14 卡尔曼滤波及代码实现
文章目录
- 14 卡尔曼滤波及代码实现
- 14.0 基本概念
- 14.1 公式推导
- 14.2 代码实现
14 卡尔曼滤波及代码实现
14.0 基本概念
卡尔曼滤波是一种利用线性系统状态方程,通过系统输入输出观测数据,对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据包括系统中的噪声和干扰的影响,所以最优估计也可看作是滤波过程。
通俗来说就是,线性数学模型算出预测值+传感器测量值=更准确的测量值。根据数学模型,由第 k k k 时刻的值递推得到第 k + 1 k+1 k+1 时刻的预测值,结合第 k + 1 k+1 k+1 时刻的观测值,得到第 k + 1 k+1 k+1 时刻更精准的值。
卡尔曼滤波主要用于 线性高斯系统。
14.1 公式推导
(1)线性高斯系统表达
状态方程:
x k = A x k − 1 + B u k + w k \boldsymbol{x}_k = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{k-1}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}_k+\boldsymbol{w}_k xk=Axk−1+Buk+wk
观测方程:
z k = H x k + v k \boldsymbol{z}_k = \boldsymbol{H}\boldsymbol{x}_k+\boldsymbol{v}_k zk=Hxk+vk
其中, x k \boldsymbol{x}_k xk 为状态量, z k \boldsymbol{z}_k zk 为观测量, A \boldsymbol{A} A 为状态转移矩阵, B k \boldsymbol{B}_k Bk 为控制输入矩阵, H \boldsymbol{H} H 为状态观测矩阵。
w k \boldsymbol{w}_k wk 是过程噪声,服从高斯分布, w k \boldsymbol{w}_k wk 是观测噪声,也服从高斯分布,即:
w k ∼ N ( 0 , Q ) \boldsymbol{w}_k \sim N(0, \boldsymbol{Q}) wk∼N(0,Q)
v k ∼ N ( 0 , R ) \boldsymbol{v}_k \sim N(0, \boldsymbol{R}) vk∼N(0,R)
其中 Q \boldsymbol{Q} Q 是过程噪声的协方差, R \boldsymbol{R} R 是观测噪声的协方差。
卡尔曼滤波包括预测和更新两步。
(2)预测(先验)
预测是根据上一时刻的状态量,由状态方程预测出下一时刻的状态量 x ^ k − \hat{\boldsymbol{x}}_k^{-} x^k− ,以及状态量误差协方差的先验估计矩阵 P k − \boldsymbol{P}_k^{-} Pk−。这是没有加观测值的。
x ^ k − = A x ^ k − 1 + B u k \hat{\boldsymbol{x}}_k^{-} = \boldsymbol{A}\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}_k x^k−=Ax^k−1+Buk
P k − = A P k − 1 A T + Q \boldsymbol{P}_k^{-}=\boldsymbol{AP}_{k-1}\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{Q} Pk−=APk−1AT+Q
其中, A x ^ k − 1 \boldsymbol{A}\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1} Ax^k−1 是上一时刻的最优估计。
(3)更新(后验)
加入观测,对预测值进行更新校正,得到最优后验估计。
首先计算增益矩阵
K k = P k − H T ( H P k − H T + R ) − 1 \boldsymbol{K}_k=\boldsymbol{P}_k^{-}\boldsymbol{H}^T(\boldsymbol{H}\boldsymbol{P}_k^{-}\boldsymbol{H}^T+\boldsymbol{R})^{-1} Kk=Pk−HT(HPk−HT+R)−1
更新状态量及其协方差矩阵
x ^ k = x ^ k − + K k ( z k − H x ^ k − ) \hat{\boldsymbol{x}}_k = \hat{\boldsymbol{x}}_k^{-} + \boldsymbol{K}_k(\boldsymbol{z}_k-\boldsymbol{H}\hat{\boldsymbol{x}}_k^{-}) x^k=x^k−+Kk(zk−Hx^k−)
P k = ( I − K k H ) P k − \boldsymbol{P}_k=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_k\boldsymbol{H})\boldsymbol{P}_k^{-} Pk=(I−KkH)Pk−
14.2 代码实现
以雷达追踪目标为背景,系统的状态方程为
[ x y V x V y a x a y ] k + 1 = [ 1 0 δ t 0 0.5 δ t 2 0 0 1 0 δ t 0 0.5 δ t 2 0 0 1 0 δ t 0 1 0 0 1 0 δ t 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 ] [ x y V x V y a x a y ] k \begin{bmatrix}x\\y\\Vx\\Vy\\ax\\ay\end{bmatrix}_{k+1}=\begin{bmatrix}1&0&\delta_t&0&0.5\delta_t^2&0\\0&1&0&\delta_t&0&0.5\delta_t^2\\0&0&1&0&\delta_t&0\\1&0&0&1&0&\delta_t\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\Vx\\Vy\\ax\\ay\end{bmatrix}_k xyVxVyaxay k+1= 100100010000δt010000δt01010.5δt20δt01000.5δt20δt01 xyVxVyaxay k
观测方程
[ x y ] k + 1 = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ x y V x V y a x a y ] k \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}_{k+1}=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\Vx\\Vy\\ax\\ay\end{bmatrix}_k [xy]k+1=[100100000000] xyVxVyaxay k
