当前位置: 首页 > news >正文

有理函数的不定积分习题

前置知识:有理函数的不定积分

习题

计算 ∫ x 3 + 1 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x d x \int \dfrac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}dx x43x3+3x2xx3+1dx

解:
\qquad 将被积函数的分母因式分解得

x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x = x ( x − 1 ) 3 x^4-3x^3+3x^2-x=x(x-1)^3 x43x3+3x2x=x(x1)3

设被积函数有分解式

x 3 + 1 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x = A x + B x − 1 + C ( x − 1 ) 2 + D ( x − 1 ) 3 \dfrac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}=\dfrac Ax+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2}+\dfrac{D}{(x-1)^3} x43x3+3x2xx3+1=xA+x1B+(x1)2C+(x1)3D

将上式右端通分合并,分母相等,分子也应相等,得

x 3 + 1 = ( A + B ) x 3 + ( − 3 A − 2 B + C ) x 2 + ( 3 A + B − C + D ) x − A x^3+1=(A+B)x^3+(-3A-2B+C)x^2+(3A+B-C+D)x-A x3+1=(A+B)x3+(3A2B+C)x2+(3A+BC+D)xA

可列方程组

{ A + B = 1 − 3 A − 2 B + C = 0 3 A + B − C + D = 0 − A = 1 \begin{cases} A+B=1 \\ -3A-2B+C=0 \\ 3A+B-C+D=0 \\ -A=1 \end{cases} A+B=13A2B+C=03A+BC+D=0A=1

解得

{ A = − 1 B = 2 C = 1 D = 2 \begin{cases} A=-1 \\ B=2 \\ C=1 \\ D=2 \end{cases} A=1B=2C=1D=2

所以

\qquad 原式 = − ∫ 1 x d x + 2 ∫ 1 x − 1 d x + ∫ 1 ( x − 1 ) 2 d x + 2 ∫ 1 ( x − 1 ) 3 d x =-\int \dfrac 1xdx+2\int \dfrac{1}{x-1}dx+\int \dfrac{1}{(x-1)^2}dx+2\int \dfrac{1}{(x-1)^3}dx =x1dx+2x11dx+(x1)21dx+2(x1)31dx

= − ln ⁡ ∣ x ∣ + 2 ln ⁡ ∣ x − 1 ∣ − 1 x − 1 − 1 ( x − 1 ) 2 + C \qquad\qquad =-\ln|x|+2\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2}+C =lnx+2lnx1∣x11(x1)21+C

相关文章:

有理函数的不定积分习题

前置知识:有理函数的不定积分 习题 计算 ∫ x 3 1 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x d x \int \dfrac{x^31}{x^4-3x^33x^2-x}dx ∫x4−3x33x2−xx31​dx 解: \qquad 将被积函数的分母因式分解得 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x x ( x − 1 ) 3 x^4-3x^33x^2-xx…...

PS滤镜插件-Nik Collection介绍

PS滤镜插件-Nik Collection介绍 什么是Nik CollectionNik Collection都包含什么? 什么是Nik Collection Nik Collection是一款PS滤镜插件套装,其包含了八款PS插件,功能涵盖修图、调色、降噪、胶片滤镜等方面。Nik Collection 作为很多摄影师…...

力扣刷题2023-05-04-1——题目:2614. 对角线上的质数

题目: 给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 nums 。 返回位于 nums 至少一条 对角线 上的最大 质数 。如果任一对角线上均不存在质数,返回 0 。 注意: 如果某个整数大于 1 ,且不存在除 1 和自身之外的正整数因子,…...

【Java笔试强训 2】

🎉🎉🎉点进来你就是我的人了博主主页:🙈🙈🙈戳一戳,欢迎大佬指点! 欢迎志同道合的朋友一起加油喔🤺🤺🤺 目录 一、选择题 二、编程题 🔥排序子…...

术数基础背诵口诀整理

物象对应 五行方位天干神兽季节气候星宿生成数脏器木东甲乙青龙春风岁八肝火南丙丁朱雀夏热荧惑七心土中戊己?长夏湿镇五脾金西庚辛白虎秋燥太白九肺水北壬癸玄武冬寒辰六肾 口诀:东方甲乙青龙木,南方丙丁朱雀火,戊己勾陈腾蛇土&…...

Linux 基础语法 -2

如果我们以后再Linux当中 写了一些命名,导致程序我们不能进行操作了,如这个死循环: 他就会一直输出 "hello Linux" ,我们就使用 ctrl c 来终止因为程序或者指令异常,而导致我们无法进行指令输入&#xff…...

