概率论与数理统计：第六章:数理统计

Ch6. 数理统计

(一) 总体与样本

1.概念：
(1)总体

(2)样本
简单随机样本，简称样本。样本与总体 独立同分布。(取自总体的样本，相互之间都独立，且与总体分布相同)

(3)样本的分布

2.性质：
设$X_1,X_2,X_3,...,X_n（n>1）$为来自总体 N(μ,σ²) （σ>0）的简单随机样本（独立同分布），$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，则有：
①$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
②$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$
③$\mathrm{Cov}(X_i,\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$

证明：

3.样本与总体 独立同分布，期望相同，方差也相同
①样本的期望与总体的期望相同：$E(X_i)=E(X)$，$\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=nE(X)$
②样本的方差与总体的方差相同：$D(X_i)=D(X)$，$\sum _{i=1}^{n}D(X_i)=nD(X)$

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例题1：18年23(2)
例题2：16年23(1)

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(二) 统计量 (5个)

1.概念
(1)统计量的定义

(2)顺序统计量

顺序统计量	定义	分布函数	概率密度
①第n顺序统计量 $X_{(n)}$	m a x { X 1 , X 2 , . . . , X n } max\{X_1,X_2,...,X_n\} max{X1​,X2​,...,Xn​}	$[F(x){]}^n$	$n[F(x){]}^{n-1}f(x)$
②第1顺序统计量 $X_{(1)}$	m i n { X 1 , X 2 , . . . , X n } min\{X_1,X_2,...,X_n\} min{X1​,X2​,...,Xn​}	$1-[1-F(x){]}^n$	$n[1-F(x){]}^{n-1}f(x)$

2.5个常用统计量

①样本均值：$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$   ∴$\sum _{i=1}^n{X}_i=n\bar{X}$

②样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$=\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2)$，$E(S^2)={\sigma }^2$

样本标准差：$S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}$

③样本k阶(原点)矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k(k=1,2,...)$

④样本k阶中心矩：$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k(k=2,3,...)$

①k阶原点矩是 $(X_i-0{)}^k$，k阶中心矩是$(X_i-\bar{X}{)}^k$
②样本均值是一阶原点矩，二阶中心矩$B_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\frac{n-1}{n}{S}^2$

3.矩的概念

①原点矩 A

样本k阶原点矩 $A_k$	总体k阶原点矩
$A_1=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\bar{X}$ (样本一阶原点矩，即为均值)	E(X)
$A_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$	E(X²)
…	…
$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k,k=1,2,...$	E(Xk)

②中心距 B

样本k阶中心矩 $B_k$	总体k阶中心矩
$B_1=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X})$	$E(X-EX)$
$B_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\frac{n-1}{n}{S}^2$	$E[(X-EX{)}^2]=DX$
…	…
$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k$	$E[(X-EX{)}^k]$

总体矩的矩估计量为样本矩：
①EX的矩估计量为$A_1=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\bar{X}$
②DX的矩估计量为$B_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\frac{n-1}{n}{S}^2$

(三) 抽样分布 (3个)

三大抽样分布，均与正态总体有关。总体与样本服从标准正态分布N(0,1)。

0.上α分位点

正态分布的上α分位点：$\Phi (Z_{\frac{\alpha }{2}})=1-\frac{\alpha }{2}$

1.χ²分布

1.χ²分布的定义
若$X_1\sim N(0,1)$，则$X_1^2\sim {\chi }^2(1)$

设X₁,X₂,…,X_n为正态总体N(0,1)的样本 ($X_i$相互独立且同分布)，则把统计量
$${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$$
服从的分布称为 自由度为n的χ²分布，记作 χ²~χ²(n)

2.χ²分布的上α分位点

3.χ²分布的性质

1. χ²分布的数字特征： E(χ²)=n，D(χ²)=2n
2. χ²分布的独立可加性：设 ${\chi }_1^2\sim {\chi }^2(n_1),{\chi }_2^2\sim {\chi }^2(n_2)$，且${\chi }_1^2$与${\chi }_2^2$相互独立，则${\chi }_1^2+{\chi }_2^2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$
   

