计算机基础（5）——进制与进制转换

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进制

进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法。 对于任何一种进制—X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

十进制

由于人类解剖学的特点，双手共有十根手指，故在人类自发采用的进位制中，十进制是使用最为普遍的一种。成语“屈指可数”某种意义上来说描述了一个简单计数的场景，而原始人类在需要计数的时候，首先想到的就是利用天然的算筹——手指来进行计数。

数值本身是一个数学上的抽象概念。经过长期的演化、融合、选择、淘汰，系统简便、功能全面的十进制计数法成为人类文化中主流的计数方法，经过基础教育的训练，大多数的人从小就掌握了十进制计数方法。盘中放了十个苹果，通过数苹果我们抽象出来“十”这一数值，它在我们的脑海中就以“10”这一十进制编码的形式存放和显示，而不是其它的形式。从这一角度来说，十进制编码几乎就是数值本身。

十进制的基数为10，数码由0-9组成，计数规律逢十进一。

十进制数：

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23...

二进制

二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。

为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加B表示，其中B是英文二进制Binary的首字母。

例如：二进制数10110011可以写成$(10110011{)}_2$，或写成10110011B。对于十进制数可以不加标注，或加后缀D，其中D是英文十进制Decimal的首字母D。

• 二进制数：

0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1011,1100,1101,1110,1111,10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110...

八进制

由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。八进制用下标8或数据后面加O（Octal ）表示 例如：二进制数据 $(11101010.010110100{)}_2$ 对应八进制数据 $(352.264{)}_8$或352.264O。

• 八进制数：

0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20,21,22,23,24,25,26,27,30,31,32,33...

十六进制

由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。十六进制数有两个基本特点：它由十六个数码：数字0～9加上字母A-F组成（它们分别表示十进制数10～15），十六进制数运算规律是逢十六进一，即基数R=16=2^4，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别，在c语言中用添加前缀0x以表示十六进制数。

例如：十六进制数4AC8可写成$(4AC8)16$，或写成4AC8H、0x4AC8。

• 十六进制数：

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,1a,1b,1c,1d,1e,1f,20,21,22,23...

进制转换

位权

一个十进制数110，其中百位上的1表示1个$10^2$，既100，十位的1表示1个$10^1$，即10，个位的0表示0个$10^0$，即0。

一个二进制数110，其中高位的1表示1个$2^2$，即4，低位的1表示1个$2^1$，即2，最低位的0表示0个$2^0$，即0。

一个八进制数110，其中高位的1表示1个$8^2$，即64，低位的1表示1个$8^1$，即8，最低位的0表示0个$8^0$，即0。

一个十六进制数110，其中高位的1表示1个$16^2$，即256，低位的1表示1个$16^1$，即16，最低位的0表示0个$16^0$，即0。

可见，在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，我们称这关系为数的位权。

Tips：十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的位权是以2为底的幂，八进制数的位权是以8为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列。

按权求和计算

二进制数、八进制、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。把x进制数按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”也叫按权展开计算法。

• 2进制转10进制如图所示：

$$(10101.01{)}_2转10进制：$$

最终求得结果：$(10101.01{)}_2$=(21.25)10

• 8进制转10进制如图所示：

$$(306{)}_8转10进制$$

最终求得结果：$(306{)}_8$=(198)10​

• 16进制转10进制如图所示：

$$(1a8)16转10进制$$

最终求得结果：(1a8)16=(424)10

倒数取余计算

一个10进制数转换为一个R进制数采用除以R取余法，即用R连续除以10进制，直到商为0，最终按照倒序的方法得到余数即可，这种简单的计算方法我们陈伟倒数取余法。

Tips：R表示进制，10进制转换为2进制则一直除以2得到余数，然后倒数取余，10进制转换为8进制则一直除以8得到余数之后倒数取余，以此类推。

10进制转2进制如图所示：
$$25D转二进制$$

10进制转8进制如图所示：
$$90D转八进制$$

10进制转16进制如图所示：
$$298D转十六进制$$