【树和二叉树】数据结构二叉树和树的概念认识

前言：在之前，我们已经把栈和队列的相关概念以及实现的方法进行了学习，今天我们将认识一个新的知识“树”！！！

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空树T，具有以下特点：

①.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点,除根节点之外所有结点有且只有一个前驱结点；
②.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
如何理解其中的“子树”呢？我们以下图为例：

开始时以A为根，我们可以发现A的子树有B和C两棵（即跟A类似的结构），紧接着子树B和C又根据这样的规则在依次向下，因此我们不难发现，任何一棵树都可以分解成根和N棵子树（N>=0）。

因此，可以得出结论树是递归定义的

树的结构定义是一个递归的定义，即在树的定义中又用到树的定义，它道出了树的固有特性。树还可以有其他的表示形式，如图5.2所示为图5.1( b）中树的各种表示。其中（ a）是以嵌套集合（即是一些集合的集体，对于其中任何两个集合，或者不相交，或者一个包含另一个）的形式表示的；（b）是以广义表的形式表示的，根作为由子树森林组成的表的名字写在表的左边；( c）用的是凹入表示法（类似书的编目）。表示方法的多样化，正说明了树结构在日常生活中及计算机程序设计中的重要性。一般来说，分等级的分类方案都可用层次结构来表示，也就是说，都可由一个树状结构来表示。

注意：

从其中我们还可以得出一个结论每个结点最多有一个父结点，需要注意的是虽然子树的个数没有限制，但是它们一定是互不交互的，下面的图明显不符合相应的原则，所以不是树

1.2树的结构

1.3树的相关概念

1.节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
2.叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
3.非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
4.双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
5.孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
6.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
7.树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
8.节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9.树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
10.堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
11.节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
12.子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
13.森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.4 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

那么到底是如何实现的呢？我们通过下图来进行了解：

上图的链接过程可以通过以下展示出来：

解答：

开始时我们定义一个孩子指针和一个兄弟指针，第一步根结点的孩子指针指向根节点的第一个孩子，而根节点的其他孩子结点就根据第一个孩子结点的兄弟指针来进行链接操作，等兄弟指针指向空时即结束，以此类推后面。

1.5 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

二叉树是n（n>=0)个结点所构成的集合，它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空树T：

(1)或者为空
(2) 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

二叉树的递归定义表明二叉树或为空，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的，互不相交的二叉树组成。由于这两棵子树也是二叉树，则由二叉树的定义，它们也可可以是空树。由此，二叉树可以有5种基本形态：

2.2现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2的k次方减1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

2.4 二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>=1）

性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1）

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0 = n2+1

一棵二叉树，除了终端结点（叶子结点），就是度为1或2的结点。假设n1表示度为1的结点数，则树 T 的结点总数n=n0+n1+n2,我们再换个角度，看一下树T的连接线数，除了根节点，其他结点都有一根线表示分支进入，所以连接线数为结点总数减去1。按连接线树算的话：n-1=n1+2n2，可推导出n0+n1+n2-1 = n1+2n2，继续推导可得n0 = n2+1

满二叉树：深度为 k 且含有 2k-1个结点

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n ] + 1

性质5：如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为[log2n ] + 1）的结点按层序编号（从第1层到第[log2n ] + 1层，每层从左到右），对任一结点i(1<=i<=n)有：

1.如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点 [i/2]

2.如果2i>n,则结点 i 无孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2i

3.如果2i+1>n,则结点 i 无右孩子；否则其右孩子是结点 2i+1

3.选择题

1.一棵完全二叉树共有 1001 个结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A.250
B.254
C.500
D.501

解答：

设二叉树中度为0的叶子结点个数为n0，度为1结点个数为n1，度为2结点个数为n2，于是n0 + n1 + n2 = 1001，根据二叉树性质：n0 = n 2 + 1，代入得到，2n2 + n1 = 1001 由于完全二叉树的n1 只能是0或者1，为满足2n2 + n1 = 1001，n1 = 1，因此n2 = 500 所以n0 = 501，即叶子个数是501个，所以选D

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

解答：

完全二叉树是指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点。根据完全二叉树性质，如果共 2n个结点，从根结点开始按层序用自然数 1 ， 2 ，…， 2n 给结点编号，则编号为 n 的结点左子结点编号为 2n ，因此叶子结点编号为n+1,n+2, … ,2n 。故叶子结点个数为 n ，本题答案为 A 选项。