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例题1：

分析：

答案：$\frac{1}{20}$、$\frac{1}{100}$、2

例题2：11年23.(2)

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2.t分布

1.t分布定义
设$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$，且X,Y相互独立，则把统计量 $t=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$
服从的分布称为自由度为n的t分布，记作 $t\sim t(n)$

t(n)的概率密度h(t)关于t=0对称。当自由度n→∞时，t分布的极限就是标准正态分布，n≥30即可

2.t分布的上α分位点
$x=t_{\alpha }(n)$右侧的面积(概率)为α，则称 $t_{\alpha }(n)$为上α分位点

$x=t_{1-\alpha }(n)$右侧的面积(概率)为1-α，则称 $t_{1-\alpha }(n)$为上1-α分位点

t分布的概率密度是偶函数

3.t分布性质
1.$E(t)=0$
2.上α分位点： $t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$

3.F分布

1.F分布定义
设$X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$，且X,Y相互独立，则把随机变量 $F=\frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}$

服从的分布称为自由度为(n₁,n₂)的F分布，其中n₁称为第一自由度，n₂称为第二自由度，记作$F\sim F(n_1,n_2)$

2.F分布性质
1.若$F\sim F(n_1,n_2)$，则$\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$

2.上α分位点： $\frac{1}{F_{\alpha }(n_1,n_2)}=F_{1-\alpha }(n_2,n_1)$

3.t分布与F分布的关系
$若t\sim t(n)，则t^2\sim F(1,n)，\frac{1}{t^2}\sim F(n,1)$

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例题1：03年12.   t分布与F分布的关系

分析：
$X\sim t(n)，X^2\sim F(1,n)，\frac{1}{X^2}\sim F(n,1)$

答案：C

例题2：13年8.

分析：X~t(n), 则 X²=Y~F(1，n)
∴P{Y>c²}=P{X²>c²}=P{X>c}+P{X<-c}=α+α=2α

答案：C

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(四) 抽样分布定理

设总体 $X\sim N(\mu ，{\sigma }^2)$，样本为 $X_1,X_2,...,X_n$，独立同分布于总体

1.单个正态总体

1.样本均值：$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$，$\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\frac{(\bar{X}-\mu )\sqrt{n}}{\sigma }\sim N(0,1)$

2.$\sum _{i=1}^n(\frac{X_i-\mu }{\sigma }{)}^2\sim {\chi }^2(n)$

3.$\sum _{i=1}^n(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma }{)}^2=$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

∴ $E(S^2)={\sigma }^2，D(S^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n-1}$

4.$\frac{(\bar{X}-\mu )}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)$

∴$\frac{n(\bar{X}-\mu {)}^2}{S^2}\sim F(1,n-1)$

5.样本均值$\bar{X}$与样本方差$S^2$相互独立，即$E(\bar{X}S)=E(\bar{X})E(S)$

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例题1：23李林四(四)16.

分析：样本均值$\bar{X}$与样本方差$S^2$相互独立，即$E(\bar{X}S)=E(\bar{X})E(S)$

答案：$\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^2}$

例题2：05年14.   抽样分布定理、F分布

分析：由抽样分布定理得，ABC均错的很离谱。
D：$X_i\sim N(0,1)$，即$X_i$服从标准正态分布
$\frac{\frac{X_1^2}{1}}{\frac{\sum _{i=2}^n{X}_i^2}{n-1}}\sim F(1,n-1)$，D正确

答案：D

例题3：17年8.   抽样分布定理

分析：

答案：B

例题4：23李林六套卷(六)10.

分析：AB明显正确
C.$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\sum _{i=1}^n(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma }{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$，且卡方分布具有独立可加性，∴C正确
D.应该改为2n-2

答案：D

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2.两个正态总体