/*********************************************************** *
* Time: 2023/11/26
* Author: xiaocong
* Function: 卡尔曼滤波
***********************************************************/
#ifndef KALMANFILTER_H
#define KALMANFILTER_H#include <eigen3/Eigen/Dense>
#include <iostream>using namespace Eigen;
using namespace std;class KalmanFilter
{
public:KalmanFilter(int stateSize, int measSize, int uSize); // 构造函数void init(VectorXd& x, MatrixXd& P, MatrixXd& R, MatrixXd& Q); // 初始化void predict(MatrixXd& A);void predict(MatrixXd& A, MatrixXd& B, VectorXd& u); // 重载,针对有控制输入的情况VectorXd update(MatrixXd& H, VectorXd z_meas); // 更新~KalmanFilter(); // 析构函数private:VectorXd x_; // 状态变量VectorXd z_; // 观测变量MatrixXd A_; // 状态转移矩阵MatrixXd B_; // 控制矩阵VectorXd u_; // 控制变量MatrixXd P_; // 状态值的协方差矩阵MatrixXd H_; // 观测矩阵MatrixXd R_; // 观测噪声协方差矩阵MatrixXd Q_; // 过程噪声协方差矩阵
};#endif //KALMANFILTER_H
#include "../inlude/KalmanFilter.h"// 构造函数
KalmanFilter::KalmanFilter(int stateSize, int measSize, int uSize)
{if (stateSize == 0 || measSize == 0){std::cerr << "Error, State size and measurement size must bigger than 0" << endl;}x_.resize(stateSize);x_.setZero();A_.resize(stateSize, stateSize);A_.setIdentity();u_.resize(uSize);u_.setZero();B_.resize(stateSize, uSize);B_.setZero();P_.resize(stateSize, stateSize);P_.setIdentity();H_.resize(measSize, stateSize);H_.setZero();Q_.resize(stateSize, stateSize);Q_.setIdentity();R_.resize(measSize, measSize);R_.setIdentity();
}void KalmanFilter::init(VectorXd& x, MatrixXd& P, MatrixXd& R, MatrixXd& Q)
{x_ = x;P_ = P;R_ = R;Q_ = Q;
}void KalmanFilter::predict(MatrixXd& A) // 没有控制输入u
{A_ = A;x_ = A * x_;P_ = A_ * P_ * A_.transpose() + Q_;
}void KalmanFilter::predict(MatrixXd& A, MatrixXd& B, VectorXd& u) // 有控制输入u
{A_ = A;B_ = B;u_ = u;x_ = A * x_ + B * u_;P_ = A_ * P_ * A_.transpose() + Q_;
}VectorXd KalmanFilter::update(MatrixXd& H, VectorXd z_meas) // 更新
{H_ = H;MatrixXd temp = H_ * P_ * H_.transpose() + R_;MatrixXd K = P_ * H_.transpose() * temp.inverse();x_ = x_ + K * (z_meas - H_ * x_); // 更新 x_kMatrixXd I = MatrixXd::Identity(x_.rows(), x_.rows());P_ = (I - K * H_) * P_;return x_;
}KalmanFilter::~KalmanFilter()
{}
#include "../inlude/KalmanFilter.h"
#include <fstream>#define N 1000
#define T 0.01double data_x[N], data_y[N];// 模型函数
double sample(double x0, double v0, double acc, double t)
{return x0 + v0 * t + 0.5 * acc * t * t;
}double getRand()
{return 0.5 * rand() / RAND_MAX - 0.25; //[-0.25, 0.25)
}int main()
{ofstream fout;fout.open("../data/data.txt");// 生成观测值double t;for (int i = 0; i < N; i++){t = T * i;data_x[i] = sample(0, -4.0, 0.1, t) + getRand();data_y[i] = sample(0.1, 2.0, 0, t) + getRand();}int stateSize = 6;int measSize = 2;int uSize = 0;KalmanFilter kf(stateSize, measSize, uSize);Eigen::MatrixXd A(stateSize, stateSize);A << 1, 0, T, 0, 1 / 2 * T * T, 0,0, 1, 0, T, 0, 1 / 2 * T * T,0, 0, 1, 0, T, 0,0, 0, 0, 1, 0, T,0, 0, 0, 0, 1, 0,0, 0, 0, 0, 0, 1;Eigen::MatrixXd B(0, 0);Eigen::MatrixXd H(measSize, stateSize);H << 1, 0, 0, 0, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 0;Eigen::MatrixXd P(stateSize, stateSize);P.setIdentity();Eigen::MatrixXd R(measSize, measSize);R.setIdentity() * 0.01;Eigen::MatrixXd Q(stateSize, stateSize);Q.setIdentity() * 0.001;Eigen::VectorXd x(stateSize);Eigen::VectorXd u(0);Eigen::VectorXd z_meas(measSize);z_meas.setZero();Eigen::VectorXd res(stateSize); // 存储预测结果for (int i = 0; i < N; i++){if (i == 0) // 初始值{x << data_x[i], data_y[i], 0, 0, 0, 0;kf.init(x, P, R, Q);continue;}kf.predict(A); // 预测z_meas << data_x[i], data_y[i]; // 观测res << kf.update(H, z_meas); // 更新fout << data_x[i] << " " << data_y[i] << " " << res[0] << " " << res[1] << " " << res[2] << " " << res[3] << " " << res[4] << " " << res[5] << endl;}fout.close();return 0;}
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Rust单元测试、集成测试
单元测试、集成测试 在了解了如何在 Rust 中写测试用例后,本章节我们将学习如何实现单元测试、集成测试,其实它们用到的技术还是上一章节中的测试技术,只不过对如何组织测试代码提出了新的要求。 单元测试 单元测试目标是测试某一个代码单…...
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vue全局方法plugins/utils
一、在src目录下创建一个plugins文件夹 test.ts文件存放创建的方法,index.ts用于接收所有自定义方法进行统一处理 二、编写自定义方法 // test.ts文件 export default {handleTest(val1: number, val2: number) {// 只是一个求和的方法return val1 val2;}, };三…...
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高阶算法班从入门到精通之路
课程介绍 本课程旨在帮助学员深入理解算法与数据结构的核心概念,从而掌握高级算法设计与分析技能。每集课程内容精心设计,涵盖了常用数据结构、经典算法及其应用场景等方面的深度讲解,同时通过大量实例演练,帮助学员提升解决实际…...
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C++ 左值右值
文章目录 概述左值右值右值引用左值和右值的互换 小结 概述 左值和右值属于2中不同的表达式类型;它们在表达式中扮演不同的角色,特别是在赋值操作和函数参数传递中。 左值 定义:左值是指那些在内存中有确定位置的表达式,可以出…...
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[数据集][目标检测]水面垃圾水面漂浮物检测数据集VOC+YOLO格式3749张1类别
数据集格式:Pascal VOC格式YOLO格式(不包含分割路径的txt文件,仅仅包含jpg图片以及对应的VOC格式xml文件和yolo格式txt文件) 图片数量(jpg文件个数):3749 标注数量(xml文件个数):3749 标注数量(txt文件个数):3749 标注…...
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[深度学习] 卷积神经网络CNN
卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)是一种专门用于处理数据具有类似网格结构的神经网络,最常用于图像数据处理。 一、CNN的详细过程: 1. 输入层 输入层接收原始数据,例如一张图像,它可以被…...
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区别QPushButton和QToolButton
在刚开始学习Qt时,可能很难理解QPushButton和QToolButton之间的区别。 QToolButton通常用于QToolBar中,常常只显示图标,而不显示文本。那么,它们的主要区别是什么?什么时候应该使用QPushButton,什么时候应该使用QToolButton? 了解这一点很重要,这样我们才能选择最合适…...
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【Python】已解决:TypeError: Object of type JpegImageFile is not JSON serializable
文章目录 一、分析问题背景二、可能出错的原因三、错误代码示例四、正确代码示例五、注意事项 已解决:TypeError: Object of type JpegImageFile is not JSON serializable 一、分析问题背景 在进行Python编程时,特别是处理图像数据和JSON序列化时&…...
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超简单的nodejs使用log4js保存日志到本地(可直接复制使用)
引入依赖 npm install log4js 新建配置文件logUtil.js const log4js require(log4js);// 日志配置 log4js.configure({appenders: {// 控制台输出consoleAppender: { type: console },// 文件输出fileAppender: {type: dateFile,filename: ./logs/default, //日志文件的存…...
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Python面试宝典第1题:两数之和
题目 给定一个整数数组 nums 和一个目标值 target,找出数组中和为目标值的两个数的索引。可以假设每个输入只对应唯一的答案,且同样的元素不能被重复利用。比如:给定 nums [2, 7, 11, 15] 和 target 9,返回 [0, 1],因…...
