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奇异值分解

奇异值分解非常重要且有趣。首先对于$n\times n$对称矩阵$A$，可以通过对角化得到其对角化形式$A=PD{P}^{-1}$，但是如果$A$不是对称矩阵或者不是方阵，则不能进行对角化，但是可以通过奇异值分解得到类似形式。对于对角化，利用的重要性质是$A{\mathbf{v}}_1=\lambda {\mathbf{v}}_1$以及对称矩阵的特征向量互相正交。对于任意$m\times n$矩阵，可以看做是${\mathbb{R}}^m$到${\mathbb{R}}^n$空间的一个映射，是否也存在一些$A{\mathbf{v}}_1={\sigma }_1{\mathbf{u}}_1$的形式呢？
定理：奇异值分解
设$A$是秩为$r$的$m\times n$矩阵，那么存在一个$m\times n$矩阵$\Sigma$，$D$是一个$r\times r$非零对角矩阵，其对角线元素是A的前$r$个奇异值，${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge ...\ge {\sigma }_r>0$，并且存在一个$m\times m$正交矩阵$U$和$n\times n$正交矩阵$V$，满足$A=U\Sigma V^T$，这个分解叫做$A$的一个奇异值分解，矩阵$U$和$V$不是由$A$唯一确定的(只确定了部分$U和V$正交基，其余满足单位正交条件即可)，但$\Sigma$对角线必须是$A$的奇异值。
$$\Sigma =\left[\begin{array}{rl}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

引入的过程
奇异值分解基于一般的矩阵对角化性质可以被长方形矩阵模仿：一个对称矩阵$A$的特征值的绝对值，表示度量$A$拉长或者压缩一个向量(特征向量)的程度，如果$Ax=\lambda x$，且$||x||=1$，那么$$||Ax||=||\lambda x||=|\lambda |||x||=|\lambda |$$
如果${\lambda }_1$是具有最大数值的特征值，那么对应的单位特征向量${\mathbf{v}}_1$，确定一个有$A$拉长影响最大的方向，也就是$\mathbf{x}={\mathbf{v}}_1$时，$||A\mathbf{x}||$长度最大化,$$||A{\mathbf{v}}_1||=|{\lambda }_1|$$。其中的原因在特征值部分已经做了介绍，任何向量都可以分解成特征向量的线性组合，选取最大特征值对应的特征向量方向，对向量的拉长自然是最大的。这里为什么要通过研究拉长最大的方向来引入奇异值，后面会做分析。
以一个矩阵$A$为例，求$||\mathbf{x}||=1$的条件下$||A\mathbf{x}||$的最大长度和此时的$\mathbf{x}$
$$A=\left[\begin{array}{rlrlr}4& & 11& & 14\\ 8& & 7& & -2\end{array}\right]$$
求$||A\mathbf{x}||$的最大值，等价于求$||A\mathbf{x}|{|}^2$的最大值，
$$||A\mathbf{x}|{|}^2=(A\mathbf{x}{)}^T(A\mathbf{x})={\mathbf{x}}^T{A}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{x}}^T(A^{T}A)\mathbf{x}$$
而$(A^{T}A{)}^T=A^T{A}^{TT}=A^{T}A$，$A^{T}A$转置等于自身，是对称矩阵。根据前面对二次型的介绍，最大值的模是$A^{T}A$的最大特征值${\lambda }_1$，此时$\mathbf{x}$为最大特征值${\lambda }_1$对应的特征向量${\mathbf{v}}_1$，令${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$，叫做作矩阵$A$的奇异值，故$||A\mathbf{x}||$的最大值为${\sigma }_1=\sqrt{{\lambda }_1}$.
考虑到${\mathbf{v}}_1$是$m\times 1$,令${\mathbf{u}}_1$是${\mathbb{R}}^n$空间的单位基，则$A{\mathbf{v}}_1={\sigma }_1{\mathbf{u}}_1$，进而推广$A{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}={\sigma }_i{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}$，这个推广是可行的，因为$A^{T}A$是对称矩阵，所以$v_i$之间相互正交(特征值一节已经证明，且证明比较简单)。幸运的是，在${\mathbb{R}}^n$空间中，${\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}$在奇异值不同的情况下也是相互正交的，因为：
设${\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}$和${\mathbf{u}}_{\mathbf{j}}$对应不同奇异值${\sigma }_i$和${\sigma }_j$，则
$$\begin{gathered} {\sigma }_i{\sigma }_j{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}\cdot {\mathbf{u}}_{\mathbf{j}}=({\sigma }_i{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}{)}^T({\sigma }_j{\mathbf{u}}_{\mathbf{j}}) \\ =(A{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}{)}^T(A{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}})={{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}}^T(A^{T}A){\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}={{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}}^T{\lambda }_j{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}=0 \end{gathered}$$
下面来讨论，为什么要通过研究$||A\mathbf{x}||$的最大值、次大值来引入奇异值的分析。首先当然是出于类比的原因，因为特征值和特征向量就是对单位向量拉长最大、次大。。的数值和方向。如果不加最大值这个限制，还能不能分解$A$呢？此时仍旧可以分解$A=QMV$，$Q,V$分别是$m\times m,n\times n$的单位正交基，问题就在于，此时M就不是奇异值构成的对角阵了，且计算是比较复杂的，其实对称矩阵也可以写成非特征向量构成的P满足$A=PM{P}^{-1}$的形式，但是此时只是换了一组正交基，不能发现矩阵的本质特性，不能简化运算。按照这种分解方式，研究的是矩阵在椭圆的长轴、次长轴…一个分解的性质，具有明确的几何意义和物理意义。也正是因为奇异值分解有求取$||A\mathbf{x}||$最大值的含义，使其可以用于主成分分析法，拉长最大的方向，是将原像数据映射到像空间导致差别最大的数据，含有最多的分类信息量。

