当前位置: 首页 > news >正文

【小呆的力学笔记】弹塑性力学的初步认知二:应力应变分析(2)

文章目录

        • 1.4 主应力空间、八面体应力
        • 1.5 应变分析
        • 1.6 特殊应力、应变定义

1.4 主应力空间、八面体应力

一点的应力状态不论如何变化,其主应力和主方向一致的话,该点的应力状态就是唯一确定的。因此,我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描述问题将不失一般性,该坐标系如下图4,我们称之为主应力空间。我们考察等倾面组成的八面体,图中O’P点为等倾面ABC上面的应力向量 ( p 1 , p 2 , p 3 ) (p_1,p_2,p_3) (p1,p2,p3),八面体为等倾面八面体,即面ABC的法线方向余弦为 ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}) (3 1,3 1,3 1)。将O’P分解
O ’ P ‾ = O ’ Q ‾ + O ’ N ‾ (25) \overline {O’P}=\overline {O’Q}+\overline{O’N}\tag{25} OP=OQ+ON(25)

在这里插入图片描述

图 4 八面体 图4八面体 4八面体
取等倾面和三个轴的坐标面组成的四面体为研究对象,如下图5所示。
在这里插入图片描述
图 5 等倾面四面体 图5等倾面四面体 5等倾面四面体
根据斜面应力公式 p j = σ i j n i p_j=\sigma_{ij}n_i pj=σijni,不难得到以下关系式(矩阵形式)
[ p 1 p 2 p 3 ] = [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 2 ] [ n 1 n 2 n 3 ] (26) \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0\\ 0 & \sigma_2 & 0 \\0 & 0 & \sigma_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\\n_3 \end{bmatrix}\tag{26} p1p2p3 = σ1000σ2000σ2 n1n2n3 (26)

其中 ( n 1 , n 2 , n 3 ) = ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (n_1 ,n_2,n_3)=(\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}) (n1,n2,n3)=(3 1,3 1,3 1)为等倾面的法线方向余弦。
那么,有
σ 8 = [ n 1 n 2 n 3 ] [ p 1 p 2 p 3 ] = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 1 3 I 1 (27) \sigma_8 = \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\frac{1}{3}I_1 \tag{27} σ8=[n1n2n3] p1p2p3 =σ1n12+σ2n22+σ3n32=31(σ1+σ2+σ3)=31I1(27)
八面体相应的剪应力为
τ 8 = p 2 − σ 8 2 = p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 = σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 = 1 3 ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 ) − 1 9 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 = 1 3 3 ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 ) − ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 + 2 σ 1 σ 2 + 2 σ 1 σ 3 + 2 σ 2 σ 3 ) = 1 3 ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 = 2 3 J 2 = 1 3 s i j s i j (28) \tau_8 = \sqrt{p^2-\sigma_8^2}=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2-(\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2)^2}\\ =\sqrt{\sigma_1^2n_1^2+\sigma_2^2n_2^2+\sigma_3^2n_3^2-(\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2)^2}\\ =\sqrt{\frac{1}{3}(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-\frac{1}{9}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2}\\ =\frac{1}{3}\sqrt{3(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2+2\sigma_1\sigma_2+2\sigma_1\sigma_3+2\sigma_2\sigma_3)}\\ =\frac{1}{3}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}J_2}=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}} \tag{28} τ8=p2σ82 =p12+p22+p32(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2 =σ12n12+σ22n22+σ32n32(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2 =31(σ12+σ22+σ32)91(σ1+σ2+σ3)2 =313(σ12+σ22+σ32)(σ12+σ22+σ32+2σ1σ2+2σ1σ3+2σ2σ3) =31(σ1σ2)2+(σ1σ3)2+(σ2σ3)2 =32J2 =31sijsij (28)

1.5 应变分析

应变分析的内容同应力分析内容,只是注意一点,应变张量和工程应变在剪应变分量是不同的,定义如下。
[ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] = [ ε x x 1 2 γ y x 1 2 γ z x 1 2 γ x y ε y y 1 2 γ z y 1 2 γ x z 1 2 γ y z ε z z ] (29) \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \frac{1}{2}\gamma_{zx}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2}\gamma_{zy}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xz} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}\tag{29} εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz = εxx21γxy21γxz21γyxεyy21γyz21γzx21γzyεzz (29)
同样定义应变偏张量,有如下形式
[ e x x e y x e z x e x y e y y e z y e x z e y z e z z ] = [ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] − [ ε m 0 0 0 ε m 0 0 0 ε m ] (30) \begin{bmatrix} e_{xx} & e_{yx} & e_{zx}\\ e_{xy} & e_{yy} & e_{zy}\\ e_{xz} & e_{yz} & e_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \varepsilon_{m} & 0 & 0\\ 0 & \varepsilon_{m} & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon_{m} \end{bmatrix}\tag{30} exxexyexzeyxeyyeyzezxezyezz = εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz εm000εm000εm (30)
其中 ε m = 1 3 ( ε x x + ε y y + ε z z ) \varepsilon_{m}=\frac{1}{3}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) εm=31(εxx+εyy+εzz)

