数据结构学习笔记——查找算法中的树形查找（平衡二叉树）

一、平衡二叉树的定义

平衡二叉树以二叉排序树为基础，若二叉排序树中左、右子树的高度之差的绝对值不超过1，则称为平衡二叉树（AVL树），其左、右子树也为一棵平衡二叉树，其平均查找长度为O(log₂n)，如下：

• 一棵具有 m 层的平衡二叉树（AVL），最多有2^m-1个结点，由斐波那契数列（Fibonacci），可得最少有f(m) = f(m-1) + f(m-2) + 1个结点，其中f(1) = 1 、f(2) = 2、f(3) = 4。

例如，具有5层结点的平衡二叉树的结点个数至少为f(5) = f(5-1) + f(5-2) + 1= f(4) + f(3) + 1=[f(3) + f(2) + 1]+[f(2) + f(1) + 1]+1=4+2+1+2+1+1+1=12个结点。

二、平衡因子

二叉树中左子树的深度减去其右子树深度，称为该结点的平衡因子，平衡二叉树中结点的平衡因子只可能为1、-1或0三种，其中叶子结点的平衡因子均为0，例如下面这个二叉树为平衡二叉树：

叶子结点0、1、6的平衡因子均为0，
结点4的左子树深度为1，右子树深度为0，所以平衡因子为1-0=1，
结点9的左子树深度为1，右子树深度为0，所以平衡因子为1-0=1，
结点2的左子树深度为1，右子树深度为2，所以平衡因子为1-2=-1，
结点5的左子树深度为3，右子树深度为2，所以平衡因子为3-2=1。

而，下图这个二叉树为非平衡二叉树：

叶子结点0、1、4、9的平衡因子均为0，
结点3的左子树深度为1，右子树深度为1，所以平衡因子为1-1=0，
结点2的左子树深度为1，右子树深度为2，所以平衡因子为1-2=-1，
结点5的左子树深度为3，右子树深度为1，所以平衡因子为3-1=2，不满足平衡二叉树的要求。

三、平衡二叉树的插入和构造

平衡二叉树的插入操作性质与二叉排序树一样，也是要在保证一定条件下进行插入操作，若导致不满足条件则需要进行调整。若平衡二叉树中插入一个元素时导致发生了不平衡，则需要调整元素的位置关系，使其达到平衡，调整遵循的原则是每次调整的对象都是最小不平衡子树，即离插入结点最近的其平衡因子的绝对值大于1的结点作为根的子树。
插入新结点导致不平衡的情况有以下四种：

类别	操作
LL型旋转（右单旋转）	在结点的左子树的左子树插入新结点导致失衡
LR型旋转（先左后右旋转）	在结点的左子树的右子树插入新结点导致失衡
RR型旋转（左单旋转）	在结点的右子树的右子树插入新结点导致失衡
RL型旋转（先右后左旋转）	在结点的右子树的左子树插入新结点导致失衡

（一）LL型旋转

若在结点的左子树的左子树插入新结点导致平衡二叉树失衡，则进行LL型旋转，即右单旋转。【向右顺时针旋转】

插入新结点6后导致平衡二叉树失衡，插入位置是结点9的左子树的左子树处，所以进行LL型旋转，如下：

调整后的二叉树即为平衡二叉树。

（二）LR型旋转

若在结点的左子树的右子树插入新结点导致平衡二叉树失衡，则进行LR型旋转。【先左旋转后右旋转】

插入新结点7后导致平衡二叉树失衡，插入位置是结点9的左子树的右子树处，所以进行LR型旋转，如下：

调整后的二叉树即为平衡二叉树。

（三）RR型旋转

若在结点的右子树的右子树插入新结点导致平衡二叉树失衡，则进行RR型旋转，即左单旋转。【向左逆时针旋转】

插入新结点10后导致平衡二叉树失衡，插入位置是结点7的右子树的右子树处，所以进行RR型旋转，如下：

调整后的二叉树即为平衡二叉树。

（四）RL型旋转

若在结点的右子树的左子树插入新结点导致平衡二叉树失衡，则进行RL型旋转。【先右旋转后左旋转】

插入新结点6后导致平衡二叉树失衡，插入位置是结点5的右子树的左子树处，所以进行RL型旋转，如下：

调整后的二叉树即为平衡二叉树。

四、平衡二叉树的删除

（一）叶子结点

平衡二叉树中，若要删除的结点只有叶子结点，则可直接将其删除，不影响平衡二叉树。
例如，删除平衡二叉树中的结点9，由于该结点是叶子结点，所以直接删除，如下：

（二）只有左/右子树，没有右/左子树

平衡二叉树中，若要删除的结点只有左/右子树，没有右/左子树，此时将该结点删除，后面的子结点接上即可，从而不影响平衡二叉树。

（三）既有左子树，又有右子树

平衡二叉树中，若要删除的结点既有左子树，又有右子树，此时可沿着左（右）子树的右（左）指针，一直走到右（左）子树的最右（左）边的一个结点，用该结点与要删除的结点代替【找到交换的结点】，然后，可以将其转换为（一）、（二）中的情况，若替代后，该结点为叶子结点则按照（一）进行删除，若非叶子结点则按照（二）进行删除。
例如，删除平衡二叉树中结点11，首先找到要交换的结点，即结点9，所以结点11与结点9进行交换，如下：

然后，由于此时结点11是叶子结点，此时转换为第一种情况，所以可直接删除，如下：

五、平衡二叉树的查找和平均查找长度

平衡二叉树的查找与二叉排序树一样，含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为h=⌈log₂(n+1)⌉，所以其平均查找长度为O(log₂n)，另外平衡二叉树的最小深度为h=⌈log₂(n+1)⌉。