红黑树介绍及插入操作的实现

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1.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

2 红黑树的性质

性质：

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

首先，要满足黑色节点数目相同，则当只有黑色节点的时候，路径最短，因为红色节点不能连续出现，所以当黑色节点与红色节点交替的时候，路径最长，并且为最短的两倍。

3 红黑树节点的定义

enum color                      //颜色
{RED,BLACK
};
template<class K, class V>
struct AVLNode
{AVLNode<K, V>* _left;AVLNode<K, V>* _right;AVLNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;color _col;                 //记录节点颜色AVLNode(pair<K, V>& kv)      :_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED)           //新节点的颜色默认为红色{}
};

新插入节点的颜色为红色的原因？

原因：因为红黑树有一条规则，就是每条路径的黑色节点数目相等，插入前每条路径的黑色数目是相等的，但是如果插入的是黑色节点的话，那么该条路径的黑色节点的数目就多了一个，直接违反规则，所以插入新节点为红色节点；

4.红黑树的插入操作（分类详解）

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
   因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；
   但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

含义解析：
cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一：cur为红色，p为红色，g为黑色，u存在并且为红色

根据上图进行分析：

解析：
这里p与cur都为红色，违反规则，我们不能直接将p的颜色改为黑色，如果直接改为黑色的话，则每条路径的黑色节点数目就变化了，违反规则。

我们应该将p与u变为红色，g变为黑色，如果g是子树，还需向上调整（比如上图中的下面一种情况），如果g是根节点，则需要变回黑色，因为规则里根节点必须为黑色；

代码实现

    //这里是一个while循环，只展示了循环体里面的代码//情况一：uncle存在并且为红色if (uncle && uncle->_col == RED){uncle->_col = BLACK;parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;parent = grandfather;          //如果为子树，则继续向上调整cur = parent; if (_root == grandfather)      //如果g为根节点，则改回黑色{grandfather->_col = BLACK;}}

情况二：u不存在或则u存在并且为黑色
下面的分类与AVL树的旋转的分类很类似；

分析一：u不存在/存在且黑色，并且p为g的左，c为p的左 或则 p为g的右，c为p的右（p，g，c在一条线上）

当u不存在时：处理方法：单旋+变色

当u存在时：处理方法：也是单旋+变色

总结：

当u存在为黑色或则不存在时，都需要旋转+变色（这里的旋转与上章AVL旋转一样）
如果c为p的左，并且p为g的左，则右旋
如果c为p的右，并且p为g的右，则左旋
变色： 都是p变成黑色，g变为红色

代码实现

//p为g左，c为p左
if (parent==grandfather->_left && cur==parent->_left)
{ rotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;
}
//p为g右，c为p右
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_right)
{rotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;
}

分析三：u不存在或则存在为黑色，但是p为g的左，c为p的右边 或则 p为g的右，c为p的左（p，g，c不在一条线上）

当u不存在时：处理方法：双旋+变色

当u存在时：处理方法：双旋+变色

总结：
当g，p，c不在一条街直线上时，需要双旋+变色处理
旋转方向的判定和AVL树的旋转一样；（上章讲过）

代码实现：

//一左一右
else if(parent == grandfather->_left && cur == parent->_right)
{rotateL(parent);rotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = BLACK;break;
}
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_left)
{rotateR(parent);rotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = BLACK;break;
}

插入总代码

bool insert(pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;}//找插入点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv > kv){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv < kv){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//插入if (cur == parent->left){cur = new Node(kv);parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else if (cur == parent->right){cur = new Node(kv);parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//调节颜色/调节使其满足规则while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent = grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;}else{Node* uncle = grandfather->_left;}//情况一：uncle存在并且为红色if (uncle && uncle->_col == RED){uncle->_col = BLACK;parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;parent = grandfather;          //如果为子树，则继续向上调整cur = parent; if (_root == grandfather)      //如果g为根节点，则改回黑色{grandfather->_col = BLACK;}}//uncle不存在或则存在为黑色else{//p为g左，c为p左if (parent==grandfather->_left && cur==parent->_left){ rotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;break;}//p为g右，c为p右else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_right){rotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;break;}//一左一右else if(parent == grandfather->_left && cur == parent->_right){rotateL(parent);rotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = BLACK;break;}else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_left){rotateR(parent);rotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = BLACK;break;}}}
}
//左单旋
void rotateL(Node* parent)
{Node* pparent = parent->_parent;     //记录所旋转根节点的父亲Node* pNodeR = parent->_right;Node* pNodeRL = pNodeR->_left;if (pNodeRL)                         //如果该旋转节点的右节点的左孩子存在parent->_right = pNodeRL;pNodeR->_left = parent;//新的父节点的链接if (parent == _root){_root = pNodeR;pparent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = pNodeR;}else{pparent->_right = pNodeR;}}
}
//右单旋
void rotateR(Node* parent)
{Node* pparent = parent->_parent;Node* pNodeL = parent->_left;Node* pNodeLR = pNodeL->_right;if (pNodeLR)parent->_left = pNodeLR;pNodeL->_right = parent;if (parent == _root){_root = pNodeL;pparent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = pNodeL;}else{pparent->_right = pNodeL;}}
}

5.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。