1.6 特殊应力、应变定义

定义应力强度或等效应力 σ ‾ \overline\sigma σ
σ ‾ = 3 J 2 = 3 2 s i j s i j = 1 2 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 ] = 1 2 [ ( σ x x − σ y y ) 2 + ( σ x x − σ z z ) 2 + ( σ y y − σ z z ) 2 + 6 ( τ x z 2 + τ x y 2 + τ y z 2 ) ] (31) \overline\sigma=\sqrt{3J_2}=\sqrt{\frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}}\\ =\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2]}\\ =\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2+(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2+(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^2+6(\tau_{xz}^2+\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2)]} \tag{31} σ=3J2 =23sijsij =21[(σ1σ2)2+(σ1σ3)2+(σ2σ3)2] =21[(σxxσyy)2+(σxxσzz)2+(σyyσzz)2+6(τxz2+τxy2+τyz2)] (31)
定义应变强度或等效应变 ε ‾ \overline \varepsilon ε
ε ‾ = 2 3 e i j e i j (32) \overline \varepsilon=\sqrt{\frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}} \tag{32} ε=32eijeij (32)

定义剪切等效应力 T ‾ \overline T T
T ‾ = 1 2 s i j s i j (33) \overline T=\sqrt{\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}} \tag{33} T=21sijsij (33)
定义剪切等效应变 Γ ‾ \overline\Gamma Γ
Γ ‾ = 2 e i j e i j (34) \overline\Gamma=\sqrt{2e_{ij}e_{ij}} \tag{34} Γ=2eijeij (34)
加上上面定义的八面体剪应力、八面体剪应变
τ 8 = 1 3 s i j s i j γ 8 = 4 3 e i j e i j (35) \tau_8=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}}\\ \gamma_8=\sqrt{\frac{4}{3}e_{ij}e_{ij}}\tag{35} τ8=31sijsij γ8=34eijeij (35)

至于为什么定义这些应力应变,我们在后面再介绍。

相关文章:

【小呆的力学笔记】弹塑性力学的初步认知二:应力应变分析(2)

文章目录 1.4 主应力空间、八面体应力1.5 应变分析1.6 特殊应力、应变定义 1.4 主应力空间、八面体应力 一点的应力状态不论如何变化,其主应力和主方向一致的话,该点的应力状态就是唯一确定的。因此,我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描…...

【学网攻】 第(6)节 -- 三层交换机实现VLAN间路由

文章目录 【学网攻】 第(1)节 -- 认识网络【学网攻】 第(2)节 -- 交换机认识及使用【学网攻】 第(3)节 -- 交换机配置聚合端口【学网攻】 第(4)节 -- 交换机划分Vlan【学网攻】 第(5)节 -- Cisco VTP的使用 前言 网络已经成为了我们生活中不可或缺的一部分,它连接了…...

C++之内联函数

函数调用在执行时,首先要在栈中为形参和局部变量分配存储空间,然后还要将实参的值复制给形参,接下来还要将函数的返回地址(该地址指明了函数执行结束后,程序应该回到哪里继续执行)放入栈中,最后…...

【Bugku-web】alert

1.打开场景 2.按"CtrlU"查看源代码 3.翻到页面最末尾会有一个HTML实体编码,用在线工具在线Html实体编码解码后,得到flag值。...

QQ数据包解密

Windows版qq数据包格式&#xff1a; android版qq数据包格式&#xff1a; 密钥&#xff1a;16个0 算法&#xff1a;tea_crypt算法 pc版qq 0825数据包解密源码&#xff1a; #include "qq.h" #include "qqcrypt.h" #include <WinSock2.h> #include…...

腾讯云上linux系统使用nginx,flask构建个人网站SSL证书过期换证书的操作步骤

ssl证书过期的时候&#xff0c;一般腾讯云提前一段时间给通知&#xff0c;让更换ssl证书&#xff0c;现在一般都可以免费更换&#xff0c;一般是一年期的&#xff0c;审核通过之后&#xff0c;需要下载nginx版本的证书&#xff0c;我的是4个文件&#xff0c;替换到nginx/cert文…...

git-clone的single-branch操作回退

(Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu) 最近使用git越来越多&#xff0c;一些git的功能使用也更熟悉了一些。 之前使用了single-branch下载分支&#xff0c;后来想取消掉&#xff0c;但怎么做呢&#xff0c;查了一些资料之后&#xff0c;了解到了怎么做&#x…...

