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幂级数性质

• 和多项式有相似的性质
• 本文介绍用幂级数的性质求解幂级数和函数的两个例子

四则运算性质

• 若幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$(1)的收敛半径为$R_1$,和函数为$S_1(x)$

  • 幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$(2)的收敛半径为$R_2$,和函数为$S_2(x)$
  • 令 R = min ⁡ { R 1 , R 2 } R=\min\set{R_1,R_2} R=min{R1​,R2​}

• 则:

  1. ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$=${\sum }_{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n$=$S_1(x)\pm S_1(x)$,(3)$x\in (-R,R)$

  2. $({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n)({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n)$=${\sum }_{n=0}^{\infty }{T}_n{x}^n$=$S_1(x)S_2(x)$(4)

     • 多项式乘法中,$n$次项幂的系数表示为$a_i{b}_{n-i}$,其中$a_i,b_{n-i}$分别是$S_1(x)$,$S_2(x)$中的$i$次项系数和$n-i$次项系数
     • $a_i{x}^i{b}_{n-i}{x}^{n-i}$=$a_i{b}_{n-i}{x}^n$,$i=0,1,2,\cdots ,n$(5)
     • 若令$S_1(x)S_2(x)$的$n$次幂的系数为$T_n$,则$T_n$=${\sum }_{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$(6)
     • 因此式(4)为$({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n)({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n)$=${\sum }_{n=0}^{\infty }({\sum }_{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i})x^n$

  3. $\frac{{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n}{{\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n}$=${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$(7)

     • 其中$c_n$,$n=1,2,\cdots .$的确定比乘法中$T_n$的确定复杂一些
       • 显然${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n\cdot {\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$=${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$(8),而系数$c_n$就是通过此方程式确定
       • 由式(4)性质可知,$Q_n$=${\sum }_{i=0}^n{b}_i{c}_{n-i}$,再比较式(8)两端系数,可知$a_n$=${\sum }_{i=0}^n{b}_i{c}_{n-i}$(9)
         • 分别令$n=0,1,2,\cdots$可以从$(9)$产生一系列方程
           • $a_0$=$b_0{c}_0$
           • $a_1$=$b_0{c}_1+b_1{c}_0$
           • $a_2$=$b_2{c}_0+b_1{c}_1+b_0{c}_2$
           • $\cdots$
         • 依次求解方程组$n=0,1,2,\cdots ,k$的方程,即可依次求得$c_0,c_1,c_2\cdots$
         • 上述方法式递推法求解系数$c_n$,如果要求$c_k$,就要求阶$k$个方程
       • 此时式(7)的收敛域可能比原来的两个级数的收敛域小得多

分析性质

• 和多项式类似的分项积分和分项求导性质,并且不改变收敛区间

• 设幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数为$s(x)$,收敛域为$I$

  • $s(x)$在$I$上连续

  • $s(x)$在$I$上可积,且有逐项积分公式(变上限积分):${\int }_0^{x}s(t)\mathrm{d}t$=${\int }_0^x[{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n]\mathrm{d}t$=${\sum }_{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^n\mathrm{d}t$=${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$,$(x\in I)$

    • 积分区间为$[0,x]$
    • 逐项积分后,所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径

  • $s(x)$在$(-R,R)$内可导,且有逐项求导公式$s^{\prime }(x)$=$({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n{)}^{\prime }$=${\sum }_{n=0}^{\infty }(a_n{x}^n{)}^{\prime }$=${\sum }_{n=0}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$,$(|x|<R)$

    • 逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径

    • 注意,虽然收敛半径相同,但是收敛域不一定相同,求导可能收敛域对应得端点处不再收敛

    • 例如原幂级数的收敛域为$[-R,R)$,那么求导后的半径变为$(-R,R)$,显然两个区间不相等;但如果原幂级数的收敛域为$(-R,R)$,那么求导后的级数收敛域不变

    • 反复应用上述结论可知,$s(x)$在其**收敛区间$(-R,R)$**内具有任意阶导数

求解和函数

• 分析性质可以用于求解幂级数的和函数,也就是幂级数收敛于什么函数$s(x)$
• 第一步就是要求解收敛域,这时和函数的定义域
  • 求出收敛半径$R$
  • 再检验$x=\pm R$是的敛散性,以确定收敛域