举个例子
求取$A=\left[\begin{array}{rlr}1& & -1\\ -2& & 2\\ 2& & -2\end{array}\right]$
第一步：先求$A^{T}A=\left[\begin{array}{rlr}9& & -9\\ -9& & 9\end{array}\right]$
第二步：求$A^{T}A$的特征值${\lambda }_1=18,{\lambda }_2=0$和特征向量
$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{r}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{r}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$
第三步：求$U$. 只能求得一个非零向量$${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{{\sigma }_1}A{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{r}\frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right]$$
使用格拉姆施密特方法补齐U的单位正交基。$x_1-2x_2+2x_3=0$，分别取$x_2=0,x_3=1,则x_1=-2$和$x_1=0,x_2=1,则x_3=1$，此时后两个向量都和${\mathbf{u}}_1$正交，有格拉姆施密特方法，求得$${\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{r}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ -\frac{\sqrt{2}}{6}\\ \frac{\sqrt{2}}{6}\end{array}\right]{\mathbf{u}}_3=\left[\begin{array}{r}0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$
求得A的奇异值分解为$$A=U\Sigma V^T=\left[\begin{array}{rlrlr}\frac{1}{3}& & -\frac{2\sqrt{2}}{3}& & 0\\ -\frac{2}{3}& & -\frac{\sqrt{2}}{6}& & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{2}{3}& & \frac{\sqrt{2}}{6}& & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{rlr}3\sqrt{2}& & 0\\ 0& & 0\\ 0& & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rlr}\frac{\sqrt{2}}{2}& & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$
对于非0奇异值$3\sqrt{2}$实际上只有一个非零向量${\mathbf{v}}_1$和${\mathbf{u}}_1$，$U,V$其余的正交基是为了满秩补齐的，实际上，在分解和计算A的时候，完全可以使用0进行填充，对与计算A没有任何影响。另外，对于$U$因为只有一个正交基，所以另外的两个单位正交基实际上并不是唯一的(补齐它们，实际对计算A没有任何影响，因为在计算矩阵的时候，他们将和$\Sigma$里的0值相乘)
对于奇异值分解若$A=U\Sigma V^T$，则$A^T=V\Sigma U^T$。对于$A$的奇异值分解，若${\lambda }_i,{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$分别是$A^{T}A$的一个特征值和特征向量，${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$是对应的奇异值，则有$A{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}={\sigma }_i{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}$，${\sigma }_i{A}^T{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}=A^{T}A{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}={\lambda }_i{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$，所以$A^T{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}=\frac{{\lambda }_i}{{\sigma }_i}{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}={\sigma }_i{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$，所以，如果$V$的某一列是$A$原像空间的单位正交基，$U$的对应列是$A$的像空间的单位正交基，则$U$的该列是$A^T$原像空间的单位正交基，$V$的对应列是$A^T$的像空间的单位正交基。所以$A^T$的奇异值分解有上述形式。此处没有证明$A^{T}A$和$A{A}^T$具有相同的非零特征值。
基于这个原因对于求$A_{m\times n}$的奇异值分解(m<<n)，可以通过求$A^T$的奇异值分解来实现，则计算复杂度降低：计算$A^{T}A$复杂度从$2m{n}^2$下降到$2m^n$，计算行列式的时间复杂度由$n!$下降到$m!$
因此，如果上面计算$A^T$的奇异值分解，可以立即得到$A^T=(U\Sigma V^T{)}^T=V\Sigma U^T$，而上述矩阵均为已知。