03 SpringBoot实战 -微头条之首页门户模块(跳转某页面自动展示所有信息+根据hid查询文章全文并用乐观锁修改阅读量)

1.1 自动展示所有信息 需求描述: 进入新闻首页portal/findAllType, 自动返回所有栏目名称和id 接口描述 url地址&#xff1a;portal/findAllTypes 请求方式&#xff1a;get 请求参数&#xff1a;无 响应数据&#xff1a; 成功 {"code":"200","mes…...

YOCTO基础 - 创建meta层与bb文件

背景 在当前的嵌入式系统开发项目中&#xff0c;我们面临着构建定制化 Linux 发行版以满足项目需求的挑战。我们需要在目标硬件上运行一个轻量级、高度定制化的 Linux 映像&#xff0c;并确保它包含我们项目中所需的特定软件包和功能。为了实现这一目标&#xff0c;我们选择了…...

网络电视盒子哪个好?博主分享超高性价比网络电视盒子推荐

电视盒子是我们使用最多的数码产品&#xff0c;年货节很多朋友在纠结网络电视盒子哪个好&#xff0c;我这次的测评产品就是电视盒子&#xff0c;按照18款电视盒子的深度测评结果整理了网络电视盒子推荐&#xff0c;想知道网络电视盒子哪个好可以看看下面这五款电视盒子。 一&am…...

leetcode 刷题2

二分查找的绝妙运用&#xff1a; 看到有序数列&#xff0c;算法复杂度 0033. 搜索旋转排序数组 class Solution { public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left 0;int right nums.size() - 1;while (left < right) {int mid left (right - …...

2-SAT问题相关理论和算法

前言 SAT 问题简介 SAT是可满足性、适定性(Satisfiability)问题的简称。一般形式为k-适定性问题或k-可满足性问题&#xff0c;简称 k-SAT。 何为布尔可满足性问题&#xff1f;给定一条真值表达式&#xff0c;包含逻辑变量、逻辑与、逻辑或以及非运算符&#xff0c;如&#x…...

【大数据精讲】全量同步与CDC增量同步方案对比

目录 背景 名词解释 问题与挑战 FlinkCDC DataX 工作原理 调度流程 五、DataX 3.0六大核心优势 性能优化 背景 名词解释 CDC CDC又称变更数据捕获&#xff08;Change Data Capture&#xff09;&#xff0c;开启cdc的源表在插入INSERT、更新UPDATE和删除DELETE活动时…...

自定义通用返回对象

目的&#xff1a;给返回对象补充一些信息&#xff0c;告诉前端这个请求在业务层面上是成功还是失败&#xff0c;以及具体的描述信息。 我们需要自定义错误码&#xff08;因为前端的HTTP状态码默认的值比较少&#xff09;和正常错误返回类。 ErrorCode &#xff1a; package …...

从0开始python学习-51.pytest之接口加密封装

目录 MD5加密 base64加密 rsa加密 MD5加密 1. 封装加密方法 def md5_encode(self,data):data str(data).encode("utf-8")md5_data hashlib.md5(data).hexdigest()return md5_data 2. 写入需要使用加密的接口yaml用例 -request:method: posturl: http://192.168.…...

c++的命名空间

命名空间 一.c的关键字二.命名空间2.1 命名空间定义2.1 命名空间的使用2.1.1加命名空间名称及作用域限定符2.1.2使用using将命名空间中某个成员引入 三.标准命名空间std 一.c的关键字 c中一共有63个关键字 关键字11111asmdoifreturntrycontinueautodoubleinlineshorttypedeff…...

阿富汗塔利班兴起时的比赛代码3475:练85.3 删数问题(Noip1994)

【题目描述】 输入一个高精度的正整数n&#xfffd;&#xff0c;去掉其中任意s&#xfffd;个数字后剩下的数字按原左右次序组成一个新的正整数。编程对给定的n&#xfffd;和s&#xfffd;&#xff0c;寻找一种方案使得剩下的数字组成的新数最小。 输出新的正整数。&#xff0…...

大数据平台红蓝对抗 - 磨利刃,淬精兵!

背景 目前大促备战常见备战工作&#xff1a;专项压测&#xff08;全链路压测、内部压测&#xff09;、灾备演练、降级演练、限流、巡检&#xff08;监控、应用健康度&#xff09;、混沌演练&#xff08;红蓝对抗&#xff09;&#xff0c;如下图所示。随着平台业务越来越复杂&a…...