深度学习框架发展趋势

深度学习方法的发展是推动深度学习框架进步的最大动力,因此深度学习框架的功能和设计应顺应 算法和模型的发展趋势: 第一,易用性。深度学习领域仍处于快速发展期,参与者和学习者不断增加,新模型大量提出。因 此&#…...

Mysql为json字段创建索引的两种方式

目录 一、前言二、通过虚拟列添加索引(Secondary Indexes and Generated Columns)三、多值索引(Using multi-valued Indexes)四、官网地址 一、前言 JSON 数据类型是在mysql5.7版本后新增的,同 TEXT,BLOB …...

cassandra数据库入门-4

插入数据 在表中创建数据 您可以使用命令 INSERT 将数据插入表中一行的列中。 下面给出了在表中创建数据的语法。 INSERT INTO <tablename> (<column1 name>, <column2 name>....) VALUES (<value1>, <value2>....) USING <option> 例子…...

微服务学习——分布式搜索

初识elasticsearch 什么是elasticsearch elasticsearch是一款非常强大的开源搜索引擎&#xff0c;可以帮助我们从海量数据中快速找到需要的内容。 elasticsearch结合kibana、Logstash、Beats&#xff0c;也就是elastic stack(ELK)。被广泛应用在日志数据分析、实时监控等领域…...

ChatGPT根据销售数据、客户反馈、财务报告,自动生成报告,并根据不同利益方的需要和偏好进行调整?

该场景对应的关键词库&#xff08;24个&#xff09;&#xff1a; 汇报对象身份&#xff08;下属、跨部门平级、领导&#xff09;、销售数据&#xff08;销售额、销售量、销售渠道&#xff09;、财务报告&#xff08;营业收入、净利润、成本费用&#xff09;、市场分析&#xf…...

Flask开发之环境搭建

目录 1、安装flask 2、创建Flask工程 ​编辑 3、初始化效果 4、运行效果 5、设置Debug模式 6、设置Host 7、设置Port 8、在app.config中添加配置 1、安装flask 如果电脑上从没有安装过flask&#xff0c;则在命令行界面输入以下命令&#xff1a; pip install flask 如果电…...

Java集合框架与ArrayList、LinkedList的区别

文章目录 Java集合框架与ArrayList、LinkedList的区别集合框架ArrayList特点操作 LinkedList特点操作 区别代码实践注意事项 Java集合框架与ArrayList、LinkedList的区别 在Java中&#xff0c;集合框架是非常重要的一部分。集合框架提供了各种数据结构和算法&#xff0c;可以方…...

python-pandas库

目录 目录 目录 1.pandas库简介&#xff08;https://www.gairuo.com/p/pandas-overview&#xff09; 2.pandas库read_csv方法&#xff08;https://zhuanlan.zhihu.com/p/340441922?utm_mediumsocial&utm_oi27819925045248&#xff09; 1.pandas库简介&#xff08;http…...

C++学习day--01 C生万物

1、C/C学习中遇到的问题&#xff1a; 1. 大部分初学者&#xff0c;学习 C/C 都是从入门到放弃。 C/C太难吗&#xff1f; 2. 90% 以上的初学者&#xff0c;学完 C/C 以后&#xff0c;考试完了&#xff0c;书看完了&#xff0c; 但还是不会做项目 是学的不够好吗&#xff1…...

链表及链表的常见操作和用js封装一个链表

最近在学数据结构和算法&#xff0c;正好将学习的东西记录下来&#xff0c;我是跟着一个b站博主学习的&#xff0c;是使用js来进行讲解的&#xff0c;待会也会在文章后面附上视频链接地址&#xff0c;大家想学习的可以去看看 本文主要讲解单向链表&#xff0c;双向链表后续也会…...

源码安装工具checkinstall使用

每当从源码包编译程序时&#xff0c;安装过程很愉快&#xff0c;但当你想删除时&#xff0c;就很费脑筋了&#xff0c;你可能要去找你当时编译的目录执行make unistall&#xff0c;当然更可能的是&#xff0c;你早就把源码包给删除了&#xff0c;对于强迫症来说&#xff0c;这显…...

离散数学集合论

集合论 主要内容 集合基本概念 属于、包含幂集、空集文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式 集合运算的算律&#xff0c;恒等式的证明方法 集合的基本概念 集合的定义 集合没有明确的数学定义 理解&#xff1a;由离散个体构成的整体称为集合&#xff0c…...

TypeScript 基础

类型注解 类型注解&#xff1a;约束变量的类型 示例代码: let age&#xff1a;number 18 说明&#xff1a;代码中的 :number 就是类型注解 解释&#xff1a;约定了类型&#xff0c;就只能给变量赋值该类型的值&#xff0c;否则&#xff0c;就会报错 错误演示&#xff1a;…...

