Leetcode 寻找峰值

为了实现时间复杂度为 $O(\log n)$，可以使用二分查找法：

解题思路：

1. 峰值的特性是：当前元素大于左右相邻元素。
2. 使用二分法：
   • 如果 nums[mid] > nums[mid + 1]，说明峰值在左侧或当前 mid 位置（包括 mid），因此将 right = mid。
   • 否则峰值在右侧，因此将 left = mid + 1。
3. 不断收缩区间，直到 left == right，此时即找到峰值。

时间复杂度：

• 时间复杂度：(O(\log n))，因为每次迭代都将搜索范围减半。
• 空间复杂度：(O(1))，不需要额外的空间。

java 实现

class Solution {public int findPeakElement(int[] nums) {int left = 0, right = nums.length - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;// 如果中点比右侧元素大，说明峰值在左侧（包括mid）if (nums[mid] > nums[mid + 1]) {right = mid;} else { // 否则峰值在右侧left = mid + 1;}}// 最终left和right会相遇，此时即为峰值位置return left;}
}

数组即便不是有序的，为什么仍然二分查找仍然可以找到峰值？

这是因为这道题的二分查找并不依赖于数组是否有序，而是利用了“峰值”的定义和数组的局部特性。

关键点

1. 题目定义的峰值条件：

   • 峰值是指某个元素严格大于其左右邻居的元素。
   • 如果一个元素 nums[mid] > nums[mid + 1]，那么在 mid 或者其左侧一定存在一个峰值。
   • 如果 nums[mid] < nums[mid + 1]，那么在 mid 的右侧一定存在一个峰值。

2. 为什么可以二分？
   二分查找的核心在于：

   • 每次选择一个中间点 mid，并根据某个条件判断下一个搜索范围。
   • 在这道题中，“峰值”可以通过比较 nums[mid] 和 nums[mid + 1] 来判断范围：
     • 如果 nums[mid] > nums[mid + 1]：
       • 峰值在左侧或就是 mid，因为 mid 本身比右边的大（局部性质），可以舍弃右侧部分。
     • 如果 nums[mid] < nums[mid + 1]：
       • 峰值一定在右侧，因为右边存在一个更大的值，最终会到达一个下降点形成峰值。

   这利用了“递增到下降”的局部特性来缩小搜索范围。

3. 数学直观解释：

   • 假设数组中不存在连续相等的数字（即没有平缓区域），并且在数组两端可以假想有值为负无穷的元素（题目已假设 nums[-1] = nums[n] = -∞）。
   • 在数组中总能找到一个峰值元素，原因是：
     • 如果数组中存在一个“上升”趋势，例如 nums[i] < nums[i+1]，那么在右侧一定有一个峰值。
     • 如果数组中存在一个“下降”趋势，例如 nums[i] > nums[i+1]，那么左侧也一定存在一个峰值。

   这种趋势保证了每次二分缩小范围后，最终一定会收敛到某个峰值点。

4. 非有序数组的适用性：
   题目并没有要求数组有序。因为峰值是局部性质（仅与相邻元素有关），只需要每次确定搜索方向，而不是依赖整体有序性。二分查找法的效率仍然得以保证。

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举例说明

以数组 nums = [1, 2, 1, 3, 5, 6, 4] 为例：

• 初始：
  • left = 0, right = 6，取中间点 mid = 3，nums[mid] = 3。
  • 比较 nums[mid] 和 nums[mid + 1]，3 < 5，说明右侧有峰值，更新 left = mid + 1。
• 第二轮：
  • left = 4, right = 6，取中间点 mid = 5，nums[mid] = 6。
  • 比较 nums[mid] 和 nums[mid + 1]，6 > 4，说明左侧有峰值，更新 right = mid。
• 第三轮：
  • left = 4, right = 5，取中间点 mid = 4，nums[mid] = 5。
  • 比较 nums[mid] 和 nums[mid + 1]，5 < 6，说明右侧有峰值，更新 left = mid + 1。
• 最终：
  • left = right = 5，返回 5，此时峰值为 6。

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总结

二分查找法在这道题中能用，是因为：

1. 峰值的定义是局部性质，不依赖数组整体有序性。
2. 每次比较中点和其右侧元素，可以有效缩小搜索范围。
3. 这种方法本质上是利用数组的递增和递减趋势来确定峰值位置。