【2024-01-22】某极验3流程分析-滑块验证码

声明&#xff1a;该专栏涉及的所有案例均为学习使用&#xff0c;严禁用于商业用途和非法用途&#xff0c;否则由此产生的一切后果均与作者无关&#xff01;如有侵权&#xff0c;请私信联系本人删帖&#xff01; 文章目录 一、前言二、抓包流程分析1.刷新页面2.点击按钮进行验证…...

Laya2.13.3接入FGUI

下载与复制文件与Laya1.x类似&#xff0c;可以看我上一篇&#xff1a; Laya1.8.4接入FariyGui&#xff0c;以及其中踩的坑-CSDN博客 不同的是&#xff1a; 两个库文件需要在index.js中引入 新建一个脚本将fgui中搭建好的UI包引入&#xff1a; export default class GameApp…...

大数据学习栈记——Neo4j的安装与使用

本文介绍图数据库Neofj的安装与使用&#xff0c;操作系统&#xff1a;Ubuntu24.04&#xff0c;Neofj版本&#xff1a;2025.04.0。 Apt安装 Neofj可以进行官网安装&#xff1a;Neo4j Deployment Center - Graph Database & Analytics 我这里安装是添加软件源的方法 最新版…...

Admin.Net中的消息通信SignalR解释

定义集线器接口 IOnlineUserHub public interface IOnlineUserHub {/// 在线用户列表Task OnlineUserList(OnlineUserList context);/// 强制下线Task ForceOffline(object context);/// 发布站内消息Task PublicNotice(SysNotice context);/// 接收消息Task ReceiveMessage(…...

【机器视觉】单目测距——运动结构恢复

ps&#xff1a;图是随便找的&#xff0c;为了凑个封面 前言 在前面对光流法进行进一步改进&#xff0c;希望将2D光流推广至3D场景流时&#xff0c;发现2D转3D过程中存在尺度歧义问题&#xff0c;需要补全摄像头拍摄图像中缺失的深度信息&#xff0c;否则解空间不收敛&#xf…...

基于当前项目通过npm包形式暴露公共组件

1.package.sjon文件配置 其中xh-flowable就是暴露出去的npm包名 2.创建tpyes文件夹&#xff0c;并新增内容 3.创建package文件夹...

linux arm系统烧录

1、打开瑞芯微程序 2、按住linux arm 的 recover按键 插入电源 3、当瑞芯微检测到有设备 4、松开recover按键 5、选择升级固件 6、点击固件选择本地刷机的linux arm 镜像 7、点击升级 &#xff08;忘了有没有这步了 估计有&#xff09; 刷机程序 和 镜像 就不提供了。要刷的时…...

智能仓储的未来:自动化、AI与数据分析如何重塑物流中心

当仓库学会“思考”&#xff0c;物流的终极形态正在诞生 想象这样的场景&#xff1a; 凌晨3点&#xff0c;某物流中心灯火通明却空无一人。AGV机器人集群根据实时订单动态规划路径&#xff1b;AI视觉系统在0.1秒内扫描包裹信息&#xff1b;数字孪生平台正模拟次日峰值流量压力…...

HashMap中的put方法执行流程(流程图)

1 put操作整体流程 HashMap 的 put 操作是其最核心的功能之一。在 JDK 1.8 及以后版本中&#xff0c;其主要逻辑封装在 putVal 这个内部方法中。整个过程大致如下&#xff1a; 初始判断与哈希计算&#xff1a; 首先&#xff0c;putVal 方法会检查当前的 table&#xff08;也就…...

《C++ 模板》

目录 函数模板 类模板 非类型模板参数 模板特化 函数模板特化 类模板的特化 模板&#xff0c;就像一个模具&#xff0c;里面可以将不同类型的材料做成一个形状&#xff0c;其分为函数模板和类模板。 函数模板 函数模板可以简化函数重载的代码。格式&#xff1a;templa…...

Kafka入门-生产者

生产者 生产者发送流程&#xff1a; 延迟时间为0ms时&#xff0c;也就意味着每当有数据就会直接发送 异步发送API 异步发送和同步发送的不同在于&#xff1a;异步发送不需要等待结果&#xff0c;同步发送必须等待结果才能进行下一步发送。 普通异步发送 首先导入所需的k…...

【JVM】Java虚拟机(二)——垃圾回收

目录 一、如何判断对象可以回收 &#xff08;一&#xff09;引用计数法 &#xff08;二&#xff09;可达性分析算法 二、垃圾回收算法 &#xff08;一&#xff09;标记清除 &#xff08;二&#xff09;标记整理 &#xff08;三&#xff09;复制 &#xff08;四&#xff…...