例

• 求${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n+1}$的收敛域以及和函数$s(x)$
• (1)
  • 判断级数类型:该级数是一个幂级数,并且是标准形
  • 确定通项的系数:$a_n$=$\frac{1}{n+1}$
  • 观察$a_n$考虑使用比值式考察其是否收敛(敛散性),
  • $\rho$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n+2}$=$1$,$R=\frac{1}{\rho }$=1
  • 说明原级数收敛,且收敛半径为$R=1$,收敛区间就是$(-1,1)$
  • 考察区间端点处,对应的常数项级数:
    • $x=-1$时,通项为$\frac{(-1{)}^n}{n+1}$,对应的常数项级数为${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+1}$=$1-\frac{1}{2}+\cdots$
      • 这时一个交错级数,由Leibniz定理,$\frac{1}{n+1}$递减,且$\frac{1}{n+1}\to 0(n\to \infty )$
      • 可知该级数收敛
    • $x=1$时,幂级数称为${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n+1}$=${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$,是调和级数,其显然是发散的
    • 综上,收敛域为$I=[-1,1)$
• (2)
  • 求$s(x)$就是在收敛域内,要将级数形式化简为非求和形式
  • 令$s(x)$=${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n+1}$(1),$x\in [-1,1)$
    • 式(1)两边同时乘以$x$,$xs(x)$=${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n+1}$=${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$(2),$x\in [-1,1)$
    • 对(2)两边求导,并由逐项求导公式,得$(xs(x){)}^{\prime }$=${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}$=$1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots$,$x\in (-1,1)$(3)
      • Note:求导后收敛区间为$|x|<1$,即$x\in (-1,1)$
    • 而我们知道常用级数$\frac{1}{1-x}$=$1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots$,$x\in (-1,1)$(4)
    • 比较(3,4)可得$(xs(x){)}^{\prime }$=$\frac{1}{1-x}$,$x\in (-1,1)$(5)
      • 对上式从$0$到$x$积分,得$xs(x)$=${\int }_0^x\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t$=$-\ln |t-1|{|}_0^x$=$-\ln |x-1|$ (6),$x\in [-1,1)$
    • 方法2:
      • 这里可以不处理为$xs(x)$,而直接变形为:$s(x)$=$\frac{1}{x}{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{x}{\sum }_{n=0}^{\infty }{\int }_0^n{t}^n\mathrm{d}t$=$\frac{1}{x}{\int }_0^n({\sum }_{n=0}^{\infty }{t}^n)\mathrm{d}t$
      • 再利用常用已知级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{t}^n$=$\frac{1}{1-t}$,$t\in (-1,1)$,得$s(x)$=$\frac{1}{x}{\int }_0^n(\frac{1}{1-t})\mathrm{d}t$,同样得到式(6)
    • 当$x\ne 0$时,有$s(x)$=$-\frac{1}{x}\ln (1-x)$(7)
    • 当$x=0$,
      • $s(0)=a_0=1$
        • ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{0^n}{n+1}$=$\frac{0^0}{0+1}$+${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{0^n}{n+1}$=$1+0$=$1$,这里约定$0^0=1$
      • 或者也可以由$s(x)$是连续的性质可以由极限式$\underset{x\to 0}{\lim }(-\frac{1}{x}\ln (1-x))$=$\underset{x\to 0}{\lim }(-\frac{-x}{x})$=1,从而$s(0)$=1
        • $\ln (1-x)\sim -x$,$(-x\to 0)$
        • 或者洛必达法则计算

例

• 令$u_n$=$(-1{)}^{n-1}n{x}^{n-1}$,求幂级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$的和函数
• (1)求收敛半径
  • 方法1:
    • $|u_n|$=$|n{x}^{n-1}|$,$\sqrt[n]{|u_n|}$=$|x|\sqrt[n]{n{x}^{-1}}$
    • $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n|}$=$|x|$,当$|x|<1$时,级数收敛,所以收敛半径为$R=1$
  • 方法2:
    • 幂级数的系数为$a_n$=$(-1{)}^{n-1}n$,$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$=$\frac{n+1}{n}$
    • 从而$\rho$=$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$=$1$,半径为$R=\frac{1}{\rho }$=1
  • 方法3:(最为方便)
    • $\sqrt[n]{|a_n|}$=$\sqrt[n]{n}$
    • 从而$\rho$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{|a_n|}$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}$=$1$
• (2)求收敛域:
  • $x=-1$时,得常数项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }n$,显然发散
  • $x=1$,时,得常数项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}n$,此级数发散
  • 事实上,$x=\pm 1$时,两个级数的一般项在$n\to \infty$时不趋于0,所以发散
  • 所以收敛域为$(-1,1)$
• (3)确定和函数
  • $s(x)$=${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$,$x\in (-1,1)$
  • 两边积分作$[0,x]$区间上的积分:${\int }_0^{x}s(t)\mathrm{d}t$=${\sum }_{n=1}^{\infty }{\int }_0^x(-1{)}^{n-1}n{t}^{n-1}\mathrm{d}t$=${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{x}^n$=$x-x^2+x^3-\cdots$(1)
    • 考虑常用的已知级数$\frac{1}{1-x}$=$1+x+x^2+x^3+\cdots$(2),有$\frac{1}{1-(-x)}$=$1-x+x^2-x^3+\cdots$=$\frac{1}{1+x}$(3)
    • 可知式(1)可以表示为$-(\frac{1}{1+x}-1)$=$\frac{x}{1+x}$
    • 因此${\int }_0^{x}s(t)\mathrm{d}x$=$\frac{x}{1+x}$,两边求导,得$s(x)$=$\frac{1+x-x}{(x+1{)}^2}$=$\frac{1}{(1+x{)}^2}$,$x\in (-1,1)$