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1.摘要

本文研究了解决二阶段非线性固定费用运输问题（Two-stage NFCTP），该问题的特点是每条运输弧线都与固定费用和与运输量的平方成正比的变量费用相关联。由于涉及固定费用和非线性组件，问题被归类为NP-hard问题，因此本文提出了混沌可行性恢复粒子群算法（CEPSO），该算法引入非线性自适应惯性权重和加速度系数，以改善搜索过程中的探索和开发能力；集成十种混沌映射到加速度系数，进一步提升优化性能；采用可行性恢复机制，包括约束遵循调整和比例调整程序，确保生成的解始终满足可行性要求。

2.改进策略

位置更新

在PSO算法中，速度更新方程中的惯性权重$w$和加速度系数$c_1,c_2$是引导搜索向最优解靠近的关键因素。本研究对这两个关键参数进行了改进:
$$\{\begin{array}{ll}{c}_1(t)=c_{max}-(c_{max}-c_{min})\ast (t/t_{max}{)}^{{\varphi }_1},& \\ c_2(t)=c_{min}+(c_{max}-c_{min})\ast (t/t_{max}{)}^{{\varphi }_1},& \\ \omega (t)={\omega }_{max}-({\omega }_{max}-{\omega }_{min})\ast (t/t_{max}{)}^{{\varphi }_2},& \end{array}$$

为了进一步增强所提算法的优化能力，论文将混沌映射引入了第一步中定义的加速度系数。混沌映射的引入为算法增加了锯齿形的特性，从而提升了搜索过程的多样性和跳跃性，归一化：
$$\begin{array}{c}nor{m}_{c{h}_m}(t)=\frac{(c{h}_m(t)-a)\times (chValue(t)-0)}{b-a}+0,\\ =\frac{(c{h}_m(t)-a)\times chValue(t)}{b-a},\end{array}$$
$m$表示混沌映射的索引，$chValue(t)$表示归一化范围且随着每次迭代按比例减小：
$$chValue(t)=chMax-(chMax-chMin)\ast (t/t_{max})$$
因此，混沌加速系数：
$$\{\begin{array}{ll}{c}_1^{\prime }(t)=nor{m}_{c{h}_m}(t)+c_1(t),& \\ c_2^{\prime }(t)=nor{m}_{c{h}_m}(t)+c_2(t).& \end{array}$$

将混沌映射积分到加速度系数后，CEPSO中每个粒子更新后的速度和位置更新:
$$\{\begin{array}{ll}{v}_{i,k}(t+1)& \\ =\omega (t)\cdot v_{i,k}(t)+c_1^{\prime }(t)r_1\cdot (x_{pbes{t}_l}(t)-x_{i,k}(t))+c_2^{\prime }(t)r_2\cdot (x_{gbest}(t)-x_{i,k}(t)),& \\ x_{i,k}(t+1)=x_{i,k}(t)+v_{i,k}(t+1),& \end{array}$$

伪代码

3.结果展示

4.参考文献

[1] Chauhan D, Rani D. A feasibility restoration particle swarm optimizer with chaotic maps for two-stage fixed-charge transportation problems[J]. Swarm and Evolutionary Computation, 2024, 91: 101776.

5.代码获取