一步步求解
• 注意开始计算的时候，要提前确定好，Y 的范围，是否直接大于0，还是什么范围

多维随机变量以及分布

• 边缘分布：其中 Z = X + Y ,所得到的z 的边缘分布被称为卷积公式
• 对于 M =max{X,Y} 与 N = min{X,Y} 的分布函数的求法，其中X,Y 相互独立，且各自的分布函数Fx(x) 与 Fy(y) 那么有 F max(z) = Fx(x) * Fy(y) Fmin(z) = 1- (1-Fx(x))*(1-Fy(y))
  对于上面的情况可以推广到 n 各相互独立的随机变量 ，都可以成立

• 最主要的是要分清，到底式子的形式是概率密度还是分布函数

条件概率

max 与 min 函数的相关计算

• 0.84 0.16

二维随机变量

• 对于开始的未知数的求解：分布函数的整体为1
• (1)对于X，Y 的确切的值的，就在相对应的面积范围内求解
• (2）对于边缘分布的，一方为给出的范围，另一方则为全部范围
• (3)像下面的第四题，其实的真正的目的，就是给x,y 一个更加具体的一个范围进行求解

二维随机变量求边缘概率密度

• 以下面的第二问为例子：当你求x 的边缘概率密度时，你要把x 当作一个已经已知范围的一个常量，实际上y 才是你的变量，这就好比你其实是在求一条线（每当x 确定的时候），所以在求积分的上下限的时候，这时得到的应该是变量y 关于 x 的范围 ， 也就是[x^2 , 1] ,当你求y 的概率密度的时候，y 就变成了常量，积分的上下限应该是变量x 关于常量 y 的一个范围，也就是[ - 根号 y, 根号y ]

独立性

• 对于独立性的证明，就按照定义来即可，分布函数或者概率密度都可以

• 简单的分析：由一开始的独立性，得出f(x,y),对于后面的z ,其实 z 的取值范围已经给出，所谓的求分布律就是让你求相对应的概率，这个概率也就是f(x,y) 相对应的概率

Z = X + Y

• 卷积的两种方法都是等价的，不过下面的第一种方法相对来说更加简单，计算以及运算的过程在于你的选择
• 利用公式来求，同样地，与求边缘概率密度一样，这里将z 看成常量，x 和 y 是看成以 z 为变量的一个函数，有时候是要进行分段进行一个计算
• 并不建议一个大括号直接运算完成，而是以z 的范围作为分隔，一个个进行计算

max{X,Y}

• 注意最后的时候的变量都替换成u 了

离散二维随机变量的条件概率以及max 与min

• 在离散随机变量中，条件概率的理解 p{X = 2| Y = 2} 由于是在Y = 2 的条件下，那么就要将Y = 2 的全部情况算进去（不止一个x) ,但是X = 2 的话，就只是一个x ，同理是可以类推到连续的随机变量的

• 对于离散型的max 与min 的话，不如直接列举进行一个计算，连续型才用公式
  
  

随机变量的数字特征

• (1) 懂得离散型随机变量与连续型随机变量的期望的求法
• (2)随机变量的函数的数学期望：对于离散型，直接将每个取值代入函数，得到新的取值，再和相对应的概率相乘再相加即可；对于连续型随机变量，直接对g(x)f(x) 进行积分 ，（区别于f(x) 自身的期望， xf(x) 的积分
• (3)对于二维的随机变量：对于离散型，就是相对应的取值乘概率后相加；对于连续型就变成 对g(x,y)f(x,y) 的一个求积分的过程
• (4) 注意期望的相关计算的公式：E(x+y) = E(x) + E(y) (减号也是一样） E(XY) = E(X)E(Y) 当X,Y 相互独立的时候成立 （这两个公式均可以推广）
• (5)方差 D(x) = E{[X-E(X)]^2} ,就是每一个取值与期望的差的平方的期望，它的算数平方根为均方差
  当计算离散随机变量的时候，[X-E(X)]^2 乘相对应的概率再求和即可； 连续型的时候 [X-E(X)] ^2 乘f(x) 的积分
• 由于计算方差难度问题，常常用 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 来计算
• 方差的相关性质：常数的方差为0， D(cX) = c^2 D(X) D(C+ X) = D(X）
  D(X+Y ) = D(X) + D(Y) + 2E{(X-E(x))(Y-E(y))}
  D(X-Y ) = D(X) + D(Y) - 2E{(X-E(x))(Y-E(y))}
  当X ,Y 相互独立的时候，D(X+Y) = D(X-Y) = D(X) + D(Y)
• 标准化的随机变量，就是 X- E(X) / 均方差
• 协方差 Cov(X,Y) = E{(X-E(x))(Y-E(y))} 相关系数 = Cov(X,Y) /X 的均方差乘Y的均方差
• 协方差可以写成 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
• 协方差的相关性质 Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) Cov(X1+X2,Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2+Y)
• 相关系数 = 0 时，称为X 与 Y 不相关（就是X 与 Y 没有线性关系，但是可能会存在其他的关系）
• 相互独立可以推出不相关，但是不相关推不出相互独立， 不相关 与 相关系数 = 0，Cov(X,Y) =0 E(XY) = E(X)E(Y)
• 对于二维正态随机变量的相互独立与不相关的条件是相互等价的
  

• 矩、协方差矩：分清k 阶原点矩，k 阶中心距，k+l 阶混合矩 k + l 阶混合中心矩

• 切比雪夫不等式给出了再随机变量X 的分布未知，只知道E(X) 与D(X) 的情况下，对E{|X-E(X)|<=m} 概率的下限的估计