从二维到一维:动态规划矩阵问题的优化之道
动态规划中的矩阵问题是非常经典的应用场景,比如最小路径和问题。这类问题很自然地可以想到使用二维 dp
数组来求解。
我们定义:
dp[i][j]
表示从矩阵的第 i行第 j列到右下角的最小路径和。
基本解法
求解过程从右下角开始,向左上角遍历,每次选择当前位置右方和下方的最小路径和来更新当前格子的状态。
状态转移方程为:
dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i+1][j], dp[i][j+1])
这种方法思路清晰,容易实现。然而,空间复杂度为 O(NM),有优化的空间。
优化空间复杂度
通过观察可以发现,每次计算某个位置时,只需要用到当前位置的右方和下方的状态值。因此,我们可以用一个 一维数组 dp
来代替二维数组,从而将空间复杂度优化为 O(N)。
优化方法
我们仍然从矩阵右下角开始倒序遍历。假设当前 dp
数组表示最后一行的状态,状态转移方程如下:
-
遍历最后一行
因为最后一行没有下方格子,所以每个位置的状态只需要考虑右方状态:
dp[j] = grid[i][j] + dp[j+1] -
遍历最后一列
因为最后一列没有右方格子,所以每个位置的状态只需要考虑下方状态(即当前dp[j]
):
dp[j] = grid[i][j] + dp[j] -
遍历其他位置
对于矩阵中其他位置,需要同时参考右方和下方状态:
dp[j] = grid[i][j] + min(dp[j], dp[j+1])
这样,dp
数组在整个计算过程中始终保持当前位置右方和下方的最小路径和。
实现代码
def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:rows = len(grid)cols = len(grid[0])dp = grid[rows-1]for i in range(rows - 1, -1, -1):for j in range(cols - 1, -1, -1):if i == rows - 1 and j == cols - 1:continueelif i == rows - 1:dp[j] += dp[j+1]elif j == cols - 1:dp[j] += grid[i][j]else:dp[j] = min(dp[j],dp[j+1])+grid[i][j]return dp[0]
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