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fastapi集成jwt
fastapi集成jwt fastapipython-jose实现jwt登录 1、安装相关包 python-jose pip install python-jose2、创建token及token校验 from copy import deepcopy from datetime import timedelta, datetimefrom jose import jwt, ExpiredSignatureErrorSECRET_KEY "xxx&quo…...
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优选算法2
五、位运算 常见位运算总结 &:有0就是0; |:有1就是1 ^:相同为0,相异就是1/无进位相加 给定一个数n,确定它的二进制表示中的第x位是0还是1:二进制中权值最小的是第0位,所以int整型是从第0位到…...
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Docker部署ETCD 3.5.14(保姆级图文教程)
系列文章目录 Docker部署Nginx 1.21.5(保姆级图文教程) Docker部署MySQL 8.3.0(保姆级图文教程) Docker部署ETCD 3.5.14(保姆级图文教程) 文章目录 一、环境二、拉取镜像2.1 查找 Docker Hub 上的 ETCD 镜像…...
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数组理论基础
1. **数组定义**: - 数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合。 2. **数组特性**: - 数组下标从0开始。 - 数组的内存空间地址是连续的。 3. **数组操作**: - 数组可以通过下标索引快速访问元素。 - 数组元素的删除…...
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GPT-5时代的曙光:AI技术引领未来工作与生活的新篇章
前言 随着科技的飞速发展,人工智能(AI)已成为推动社会进步的强大引擎。作为AI领域的杰出代表,OpenAI的GPT系列模型不断刷新着人们对AI智能的认知。近日,OpenAI首席技术官米拉穆拉蒂在达特茅斯工程学院的采访中透露&am…...
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pytest-yaml-sanmu(五):跳过执行和预期失败
除了手动注册标记之外,pytest 还内置了一些标记可直接使用,每种内置标记都会用例带来不同的特殊效果,本文先介绍 3 种。 1. skip skip 标记通常用于忽略暂时无法执行,或不需要执行的用例。 pytest 在执行用例时,如果…...
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基于线调频小波变换的一维时间序列时频分析方法(MATLAB)
在机械故障诊断领域,振动信号的处理常采用以快速傅立叶变换为基础的相关分析、幅值分析、频谱分析等时域和频域分析方法。但经典的FFT存在固有缺点,即它虽然在频域范围内是完全局部化的,但是它不包含任何时域信息,因而不适于分析非平稳信号。近年来涌现的各种时频分析方法(短时…...
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岚图借势东风整合产能,全新SUV上市就要交付!
,岚图旗下的全新纯电SUV将在东风日产云峰工厂生产。该工厂此前主要生产纯电动车型Ariya。据了解,岚图这款纯电SUV车型定位家用,将搭载109kWh高能量密度电池包,最大续航里程901km。根据此前工信部披露的产品公告,这款新车或命名为岚图知音。此次,东风日产给岚图新车“代工…...
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城市通勤神器!奔腾小马2.89万元火爆预售
上下班高峰期的通勤,总是让人头疼。坐公交人挤人,路上的耗时更是无法计算;乘地铁相对省时间,但车厢里依然像是“沙丁鱼罐头”。如果遇到刮风下雨等恶劣天气,就更加令人恼火。在这种情况下,很多人都希望能拥有一辆价格便宜、配置够用的代步小车,虽无奢华体验,但求遮风挡…...
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领克07EM-P正式上市,优惠价16.38万元起!
领克07 EM-P作为一款定位高端市场的混合动力车型,搭载的超级增程电动解决方案,不仅承载了年轻消费者对速度与激情的追求,更以高性价比满足了他们对燃油经济性和舒适性的双重需求。这一方案为驾驶者提供了四种不同的驾驶模式,包括纯电动模式、性能模式、超级增程模式以及个性…...
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浅谈网络安全态势感知
前言 网络空间环境日趋复杂,随着网络攻击种类和频次的增加,自建强有力的网络安全防御系统成为一个国家发展战略的一部分,而网络态势感知是实现网络安全主动防御的重要基础和前提。 什么是网络安全态势感知? 态势感知一词来源于对…...
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牛客热题:数据流中的中位数
📟作者主页:慢热的陕西人 🌴专栏链接:力扣刷题日记 📣欢迎各位大佬👍点赞🔥关注🚓收藏,🍉留言 文章目录 牛客热题:数据流中的中位数题目链接方法一…...
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【好书分享第十三期】AI数据处理实战108招:ChatGPT+Excel+VBA
文章目录 一、内容介绍二、内页插图三、作者简介四、前言/序言五、目录 一、内容介绍 《AI数据处理实战108招:ChatGPTExcelVBA》通过7个专题内容、108个实用技巧,讲解了如何运用ChatGPT结合办公软件Excel和VBA代码实现AI办公智能化、高效化。随书附赠了…...