Python和MATLAB粘性力接触力动态模型半隐式欧拉算法
🎯要点
🎯运动力模型计算制作过程:🖊相机捕捉网球运动图,制定运动数学模型,数值微分运动方程 | 🖊计算运动,欧拉算法离散积分运动,欧拉-克罗默算法微分运动方程
🎯粘性力模型计算制作过程:🖊绘制雨滴、环境和坐标系下落自由体草图,使用牛顿第二定律制定运动数学模型,定义无空气阻力和恒速简化数学模型,数值模型解析
🎯固体-固体接触力模型计算制作过程:🖊实验绘制悬块弹簧形变量图,使用牛顿第二定律制定平衡模型,定义无空气阻力简化数学模型,欧拉-克罗默算法数值求解,制作三维动态可视图
🎯移动物体间复合力模型计算制作过程:🖊实验绘制电梯,物重和人自由体图,模型使用牛顿第三定律确定力对和牛顿第二定律确定图中运动体,解析无运动和相对运动简化力模型
🎯龙卷风、弹跳球和河流上船只三维运动力模型计算制作过程 | 🎯加速实验车、旋转杆、圆周运动,风中的珠子和地震期间的振荡中约束运动力模型计算制作过程
📜物理学和数学模型用例 | 本文
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📜物理数学热力学静电学和波动方程:Python和C++数学物理计算分形热力学静电学和波动方程
📜物理数学拉格朗日和哈密顿动力学:Python计算物理粒子及拉格朗日和哈密顿动力学
📜物理数学气体动能和粒子速度:MATLAB和Python数值和符号计算可视化物理学气体动能和粒子速度
📜物理统计推理模型:Python射频电磁肿瘤热疗数学模型和电磁爆炸性变化统计推理模型
📜物理数学流体力学:C++风流和MATLAB | Python | CUDA 库埃特流泊肃叶流薄膜流体
📜物理数学气体运动模型:C++ | Python气泡表面张力和预期形态及上升速度数值模型
🍇Python半隐式欧拉方法
在数学中,半隐式欧拉方法也称为辛欧拉、半显式欧拉、欧拉-克罗默和牛顿-斯托默-韦莱,是欧拉方法的一种改进,用于求解哈密顿方程,哈密顿方程是经典力学中出现的常微分方程组。半隐式欧拉方法是一种辛积分器,因此比标准欧拉方法能得到更好的结果。
半隐式欧拉方法可以应用于一对以下形式的微分方程:
d x d t = f ( t , v ) d v d t = g ( t , x ) \begin{aligned} & \frac{d x}{d t}=f(t, v) \\ & \frac{d v}{d t}=g(t, x) \end{aligned} dtdx=f(t,v)dtdv=g(t,x)
其中 f f f 和 g g g 是给定函数。这里, x x x和 v v v可以是标量或向量。如果哈密顿量具有以下形式,则哈密顿力学中的运动方程采用这种形式
H = T ( t , v ) + V ( t , x ) H=T(t, v)+V(t, x) H=T(t,v)+V(t,x)
微分方程需在初始条件下求解
x ( t 0 ) = x 0 , v ( t 0 ) = v 0 x\left(t_0\right)=x_0, \quad v\left(t_0\right)=v_0 x(t0)=x0,v(t0)=v0
欧拉方法对于振荡系统存在一个根本问题。再看一下欧拉方法的近似,得到下一个时间间隔的位置:
x ( t i + Δ t ) ≈ x ( t i ) + v ( t i ) Δ t x\left(t_i+\Delta t\right) \approx x\left(t_i\right)+v\left(t_i\right) \Delta t x(ti+Δt)≈x(ti)+v(ti)Δt
它使用时间间隔开始时的速度值来将解逐步推向未来。
由于欧拉方法通过线性近似将解投影到未来,并假设区间开始时的导数值,因此它对于振荡函数来说不是很好。改进欧拉方法的一个聪明的想法是使用第二个方程的导数的更新值。
纯欧拉方法适用:
x ( t 0 ) = x 0 , x i + 1 = x i + v i Δ t v ( t 0 ) = v 0 , v i + 1 = v i − ω 2 x i Δ t \begin{aligned} x\left(t_0\right)=x_0, & x_{i+1}=x_i+v_i \Delta t \\ v\left(t_0\right)=v_0, & v_{i+1}=v_i-\omega^2 x_i \Delta t \end{aligned} x(t0)=x0,v(t0)=v0,xi+1=xi+viΔtvi+1=vi−ω2xiΔt
如果在 v v v 的方程中您使用了刚刚计算的值 x i + 1 x_{i+1} xi+1 会怎样?像这样:
x ( t 0 ) = x 0 , x i + 1 = x i + v i Δ t v ( t 0 ) = v 0 , v i + 1 = v i − ω 2 x i + 1 Δ t \begin{aligned} & x\left(t_0\right)=x_0, \quad x_{i+1}=x_i+v_i \Delta t \\ & v\left(t_0\right)=v_0, \quad v_{i+1}=v_i-\omega^2 x_{i+1} \Delta t \\ & \end{aligned} x(t0)=x0,xi+1=xi+viΔtv(t0)=v0,vi+1=vi−ω2xi+1Δt
请注意第二个方程右侧的 x i + 1 x_{i+1} xi+1:这是更新后的值,给出时间间隔结束时的加速度。这种修改后的方案称为欧拉-克罗默方法。
代码实现:
def euler_cromer(state, rhs, dt):mid_state = state + rhs(state)*dt # Euler stepmid_derivs = rhs(mid_state) # updated derivativesnext_state = np.array([mid_state[0], state[1] + mid_derivs[1]*dt])return next_state
模拟数据
w = 2
period = 2*np.pi/w
dt = period/200
T = 800*period
N = round(T/dt)print('The number of time steps is {}.'.format( N ))
print('The time increment is {}'.format( dt ))t = np.linspace(0, T, N)x0 = 2
v0 = 0 num_sol = np.zeros([N,2])
num_sol[0,0] = x0
num_sol[0,1] = v0for i in range(N-1):num_sol[i+1] = euler_cromer(num_sol[i], springmass, dt)
The number of time steps is 160000. The time increment is 0.015707963267948967
首先,得到解析解。然后,您选择绘制振荡运动的前几个周期:数值和解析。
x_an = x0*np.cos(w * t)
iend = 800
fig = plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(t[:iend], num_sol[:iend, 0], linewidth=2, linestyle='--', label='Numerical solution')
plt.plot(t[:iend], x_an[:iend], linewidth=1, linestyle='-', label='Analytical solution')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('$x$ [m]')
plt.title('Spring-mass system, with Euler-Cromer method.\n');
该图显示,欧拉-克罗默不存在振幅增大的问题。从这个意义上讲,你应该对此感到满意。但是,如果你绘制一段较长模拟的末尾,你就会发现它确实开始偏离解析解。
istart = 400fig = plt.figure(figsize=(6,4))plt.plot(t[-istart:], num_sol[-istart:, 0], linewidth=2, linestyle='--', label='Numerical solution')
plt.plot(t[-istart:], x_an[-istart:], linewidth=1, linestyle='-', label='Analytical solution')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('$x$ [m]')
plt.title('Spring-mass system, with Euler-Cromer method. \n');
观察一段很长的运行中的最后几次振荡,即使时间增量很小,也会发现轻微的相位差。因此,尽管欧拉-克罗默方法解决了欧拉方法的一个大问题,但它仍然存在一些错误。它仍然是一阶方法!
👉参阅:计算思维 | 亚图跨际
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