MySQL InnoDB引擎 和 Oracle SGA

MySQL InnoDB引擎和Oracle SGA有以下异同&#xff1a; 异同点&#xff1a; 两者都是用来管理数据存储和访问的。 它们都可以通过调整参数来优化性能。 它们都支持事务处理和ACID属性。 它们都可以通过备份和恢复来保护数据。 异点&#xff1a; MySQL InnoDB引擎是一种存储…...

观成科技:隐蔽隧道工具Ligolo-ng加密流量分析

1.工具介绍 Ligolo-ng是一款由go编写的高效隧道工具&#xff0c;该工具基于TUN接口实现其功能&#xff0c;利用反向TCP/TLS连接建立一条隐蔽的通信信道&#xff0c;支持使用Let’s Encrypt自动生成证书。Ligolo-ng的通信隐蔽性体现在其支持多种连接方式&#xff0c;适应复杂网…...

基于FPGA的PID算法学习———实现PID比例控制算法

基于FPGA的PID算法学习 前言一、PID算法分析二、PID仿真分析1. PID代码2.PI代码3.P代码4.顶层5.测试文件6.仿真波形 总结 前言 学习内容&#xff1a;参考网站&#xff1a; PID算法控制 PID即&#xff1a;Proportional&#xff08;比例&#xff09;、Integral&#xff08;积分&…...

遍历 Map 类型集合的方法汇总

1 方法一 先用方法 keySet() 获取集合中的所有键。再通过 gey(key) 方法用对应键获取值 import java.util.HashMap; import java.util.Set;public class Test {public static void main(String[] args) {HashMap hashMap new HashMap();hashMap.put("语文",99);has…...

深入浅出:JavaScript 中的 `window.crypto.getRandomValues()` 方法

深入浅出&#xff1a;JavaScript 中的 window.crypto.getRandomValues() 方法 在现代 Web 开发中&#xff0c;随机数的生成看似简单&#xff0c;却隐藏着许多玄机。无论是生成密码、加密密钥&#xff0c;还是创建安全令牌&#xff0c;随机数的质量直接关系到系统的安全性。Jav…...

YSYX学习记录(八)

C语言&#xff0c;练习0&#xff1a; 先创建一个文件夹&#xff0c;我用的是物理机&#xff1a; 安装build-essential 练习1&#xff1a; 我注释掉了 #include <stdio.h> 出现下面错误 在你的文本编辑器中打开ex1文件&#xff0c;随机修改或删除一部分&#xff0c;之后…...

从深圳崛起的“机器之眼”:赴港乐动机器人的万亿赛道赶考路

进入2025年以来&#xff0c;尽管围绕人形机器人、具身智能等机器人赛道的质疑声不断&#xff0c;但全球市场热度依然高涨&#xff0c;入局者持续增加。 以国内市场为例&#xff0c;天眼查专业版数据显示&#xff0c;截至5月底&#xff0c;我国现存在业、存续状态的机器人相关企…...

微信小程序 - 手机震动

一、界面 <button type"primary" bindtap"shortVibrate">短震动</button> <button type"primary" bindtap"longVibrate">长震动</button> 二、js逻辑代码 注&#xff1a;文档 https://developers.weixin.qq…...

Spring数据访问模块设计

前面我们已经完成了IoC和web模块的设计&#xff0c;聪明的码友立马就知道了&#xff0c;该到数据访问模块了&#xff0c;要不就这俩玩个6啊&#xff0c;查库势在必行&#xff0c;至此&#xff0c;它来了。 一、核心设计理念 1、痛点在哪 应用离不开数据&#xff08;数据库、No…...

云原生安全实战:API网关Kong的鉴权与限流详解

&#x1f525;「炎码工坊」技术弹药已装填&#xff01; 点击关注 → 解锁工业级干货【工具实测|项目避坑|源码燃烧指南】 一、基础概念 1. API网关&#xff08;API Gateway&#xff09; API网关是微服务架构中的核心组件&#xff0c;负责统一管理所有API的流量入口。它像一座…...

打手机检测算法AI智能分析网关V4守护公共/工业/医疗等多场景安全应用

一、方案背景​ 在现代生产与生活场景中&#xff0c;如工厂高危作业区、医院手术室、公共场景等&#xff0c;人员违规打手机的行为潜藏着巨大风险。传统依靠人工巡查的监管方式&#xff0c;存在效率低、覆盖面不足、判断主观性强等问题&#xff0c;难以满足对人员打手机行为精…...